Selection of Key in Two-Component Steganography Systems with Mutual Component Noising

Full Text

Понятие двухкомпонентной стеганографической системы введено для описания принципа формирования передаваемого сигнала (стегоконтейнера). Стего-контейнер [1; 2] формируется на основе двух выражений, при этом в каждом из них присутствуют два передаваемых значения [3-10]. Таким образом, задача извлечения скрытого сигнала сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными. Форма уравнений в общем случае может быть произвольной. Задача выбора ключа в стеганографической системе состоит не только в выборе значения ключа, но и в выборе параметра системы, выступающего в роли ключа. Выбор обуславливается обеспечением максимальной чувствительности выражения извлечения скрытого сигнала из сигнала стего-контейнера к вариации значения ключа. Тогда малейшая ошибка в значении ключа приведет к некорректно извлеченному сигналу. В статье приводится анализ чувствительности системы к вариации различных параметров и определяется параметр, наиболее подходящий на роль ключа системы, а также дается условие, определяющее диапазон выбора значений ключа. Анализ чувствительности системы Рассмотрим форму уравнений, математическая модель которых подробно рассмотрена в [1]. Выражения для сокрытия информации имеют следующий вид: 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ; , y au bu cuu y a u bu c uu =++ =++ (1) где y - сигналы компонент заполненного контейнера; u - маскируемые сигналы; a, b, c - коэффициенты преобразования. В [1] получены условия: 1 2 2 1 0; ac b c -= (2) 2 1 1 2 0, a c bc -= (3) при которых выражения для декодирования сигналов первого и второго каналов соответственно 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 ;a y b yu aa bb c y c y - = -+- (4) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 .a y b yu aa bb c y c y - = -+- (5) Причем выполнение первого условия (2) необходимо для получения второго сигнала (5), а выполнение второго условия (3) - для получения первого сигнала (4) Проанализируем выражения (4) и (5) с учетом (2) и (3). Перепишем выражения (2) и (3) относительно a: 1 2 1 2 /;a b c c = (6) 2 1 2 1 /. a b c c = (7) Подставляя (6) и (7) в (4) и (5), получим, что числитель выражений (4) и (5) обращается в ноль. Таким образом, единовременное выполнение условий (2) и (3) невозможно. Для декодирования обоих сигналов достаточно декодировать только один из них, а второй выразить из формул для кодирования. Рассмотрим оба варианта. Пусть выполняется только условие (2). Тогда можно воспользоваться выражением (5) для восстановления сигнала u2. В этом случае первый сигнал можно выразить из (1) для y1: 1 1 2 1 1 1 2 .y buu a cu - = + (8) Во втором варианте выполняется только условие (3). С помощью выражения (4) восстанавливается сигнал u1. Второй сигнал выражается из (1) для y2: 2 2 1 2 2 2 1 .y buu a c u - = + (9) Очевидно, что в данном случае чувствительность стеганографической системы к вариации ключа определяется чувствительностью одного из выражений (4) или (5), в зависимости от того, какой вариант восстановления скрытого сигнала используется, к вариации коэффициентов преобразования. Получим выражения для чувствительности инвариантной стеганографической системы при взаимном зашумлении каналов. Определим дифференциал через приращения коэффициентов. Количество коэффициентов приращения равно шести. Выражение для абсолютной чувствительности стеганографической системы (4) имеет вид 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 . u Sa a Sa a Sb b Sb b Sc c Sc c ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ (10) Выражение для абсолютной чувствительности стеганографической системы (5) есть 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 . u Sa a Sa a Sb b Sb b Sc c Sc c ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ (11) Получим необходимые производные для перехода к приращениям в выражении (10) для алгоритма, использующего взаимное зашумление каналов (4): ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ; duSa da a a y b y aa bb c y c y = = - = - -+- (12) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ; duSa da y y c ybb c y ab y aa bb c y c y = = - - + = -+- (13) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ; duSb db y aa c y y yc b a y aa bb c y c y = = + - - = - -+- (14) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ; duSb db b a y b y aa bb c y c y = = - = -+- (15) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ; duSc dc y a y b y aa bb c y c y = = - = - -+- (16) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . duSc dc y a y b y aa bb c y c y = = - = -+- (17) Максимальная чувствительность стеганографической системы достигается вблизи точки разрыва функций чувствительности, то есть точки равенства знаменателя выражений (12)-(17) нулю, или 1 2 1 2 1 2 2 1 0. aa bb c y c y -+-= (18) Подставим в (18) выражения (1), получим: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0. aa bb ac u a cu bc u b cu - - + - -+= (19) Сгруппируем слагаемые: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 0. - - - + + - = aa bb u ac b c u a c bc (20) При использовании выражения (4) справедливо условие (3), тогда полученное выражение сведется к уравнению ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 0, aa bb u ac b c - - - = (21) которое описывает точку разрыва функции восстановления сигнала. Получим необходимые производные для перехода к приращениям в выражении (11): ( ) 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ; duSa da y y c y bb c y a b y aa bb c y c y = = - - + = -+- (22) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ; duSa da a a y b y aa bb c y c y = = - = - -+- (23) 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ; duSb db b a y b y aa bb c y c y = = - = -+- (24) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ; duSb db y aa c y y y c ba y aa bb c y c y = = + - - = - -+- (25) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ; duSc dc y a y b y aa bb c y c y = = - = -+- (26) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 . duSc dc y a y b y aa bb c y c y = = - = - -+- (27) Максимальная чувствительность стеганографической системы достигается вблизи точки разрыва функций чувствительности, то есть точки равенства знаменателя выражений (22)-(27) нулю, когда 1 2 1 2 2 1 1 2 0. aa bb c y c y -+-= (28) Подставим в (28) выражения (1), получим: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0. aa bb ac u a cu bc u b cu + + - + +-= (29) Сгруппируем слагаемые: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 0. aa bb u ac b c u a c bc - + - - - - = (30) При использовании выражения (5) справедливо условие (2), тогда полученное выражение сведется к виду ( ) 1 2 1 2 2 2 1 1 2 0. aa bb u a c bc - - - = (31) Выбор ключа Анализ выражений (21) и (31) показывает, что в обоих случаях чувствительность системы не является константой и зависит от маскируемого сигнала. Минимизировать эту зависимость можно за счет (2) и (3), когда одно из условий выполняется, а второе не выполняется с малой погрешностью. Тогда выражения (21) и (31) сведутся к формуле 1 2 1 2 0, aa bb - +∆ = (32) где ∆ - величина, определяемая маскируемым сигналом и внесенной погрешностью в условия (2) и (3). Условие максимальной чувствительности в обоих случаях: 1 2 1 2 0. aa bb - +∆→ (33) Интересной особенностью данной системы является то, что при выполнении обоих условий (2) и (3) выражения (20) и (30) обращаются в ноль и, соответственно, достигается максимальная чувствительность. Как следствие, при 0 ∆→ будет справедливо и выражение (33). Наиболее удобный способ подбора коэффициентов в системе - использование выражений (6) и (7). В этом случае ключами являются значения a. Заключение В результате исследования получен результат, показывающий, что при синтезе двухкомпонентной инвариантной стеганографической системы, использующей взаимное зашумление каналов, невозможно использовать упрощенные выражения для извлечения скрытых сигналов обоих каналов единовременно, в результате чего чувствительность системы к вариации параметров всегда будет зависеть от маскируемого сигнала в одном из каналов. При этом существует возможность минимизации этой зависимости при сохранении возможности декодирования сигнала. Получено условие максимальной чувствительности системы к вариации параметров (33).

About the authors

M. V Shakurskiy

Samara State Technical University

Samara, Russian Federation

References

Supplementary files