STATIONARY CHARACTERISTICS OF UNRELIABLE SYSTEM WITH BRANCHING STRUCTURE AND ELEMENTS’ MAINTENANCE

Full Text

Введение Многие технические системы имеют иерархическую или ветвящуюся структуру, в которой каждому элементу некоторого ранга непосредственно подчинено несколько элементов более низкого ранга. Примерами являются системы обработки данных, системы и сети связи, транспортные и ресурсо-снабжающие сети (трубопроводные, электрические, энергетические и т.д.). Обеспечение работоспособности таких систем является важной задачей [1-4]. Основное внимание исследователей сосредоточено на двух направлениях: разработка эффективных методов вычисления характеристик, существен-ных для анализа надежности и эффективности структур; разработка методов повышения надежности и улучшения экономических показателей таких структур [5-10]. Целью статьи является построение итерационного процесса расчета стационарных надежностных и экономических характеристик линейной сетевой структуры древовидного типа с учетом проведения технического обслуживания ее элементов. Пред-полагается, что времена безотказной работы и восстановления элементов суть случайные величины с функциями распределения общего вида. Отметим, что в линейной структуре каждый ее элемент имеет связь только с элементами соседних рангов, но не имеет связей в пределах одного ранга и через несколько рангов. В статье рассматривается стратегия обслужи-вания, известная в литературе под названием «восстановление в зависимости от возраста» [9], или «правило предупредительных замен» [10]. Для однокомпонентных систем данная стратегия исследована в [8-10], а для многокомпонентной системы с монотонной структурой - в [11-13]. Постановка задачи Рассмотрим ненадежную систему с ветвящейся структурой (см. рисунок 1), где головной элемент связан с элементами первого ранга, каждый из которых в свою очередь связан с элементами второго ранга и т.д. Каждый из элементов предпоследнего () ранга связан с элементами последнего -го ранга, которые называют выходными. Число элементов -го ранга равно. Рисунок 1. Схема линейной однородной ветвящейся структуры Будем рассматривать однородную систему: это означает, что элементы одного ранга однотипны. Пусть - время безотказной работы элемента -го ранга с функцией распределения ; а - время восстановления элемента -го ранга с функцией распределения , . Предположим, что указанные случайные величины имеют конечные математические ожидания: и соответственно. Отказ любого элемента системы, который будем называть аварийным, обнаруживается мгновенно и сразу же начинается его восстановление. В момент аварийного отказа элемента прекращается как работа, так и восстановление всех связанных с ним элементов, которым он предшествует. Также отключаются все элементы, которые предшествуют отказавшему элементу и не принадлежащие более ни одному работоспособному пути. Под работоспособным путем подразумевается цепочка функционально связанных работающих элементов от головного элемента до одного из выходных. В момент включения в систему восстановившегося элемента одновременно с ним включаются и те, ранее отключенные работоспособные элементы, которые вместе с восстановленным элементом образуют работоспособный путь. При этом их уровень работоспособности такой же, каким он был при отключении. Кроме этого, продолжается восстановление отключенных элементов, связанных функционально с восстановленным элементом. Система считается отказавшей, если она не содержит ни одного работоспособного пути от головного элемента до выходного. В этот момент все оставшиеся работоспособные элементы отключаются. Итерационный процесс расчета стационарного коэффициента готовности такой системы построен в [14]. Одним из методов повышения надежности и эффективности описанной системы может быть предупредительное техническое обслуживание (ТО) каждого элемента системы со стратегией «восстановление в зависимости от возраста» [9]. Суть этой стратегии заключается в том, что если элемент после завершения очередных восстановительных работ проработал некоторый заранее заданный промежуток времени, то проводится его предупредительное техническое обслуживание. В начальный момент времени начинается эксплуатация системы и назначается допустимый уровень наработки (возраст) , элемента системы, одинаковый для всех элементов -го ранга. Если после завершения восстановительных работ элемент проработал без отказа время , то проводится плановое ТО элемента, которое его полностью обновляет. Так же, как и в моменты аварийного отключения, в моменты начала ТО элемента и его завершения происходит отключение и включение функци-онально связанных с ним элементов. Длительность ТО - это случайная величина с функцией распре-деления , и конечным математическим ожиданием . Если до назначенного момента времени элемент системы отказывает, то начинается его аварийное восстановление, в результате которого элемент также полностью обновляется, и весь процесс обслуживания элемента повторяется заново. Предполагаются известными следующие экономические показатели элементов системы: - доход в единицу времени безотказной работы элемента -го ранга, ; - затраты в единицу времени аварийного восстановления элемента -го ранга, ; - затраты в единицу времени технического обслуживания элемента -го ранга, . Целью работы является определение следующих показателей качества функционирования системы: - стационарного коэффициента технического использования системы ; - среднего удельного дохода системы, приходя-щегося на единицу календарного времени; - средних удельных затрат , приходящихся на единицу времени исправного функционирования системы. Также требуется определить оптимальные сроки проведения технического обслуживания элементов системы, при которых показатели качества функционирования системы принимают наилучшие значения. Определение стационарных характеристик системы Построим итерационный процесс расчета стационарных показателей системы. Для этого введем следующие обозначения: - коэффициент готовности элемента -го ранга, ; - средний удельный доход в единицу времени функционирования элемента -го ранга, ; - средние удельные затраты в единицу времени исправного функционирования элемента -го ранга, . Данные характеристики элементов -го ранга определяются следующими формулами [9-11]: ; ; (1) , где - среднее время работоспособности; - среднее время аварийного восстановления; - среднее время ТО элемента -го ранга на периоде регенерации, то есть между двумя соседними моментами начала работы элемента после завершения аварийного восстановления или ТО. Далее введем аналогичные характеристики для одного семейства из элементов, которые управляются одним и тем же элементом из -го ранга, (см. рисунок 2). Заметим, что семейство считается работоспособным, если работоспособен хотя бы один элемент этого семейства. Очевидно, что показатели будут зависеть от сроков проведения ТО элементом -го и всех последующих рангов. Обозначим - коэффициент технического исполь-зования; - средний удельный доход в единицу времени функционирования; -средние удельные затраты в единицу времени исправного функционирования такого семейства. Рисунок 2. Схема семейства i-го ранга При построении итерационных формул для определения стационарных показателей системы с ветвящейся структурой, используем результаты [11], где при помощи аппарата теории полумарковских процессов с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [15] получены расчетные формулы для нахождения стацио-нарных характеристик ненадежной многокомпонентной системы с монотонной структурой с учетом ТО по возрасту и отключением элементов. В частности, коэффициент техничес-кого использования , средний удельный доход и средние удельные затраты системы, состоящей из последовательных элементов, есть ; ; , (2) где - характеристики элемен-тов системы. В случае параллельного соединения элементов системы эти характеристики есть ; ; . (3) Семейство из выходных элементов -го ранга, которые управ-ляются одним и тем же элементом -го ранга, будет находиться в отказе, если откажут все элементы этого семейства. Поэтому для определения стационарных характеристик такого семейства применим формулы (3) стационарных характеристик системы с параллельным соединением: (4) При нахождении характеристик семейства элементов ()-го ранга, управляемых одним и тем же элементом ()-го ранга, применим комбинации формул характеристик системы с параллельным (3) и последовательным соединениями элементов (2). Рассмотрим систему из параллельных элементов ()-го ранга, каждый из которых соединен последовательно с семейством элементов -го ранга. В результате получим Для семейства элементов -го ранга, где ; имеют место аналогичные соотношения, которые после ряда преобразований принимают следующий вид: ; ; (5) . Характеристики головного элемента определяются с помощью формул для системы из последовательно соединенного головного элемента и системы элементов первого ранга. Они являются характеристиками всей системы с ветвящейся структурой в целом и определяются формулами: ; ; (6) . При пассивной стратегии обслуживания, когда ТО элементов не проводится, в итерационные формулы (4)-(6) следует подставить следующие соотношения: ; ; ; ; ; . Заметим, что в этом случае коэффициент готовности совпадает с известной формулой в [14]. Частный случай системы Рассмотрим систему с ветвящейся структурой, изображенной на рис.1, при условии, что все случайные величины ее определяющие, имеют показательное распределение, а именно: , , , . В этом случае в (4)-(6) для вычисления стационарных характе-ристик системы следует полагать ; ; ; ; ; . Оптимизация периодичности проведения ТО элементов системы Стационарные характеристики (6) системы с ветвящейся структурой явно зависят от пороговых значений возрастов элементов, при достижении которых принимается решение о проведении ТО. Поэтому задача определения оптимальных сроков проведения ТО элементов системы сводится к задаче нахождения точек абсолютного экстремума выбранной критериальной функции: ; . Приравнивая к нулю частные производные функций , и , получаем соответственно системы уравнений, которым удовлетворяют оптимальные значения наработок: ; ; (7) . Можно показать, что система уравнений (7) для определения критических точек функции равносильна системе уравнений . Таким образом, система будет иметь максимальный коэффициент использования при таких сроках проведения ТО, при которых достигается максимальное значение коэффициента технического исполь-зования каждого элемента системы. Заметим, что техническое обслуживание не всегда приводит к улучшению стационарных характе-ристик системы. Так, в случае показательного распределения всех случайных величин, описывающих систему, проведение ТО элементов только снижает коэффициент технического использования. Положительный эффект от проведения ТО следует ожидать в том случае, когда со временем возрастает интенсивность отказов элементов, а затраты и время на проведение их ТО значительно меньше соответствующих показателей в случае аварийных отказов. Численный пример Рассмотрим линейную однородную систему с ветвящейся структурой, которая содержит элементы четырех рангов (). Времена безотказной работы , аварийного восстановления и технического обслуживания имеют соответственно распределения Эрланга с функциями распределения: В таблице 2 через обозначены показатели качества функционирования системы в случае, когда используется пассивная стратегия обслуживания, то есть ТО элементов не проводится. Таблица 1. Исходные данные системы для численного примера № ранга Число элементов в семей-стве ранга Среднее время без-отказной работы сут Среднее время восстановления сут. Среднее время ТО час. Доход элемента ден. ед./мес. Затраты на восста-новление ден. ед./мес. Затраты на ТО ден. ед./мес. 0 400 8,6 21,3 1500 1800 500 1 150 6,0 19,3 1200 1400 300 2 109 4,6 18,8 1000 1000 200 3 92,3 3,8 17,3 1000 700 200 Таблица 2. Результаты оптимизации характеристик системы по различным критериям № ранга сут. сут. , ден. ед./мес. , ден. ед./мес. сут. , ден. ед./мес. , ден. ед./мес. 0 131,8 0,987 0,969 129,6 29050,7 25641,4 83,1 320,6 1443,0 1 55,1 52,6 27,9 2 44,7 40,1 22,9 3 40,1 34,0 23,5 Проведение ТО элементов при достижении времен безотказной работы элементов ; в зависи-мости от выбранного критерия, улучшает эти показатели соответственно на 1,86%; 13,30% и 77,78%. Выводы В статье представлен итерационный процесс расчета стационарных надежностностных и экономических характеристик ненадежной системы с линейной однородной ветвящейся структурой с учетом проведения технического обслуживания ее элементов по возрасту. На примере системы с конкретной сетевой структурой показана возможность определения оптимальных сроков проведения технического обслуживания. При этом коэффициент технического использования системы увеличивается незначительно, но доходность системы может быть значительно увеличена, а затраты существенно снижены. Заметим, что по аналогичной методике можно получить расчетные формулы для стационарных характеристик системы в случае других стратегий проведения ТО ее элементов и выбрать оптимальную из них.

About the authors

Alexey Ivanovich Peschansky

Sevastopol State University

Email: peschansky_sntu@mail.ru

References

Supplementary files