Inzhenernaya metodika otsenki kachestva sistemy massovogo obsluzhivaniya M/M/n/q s nenadezhnymi kanalami i ee prilozhenie dlya analiza funktsionirovaniya sistem mnogokanal'noy svyazi v usloviyakh pomekh

全文:

Введение Современные телекоммуникационные системы (ТКС) интегрируют в себя многоканальные системы связи (СС) на основе различных физических сред. При этом именно СС радиосвязи являются наиболее уязвимыми элементами ТКС в плане помехозащищенности. Продолжая и развивая направление работ [1-3], в данной статье авторами предлагается методика расчета систем «Инфокоммуникационные технологии» Том 12, № 4, 2014 Макаренко С.И., Синицын И. А. 25 массового обслуживания (СМО) с отказами каналов обслуживания (обслуживающих приборов) для оценки помехозащищенности многоканальных СС в условиях помех. Анализ особенностей воздействия помех на многоканальные системы связи и обоснование первичной модели В настоящее время в ТКС получили распространение пакетные технологии передачи данных. При этом с точки зрения формализации многоканальной СС при допущениях о пуассо-новском характере поступления и обслуживания пакетов, ограничениях на количество доступных каналов связи n и на размер буфера пакетного коммутатора q ее можно интерпретировать как многоканальную систему массового обслуживания (СМО) вида M/M/n/q. Воздействие преднамеренных помех приведет к тому, что часть каналов обслуживания окажется недоступной. Как показано в [1], процесс взаимодействия системы связи и системы радиоэлектронного подавления может быть описан вероятностными показателями протекания радиоэлектронного конфликта (РЭК). Этими показателями будут определяться вероятности отказов конкретных каналов СМО, и в итоге от них будут зависеть и основные показатели качества рассматриваемой СМО. Для формализации рассматриваемых процессов введем следующие обозначения и сокращения: X - интенсивность входного потока в СМО; U - интенсивность потока обслуживания одним каналом в СМО; n - число каналов обслуживания (обслуживающих приборов) в СМО; q - число мест в очереди СМО; р - загрузка СМО; рст - загрузка для стандартной модели СМО M/M/n/q без учета отказов отдельных каналов обслуживания; рсл - загрузка для модели СМО M/M/nON-OFF /q при допущении об отказах отдельных каналов обслуживания; ?7є[і,и] - случайная величина, определяющая число работоспособных каналов обслуживания в СМО вследствие их отказов; Pотк - вероятность отказа в обслуживании поступившего в СМО пакета; C - относительная пропускная способность СМО; S. - состояние СМО, при котором в ней находится i пакетов (0 < i < n + q); Pi - вероятность нахождения СМО в состоянии Si с i пакетами (0 < i < n + q); Tж - время ожидания пакетом в очереди; Тобсл - время обслуживания пакета в СМО; X ^ - интенсивность отказов ’ отк КС отдельных каналов связи в многоканальной СС; и ^ - интенсивность восстановления отдель- ~ вост КС ^ ных каналов связи в многоканальной СС; POFF(n) - вероятность отказа п каналов обслуживания в СМО; PON(n) = 1 - POFF(n) - вероятность работоспособного состояния п каналов обслуживания в СМО; tp3K - длительность РЭК. Модель отказов каналов Воздействие помех на многоканальную СС будет описываться моделью РЭК [1]. Протекание РЭК можно формализовать известной моделью устройства со стационарными значениями интенсивности отказов отдельных каналов X отк КС (вследствие воздействия помех), и интенсивностью восстановления иеостКС (вследствие функционирования средств адаптации системы связи к условиям помеховой обстановки) [4]. При допущении о простейшем потоке событий отказов и восстановлений и бесконечной длительности РЭК получим [4]: - вероятности работы и отказа одного канала на длительности РЭК: I • у» №вост КС bin Рш=--;-; *РЭК^(Х} А ТГП + U vn отк КС г*воет КС ид. 1.1 х 0FF X . Ьэк Я іл/-- + // іґп отк КС г* воет КС - вероятность отказа n каналов из n на длительности РЭК будет иметь биномиальное распределение PoFFW) = YßlPoFrPm , 1=1 где с”= и rjiyn-Tjy. Модель многоканальной СМО с отказами каналов вида M/M/nON OFF /q Рассмотрим модель СМО M/M/n/q [5]. Для данной СМО при допущениях о стационарном режиме функционирования будет иметь место простейший поток поступления и обслуживания пакетов и марковская цепь переходов системы между различными состояниями S, приведенная на рис. 1. Состояние системы S = S. соответствует наличию в СМО i-го числа заявок, обусловленного свободными местами в очереди и незанятостью каналов обслуживания. Для данной системы вероятности нахождения в конкретном состоянии определяются следующим образом [5]: «Инфокоммуникационные технологии» Том 12, № 4, 2014 26 Макаренко С.И., Синицын И.А. - вероятность нахождения системы в состоянии без заявок: РМ 1+1 1=1 + Ґ -1 Л" Я І п/л ил \ 4 ' У q+1 N-1 ґ \пР; ni 1 - п/лу (1) - вероятность нахождения системы в состоянии S. : />(«) = /ЯЛ VIй У Р0(п),і<п\ \n'-q ПІП (2) P0(n),n<i< (n + q). В соответствии с данными вероятностями основные показатели качества обслуживания (QoS - Quality of Service) СМО определяются следующим образом [5]: - загрузка системы: р = Х!пц\ (3) - вероятность отказа в обслуживании: Ротк ~ Pn+q> (4) - относительная пропускная способность: C=\-Pn+q- (5) - время ожидания в очереди: ч ;р Т _ У n-1+i . ОЖ 9 (6) ~ П/Л - время пребывания (обслуживания) в систе ме: 1 -Р гр _ >р _|_ОТПК обсл ОЖ (7) Введем следующие допущения: - в стационарном режиме функционирования СМО имеют место независимые отказы каналов обслуживания с известной вероятностью POFF; - отказ каналов обслуживания происходит мгновенно, переходные режимы в СМО при отказах не учитываются; - процессы поступления заявок, их обслуживания и наступления отказов каналов обладают свойствами ординарности; - процессы возвращения заявок в очередь или их потеря вследствие отказа каналов обслуживания не учитываются. Рис. 1. Модель коммутатора системы многоканальной связи и марковская цепь для описания его функционирования Указанные допущения задают функционирование СМО при отказах каналов в виде смены отдельных стационарных режимов СМО, без учета переходных процессов. Тогда для СМО с n каналами число работоспособных каналов п будет определяться биномиальным распределением [6]: - вероятности, соответствующие событиям POFF(n) и PON(n), что работоспособны все п каналов и что п каналов отказали: PoN{n) = Y.CnPOFF~iPON, І=ї] РогЛ*?) = 1£с‘пРОР/-‘РоМ‘ -, (8) І=1 - ряд распределения отказавших каналов: (9) - математическое ожидание числа работоспособных каналов: m(n) = n PO (10) - среднее квадратическое отклонение числа работоспособных каналов: «Инфокоммуникационные технологии» Том 12, № 4, 2014 Макаренко С.И., Синицын И. А. 27 °(Л) л/ nPONPOFF • (11) Так как при большом значении n, в соответствии с центральной предельной теоремой [6], биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным законом с параметрами т(ц) = nPoN и о2 = nPofPoFF, то в силу «закона трех сигма», с учетом выражений (10) и (11), граничными значениями интервала числа отказавших каналов будут [6]: V Є _ nPONPOFF ’ nPON + ^ylnPONPOFF J > (12) и, как будет показано далее, от значений данного интервала существенно зависит поведение системы. При допущении о вероятностном виде числа работоспособных каналов п вероятности нахождения СМО в отдельных состояниях (1) и (2) будут определяться вероятностным распределением значений п: Ґ п 1+1 / 1 _■ і ' х' А 1=1 V її \ кР> У + + х_ ЦП ґ Хл ЦП q+1 Л 1 р,(ч) = ґлл‘ \Pj 1 _Л_ W. (13) Ро{п)>і*Г> ц\іfq "-T Р0(ц),ц<і<(ц + д); (14) 0,(ц + д)<і<(п + д). Обозначим полученную модель СМО как МІМП lq. Основные QoS для такой СМО (показатели р, P , C, T , T 6 ) будут определятьv ' ’ отк ’ ож’ оосл/ J J г ся аналогично вышеуказанным выражениям (3)-(7), однако в этом случае они будут являться случайными дискретными функциями от п и Р(п). Стандартный метод поиска аналитического решения плотности распределения значений показателей QoS как для функций от случайной величины п, представленный в [6], в данном случае неприемлем вследствие невозможности аналитически выразить п(Р) из (13) и (14). Предлагается, с учетом известных из выражений (8) и (9) вероятностей событий работоспо собности п из п каналов, рассчитать согласно (13) и (14) значения вероятностей нахождения СМО в соответствующих состояниях. В дальнейшем на основе этих вероятностных значений, в соответствии с (3)-(7), получить основные показатели QoS (р , P , C, T , T ) в виде вероятностноv слу отк 7 ожу о6сл/ А дискретных функций, которые в силу своего физического смысла аппроксимируются непрерывными распределениями. Исследование поведения СМО вида M/M/nONOFF /q в зависимости от нагрузки системы Введем исходные данные для исследования СМО MlMlnONOFF lq: число каналов облуживания п = 64; размер очереди СМО q = 100; исследуемый диапазон значений для вероятности отказа отдельного канала в СМО POFF = 0...0,5; исследуемый диапазон значений для вероятности работоспособного состояния отдельного канала в СМО PON = 1 POFF = 0,5...1; исследуемый диапазон значений для области стандартной загрузки СМО рст = Х/щ = 1..0,5. Так же для модели MlMlnONOFF lq введены все допущения из стандартной модели MlMlnlq [5], за исключением допущения о постоянном количестве каналов обслуживания n. Расчеты для СМО вида MlMlnONOFF lq в соответствии с выражениями (3-7) показали, что поведение системы существенно зависит от ее загрузки. Для модели СМО MlMlnlq стандартная загрузка определяется как =Xfnn [5], и при снижении количества каналов обслуживания СМО n (при прочих равных условиях) значение загрузки рст увеличивается. При целом значении n = Х|п загрузка достигает значения рст = 1. Уменьшение числа каналов n < ведет к перегрузке системы, а следовательно, к неограниченному росту времени обслуживания заявок в СМО и снижению относительной пропускной способности до С = 0. Таким образом, показатель загрузки рст определяет зависимость между способностью СМО обслуживать входной поток заявок и наличием необходимого количества каналов. Для СМО вида MlMlnONOFF lq физический смысл загрузки будет идентичен предыдущему случаю, однако загрузка будет функцией от случайной величины количества работоспособных каналов п, в связи с чем целесообразным является введение нового показателя загрузки р : рЛ1i) = - > ЦП р{рЛ7і)) = рок(л)- (15) «Инфокоммуникационные технологии» Том 12, № 4, 2014 28 Макаренко С.И., Синицын И.А. В этом случае определение условий перегрузки системы имеет более сложный характер. На рис. 2а показано, что за счет отказов отдельных каналов диапазон значений работоспособных каналов п находится в пределах (12), что соответственно определяет значения загрузки СМО и условие ее перегрузки (р > 1). Таким образом, закон распределения значений рсл полностью определяется распределением работоспособных каналов п (см. рис. 2б). Однако в силу нелинейного вида функциональной зависимости р (п), данное распределение уже не будет биномиальным, хотя зависимости для вероятностей: Р(рл(п)) = Р(п), а также для функции вероятности F(p (п)) = F(rf) сохраняются. Для рассматриваемого случая вероятность перегрузки системы рл > 1 будет определяться как интеграл функции f(ßc) по области р >1. C учетом дискретного характера переменной п, огра-ниченияр = 1 при п-\_Л1 //] (где [•] - функция округления до минимального целого значения), а также функциональных зависимостей F(p (п)) = п сл Щ) = £CnP0FFn~iPON' получим: \f{PcMP = X- Ê foFF{v) = 1 Ч=\_Мм\ П 1_ у ЛІП П-ip і 1 п OFF ON ■ і=\_Мц\ (16) Зона перегрузки СМО Ля\=0,7; 1 J . I Ре ,-и ,ь У 1 1 V F(p,J /(А J 9 Бе юятн A, YJP СТЬ П грегру X fa L-“J ЗКИ 4 » Jjn и J і 0.2 0.4 06 Q.S 1.2 14 1.6 18 Загрузка СМО б) Рис. 2. Зависимости загрузки СМО и вероятности перегрузки системы от числа работоспособных каналов при их вероятностном распределении Выражение (16) позволяет сформулировать критерий функционирования СМО без перегрузки: ЕГПр Ир !_Л '"•'л1 OFF 1 ON u ’ 4=1 (17) смысл которого состоит в том, что если вся область вероятностных значений загрузки системы рсл меньше единицы, то любые отказы каналов с вероятностью POFF = 1 - PON не приводят к перегрузке СМО, и соответственно значение вероятности события, что произошла перегрузка системы рл > 1, определяемая выражением (16), равна нулю. В соответствии с этим критерий функционирования СМО с перегрузкой: будет определяться как І7М *7=1 п~лР П >0 OFF ON ^ v * (18) Следствием сформулированной зависимости является положение о том, что загрузка СМО является функцией не только параметров X, и, n, но и зависит от вероятности работоспособности отдельного канала PON. Анализ значений стандартной загрузки СМО Pan = X/nf и значения PON, полученные в соответствии с критерием (17), позволяют сделать вывод о том, что для компенсации снижения надежности каналов в СМО необходимо снижать поступающий в систему поток заявок. При этом при вероятности отказа POFF = PON = 0,5 для достижения рл ~ 1 стандартная загрузка не должна превышать значение рсл ~ 0,35. На рис. 3 приведены результаты моделирования в среде MathCAD зависимости плотности вероятности fpc) от вероятности отказа POFF и стандартной загрузки системы рст, учитывающей (8), (13) и (14) в выражении (15). Зона перегрузки СМО Загрузка ( б) Рис. 3. Результаты исследования зависимости функции плотности вероятности fißc) от вероятности отказа канала P и загрузки р «Инфокоммуникационные технологии» Том 12, № 4, 2014 Макаренко С.И., Синицын И.А. 29 Анализ приведенных на рис. 3 зависимостей позволяет сделать вывод о том, что рост стандартной загрузки системы р при заданном значении вероятности отказа канала POFF не влияет на вид функции плотности вероятности f(ßc), а определяет смещение ее математического ожидания (МОЖ) в область перегрузки СМО. Рост вероятности отказа канала POFF при фиксированном значении стандартной загрузки системы рт увеличивает дисперсионную характеристику функции плотности вероятностиf p ), а также определяет смещение ее МОЖ в область перегрузки СМО, тем самым быстро увеличивая значение вероятности перегрузки СМО, определяемое выражением (16). Таким образом, основным фактором, определяющим переход СМО в перегруженный режим, является увеличение показателя POFF (соответственно, снижение показателя PON). Исследование поведения СМО вида M/M/n ON-OFF lq в зависимости от вероятности отказа канала Результаты исследования основных показателей QoS (p , P , C, Т , T.) для СМО M/M/nNOFF /q ^ V сіР отк ’ ож обсл/ ^ ON OFF 1 в зависимости от различных значений PON приведены на рис. 4. Данные зависимости получены с учетом того, что выражения (3)-(7) являются функциями случайной величины PON: - вероятность отказа в обслуживании P (п) г j откх 1 ' определяется выражениями (4), (8), (13) и (14): р0щХ{л) = 1 / п 1+1 / 1 Т Л + "я" J=1 ч Л ч W ґ Я л 'Ж у Wj (19) p{pomAv)) = PON(n), - относительная пропускная способность С(п) определяется выражениями (5), (8), (13) и (14): jC(»7) = l-Pomit(i7); [р(с(і7))=рот(і7), (20) - время ожидания в очереди Т (п) определяется выражениями (6), (8), (13) и (14): тож(л) = Ц- ; ы W P(T„{ri)) = PmiV), (21) - время пребывания (обслуживания) Тобсл(п) в системе определяется выражениями (7), (8), (13) и (14): ги.(і?) = г„(і7)+‘ Р™^; fl р(тАп))=роЛп\ (22) Анализ основных показателей QoS, согласно выражениям (19)-(22), позволил сделать следующий обобщающий вывод. В условиях нормальной загрузки СМО рсл < 1 показатели QoS системы M/M/nONOFF /q имеют детерминированный характер и равны показателям QoS системы M/M/n/q. То есть особенности функционирования системы M/M/nON OFF /q проявляются только при ее перегрузке рсл > 1 вследствие увеличения POFF, что соответствует выполнению критерия: \_Иц\ £ q,p„r^pm” >0. 7=1 Условие проявления особенностей СМО M/M/nONOFF /q относительно СМО M/M/n/q также определяет границы целесообразности применения предлагаемой методики. Вышеприведенный обобщающий вывод следует из анализа значений показателей QoS для их области определения п (рис. 4). Если область значений числа работоспособных каналов, определяемых выражением (12), попадает на стационарный участок функции показателя QoS, то для всего диапазона значений п показатель QoS принимает одинаковое детерминированное значение. Специфика же поведения СМО M/M/nON OFF /q проявляется в условиях, когда вероятность перегрузки системы, определяемая выражением (16), отлична от нуля (то есть выполняется критерий (18)). При этом основным фактором, влияющим на загрузку и на значение показателей QoS, является вероятность PON. При уменьшении PON диапазон работоспособных, а значит и доступных для СМО каналов, уменьшается, смещаясь влево по оси п. В результате рабочий диапазон п попадет в зону зависимости параметров QoS от доступного количества каналов СМО. Причем линейная зависимость па «Инфокоммуникационные технологии» Том 12, № 4, 2014 30 Макаренко С.И., Синицын И.А. раметра QoS от числа каналов n приводит к итоговой биномиальной плотности распределения параметра QoS (графики функции и плотности вероятности для вероятности отказа в обслуживании Ротк(п) и относительной пропускной способности С(п) ). Нелинейная зависимость параметра QoS от числа каналов п (характерно для параметров T (п) и Tобсл(т) ) приводит к сложной плотности распределения параметра QoS (графики функции и плотности вероятности для Т (п) и Тобсл(п) ), вид которой зависит от значений PONr При этом для значений PON = 0,8...1 плотности вероятности f(TЖ) и f(T ) могут быть аппроксимированы гамма-распределением, однако при значениях PON < 0,8 аппроксимация данных функций каким-то конкретным законом затруднена, и для аппроксимации данных распределений предлагается использовать семейство кривых Пирсона [16]. Также к общим выводам по анализу зависимостей на рис. 4 стоит отнести вывод об увеличении общего отличия поведения СМО MlMlnO lq и ON OFF значений ее показателей QoS от СМО MlMlnlq при р ^ 1 и PON ^ 0,5. ст ON Выводы и сравнение предложенной методики с другими работами в области СМО с ненадежными каналами обслуживания Для оценки пропускной способности многоканальной СС в условиях помех при ее моделировании востребованы оценки показателей QoS СМО с переменным и изменяемым числом каналов. Однако получение аналитических решений для таких оценок QoS, как правило, затруднено, в связи с чем прибегают к имитационному моделированию [7]. Проведенный анализ имеющихся публикаций показал, что аналогами представленной методики в плане постановки задачи исследования СМО с ненадежными приборами (каналами обслуживания) являются: работы Иванешкина А.И. по исследованию QoS СМО с переменным числом приборов обслуживания [9]; Бабицкого А.В., Дудина A.H., Клименока В.И. по исследованию качества функционирования ненадежных СМО [10]; Статкевич С.Э., Маталыцкого М. А. по исследованию СМО с ненадежными элементами в стационарном и переходном режимах [11-12]; работы Микадзе И.С., Хочолава В.В., Хуродзе Р.А. по моделированию канала связи с помощью СМО с ненадежным прибором [13]; Печинкина А.В., Соколова И.А., Чаплыгина В.В. по исследованию многолинейных СМО со сложными потоками заявок и при различных вариантах процесса отказов-восстановлений приборов обслуживания [14]; а также частично работа Назарова А.Н., Сычева К.И. [15] по исследованию многоканальных СМО с относительными приоритетами входных потоков заявок при учете надежностных характеристик приборов обслуживания. Однако в данных работах расчет показателей СМО ведется стандартным образом: рассматривается марковский процесс перехода состояний СМО, осуществляется переход к дифференциальной системе уравнений, вычисляются конечные вероятности состояний, а из них рассчитываются показатели качества системы. Методика, предложенная авторами настоящей работы, является менее трудоемкой и основана на рассмотрении модели СМО в виде «черного ящика» со встроенным оператором преобразования входных воздействий (X, п, n, q) в выходные показатели QoS (р, P , C, T , T ) при вероятностном входном

作者简介

Sergey Makarenko

Email: mak-serg@yandex.ru

Igor' Sinitsyn

Email: isinitsyn@yandex.ru

参考

补充文件