Digital simulation of a multipath communication channel

Full Text

Аналитическая модель канала связи позволяет получить достаточно полное представление о свойствах сигналов и помех на входе приемного устройства, дает перечень параметров (в рамках параметрического подхода), определяющих апри- орную неопределенность ситуации относительно полезного сигнала и мешающих воздействий. Знание модели канала и алгоритмов обработки сигнала позволяет в принципе исследовать каче- ство функционирования системы, количественно определять такие важные характеристики, как ве- роятность ошибки при приеме дискретных сооб- щений, среднеквадратические погрешности при оценивании (фильтрации) непрерывных параме- тров (процессов), время сходимости процесса адаптации и ряд других. Однако чем более под- робная аналитическая модель канала использует- ся при таком анализе, тем серьезнее возникают трудности математического характера, не позво- ляющие достичь приемлемого результата. Выход из создавшейся ситуации может быть найден при использовании одного из методов ма- тематического моделирования, а именно метода статистических испытаний, реализуемого с при- менением ЭВМ. Процессы в системах связи обладают рядом специфических свойств, главными из которых являются их статистическая природа и высокая скорость протекания. Эти свойства порождают ряд проблем статистического моделирования на ЭВМ: адекватное описание непрерывных слу- чайных процессов в дискретном времени, раз- работка максимально экономных моделирующих алгоритмов, стремление к проведению исследо- ваний в реальном масштабе времени. Очень часто на качество работы приемной ча- сти цифровой системы связи влияют так называе- мые глубокие замирания сигнала в многолучевом канале связи. Под замиранием понимаем непре- рывное и беспорядочное изменение уровня сиг- нала. Физической причиной замираний является главным образом изменение параметров среды распространения (неоднородность), многолуче- вое распространение (за счет любых отражений, порождающих эхо-сигналы), наличие энергоем- ких (реактивных) элементов в тракте передачи, возможные доплеровские эффекты [1-6]. Модель канала и сигнала на его выходе с использованием квадратурных представлений Будем рассматривать преобразование сигнала в многолучевом радиоканале, используя пред- ставление сигнала на входе канала комплексной функцией ( )  : Ut ( ) ( ) ( ) . θ =  jf Ut Ute (1) Действительный сигнал на передаче при этом записывается в виде ( ) ( ) ( ) 0 , w = +θ   cos ut Ut t t (2) где ( ) Ut и ( ) θ t отражают соответственно нали- чие в сигнале амплитудной и угловой модуляции или учитывают временное рассеяние сигнала, связанное с внесением в него предыскажений при формировании заданной формы спектра сиг- нала в канале. Процессы ( ), Ut ( ) θ t изменяются по сравнению с колебанием частоты 0 , w как пра- вило, настолько медленно, что сигнал ( ) ut мож- но считать узкополосным. Квадратурные компоненты сигнала ( ) Ut мо- гут быть записаны как ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . = θ = θ cos sin x y u t Ut t u t Ut t (3) Передаточную функцию (ПФ) канала связи можно также записать через квадратурные ком- поненты [7]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,, , , ϕ =+= = γ  , j ft Hft xft jyft f te (4) где ( ) ( ) ( ) 22 , ,, γ= + f t x ft y ft - модуль ПФ; ( ) ( ) ( ) , , , ϕ= xft ft yft - аргумент ПФ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , cos , , , , sin , =γϕ =γϕ x ft ft ft y ft ft ft - квадратурные компоненты ПФ, которые явля- ются соответственно четной и нечетной функци- ями частоты f. Для большинства реальных каналов связи квадратурные компоненты ( ) , x ft и ( ) , y ft яв- ляются медленно меняющимися (по сравнению с 0 ) w cos t функциями времени. Поэтому, не нару- шая общности, можно записать: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,, , , ,, . = = γ=γϕ=ϕ x ft xt y ft yt ft t ft t Канал с рассеянием будем характеризовать дискретной многолучевостью так, что комплекс- ный коэффициент передачи канала на частоте 0 w может быть записан в виде ( ) 0 0 1 ( ,) , τ w - = = γ w ∑ l L j l l K t te j (5) где ( ) γ  l t и τl - флуктуирующий коэффициент передачи и задержки l-го луча, 1, 2, , . =  lL С учетом (1) и (5) сигнал на выходе канала связи может быть представлен как ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ] [ 1 ) 0 , , -w θτ τ -- = = w= = γ ∑    l l L jt l l St UtK j t Ut te (6) где ( ) ( ) ( ). γ= +  ll l t x t jy t (7) Здесь ( ) l xt и ( ) l yt - квадратурные компоненты комплексного коэффициента передачи l-го луча. Сигнал на выходе канала связи ( )  St также может быть представлен через квадратурные компоненты ( ) ( ) ( ), = +  xy S t S t jS t (8) которые для действительного сигнала определя- ют так: ( ) ( ) ( ) 00 cos sin . = w- w xy St S t t S t t (9) После несложных преобразований (6) получа- ем следующее представление выходного сигнала по квадратурным компонентам: ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) } 0 1 0 0 0 cos sin sin cos , = = -τ wτ +    + -τ wτ -  - -τ wτ -    - -τ wτ  ∑ L l ll l yl l xx x y l ll ll S t xt ut ut yt ut ut (10) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) } 0 1 0 0 0 sin cos cos sin . = =- -τ wτ -    - -τ wτ +  + -τ wτ +    + -τ wτ  ∑ L l ll l yl l yx x y l ll ll S t xt ut ut yt ut ut (11) Формулы (10), (11) определяют методику мо- канала связи. Задаваемые достаточно произволь- но параметры L, τl определяют характер меж- символьной интерференции на выходе канала, а случайные процессы ( ) l xt и ( ) l yt определяют режим замираний сигнала. Число отсчетов сигна- ла ( ) St на длительности тактового интервала Т определяется числом отсчетов сигнала ( ). ut В некоторых каналах как проводной, так и радиосвязи с медленными изменениями параме- тров квадратурные компоненты можно считать детерминированными на конечном интервале анализа [ ] 0, , = a TT где T - длительность сигна- ла ( ) ut на передаче. Общая гауссовская модель Чаще всего, особенно в каналах радиосвя- зи, канал приходится считать стохастическим с той или иной вероятностной моделью для x и y. Учитывая, что эти компоненты во многих кана- лах образуются суммированием большого числа слагаемых в условиях, когда выполняются требо- вания Центральной предельной теоремы теории вероятностей, их при данном L можно считать независимыми, в общем случае нестационарны- ми гауссовскими процессами с математически- ми ожиданиями и корреляционными функциями ( ), k x mt ( ), k y mt ( ) 12 ,, k x K tt ( ) 12 ,. k y K tt Исходя из физических соображений и экспе- риментальных данных можно считать, что ко- эффициенты корреляции у квадратурных компо- нент одинаковы ( ) ( ) ( ) 12 12 12 , , ,. = = kk xyk R tt R tt R tt Очень часто [2; 3] коэффициент корреляции аппроксимируется показательным законом (по каждой из переменных): ( ) ( ) 21 , . 0 , -α∆ ∆= ∆= α> ∆ = - t y x RtRte tt t (12) Аппроксимация (12) при гауссовском распреде- лении означает, что процесс является одномерно- марковским. Таким образом, общая гауссовская модель описывается следующими параметрами: ( ), k x mt ( ), k y mt ( ) 2 , σ k x t ( ) 2 , σ k y t ( ) 12 ,. k R tt Четырехпараметрическое распределение В рамках описания одномерными распределе- ниями вероятностей коэффициента передачи γ рассмотренная модель (9) характеризуется дву- мерной четырехпараметрической плотностью ве- роятности квадратурных компонент [7]: ( ) ( ) ( ) 2 1 , 2 σσ = × p x y W xy tt (13) «Infokommunikacionnye tehnologii» 2019, Vol. 17, No. 4, pp. 366-372 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 . 22 σ   - -      ×- -    σ  exp y x x y ymt xmt tt В этом случае четырехпараметрическое рас- пределение модуля и фазы передаточной функции имеет вид ( ) 2 2 1 0 12 222 12 22 22 0 12 2 ! exp 2 , ∞ = γ ∂ =σ× ∂∂   ++ ×- × γγ γ   σσ     ×+  σ  ∑ kk k kk k R W k mm mm I mm (14) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 2 22 2 2 22 2 2 cos sin exp 22 1 exp 1 2 , σσ ϕ= × p σ ϕ+σ ϕ  × -- ×   σσ   × + p +Φ  y y x x yx x y W m m KK K (15) где 12 ,, 22 +- = = x xy y mm mm mm 22 22 2 22 ,, 2 σσ σσ σ σ +- = = + σ xy yx yx R (16) 22 2 2 22 cos sin , cos sin σσ σ ϕ -ϕ = ϕ+ ϕ σσ σ x yy xx x yy mm K ( ) 0 Ix - модифицированная функция Бесселя ну- левого порядка; ( ) 2 0 2 exp 2 2  Φ= -  p  ∫ x t x dt - функция Крампа. Экспериментальные данные в радиоканалах различных диапазонов подтверждают возмож- ность удовлетворительной аппроксимации рас- пределений амплитуд и фаз, как общим четырех- параметрическим законом, так и его частными случаями, к числу которых относятся следующие варианты. 1. Трехпараметрические замирания ( 0). = x m 2. Райсовские (обобщенно-релеевские) зами- рания 22 (σ=σ= y x 2 , σ +≠ xy mm 0). 3. Подрелеевские замирания ( = = y x mm 0). Наиболее глубокие замирания соответствуют случаю одностороннего-нормального распреде- ления ( = = Xy mm 0, 2 0). σ= x 4. Релеевские замирания ( 0). y x mm = = 5. Канал без замираний 22 (σ=σ= y x 0). В подавляющем большинстве реальных ка- налов связи параметры , x m , y m 2 , σx 2 σy можно считать не зависящими от t. Скорость замираний квадратурных компонент ( ), xt ( ) yt опреде- ляется характером коэффициентов корреляции ( ) 12 ,. Rt t Большую часть каналов, удовлетвори- тельно описываемых моделью (10), (11), можно отнести к категории каналов с медленными (не- селективными) замираниями, когда коэффициент корреляции ( ) 12 , Rt t близок к единице. При моделировании канала связи, основанно- го на представлении выходного сигнала в виде (10), (11), можно задавать характер межсимволь- ной интерференции на выходе канала с помощью достаточно произвольного выбора параметров L, . τl Обычно τl берут кратным T (длительности тактового интервала), в этом случае N характери- зует количество отсчетов импульсной характери- стики канала. Режим замираний определяется с помощью представления ( ) γk t и ( ), ϕk t параме- тров , x m , y m 2 , σx 2 . σy Таким образом, используя четырехпараме- трическое распределение амплитуд и фаз при- нимаемого сигнала, легко осуществить цифровое моделирование многолучевого канала на ЭВМ с любым законом замирания. Цифровое моделирование многолучевого канала Для этого необходимо задать начальные значе- ния отсчетов импульсной характеристики канала { } 0 , = i Gg 1, 0, = - iN выбрать характер замира- ний. С этой целью устанавливают значения эле- ментов взаимокорреляционной матрицы лучей , ij R , 0, , 1 = - ij N следующим образом: для об- щих замираний 1; → ij R для селективных зами- раний 1. 1 < -< ij R В обоих случаях 1. = ii R Далее формируют по- следовательность коррелированных случайных величин ( ), η n 1, 2, =  n с четырехпараметриче- ским законом распределения с параметрами , x m , y m 2 , σx 2 σy и коэффициентом корреляции вида (12) методом скользящего суммирования в виде разностного уравнения: ( ) ( ) ( ) 22 12 , η= + n pn pn (17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 2 22 1, 1, =+- =+- pn axn bpn pn ayn bpn (18) где ( ), xn ( ) yn - последовательности независи- мых нормальных случайных величин с парамет- рами , x m , y m 2 , σx 2 ; σy а параметры рекуррен- тного алгоритма 1, a 2 , a 1, b 2 , b связанные с , ρ определяются на этапе предварительной подго- товки к моделированию аналогично [8-10]. Начальные условия в рекуррентных уравне- ниях (18), то есть предыдущие значения после- довательности ( ) η n при вычислении первого элемента этой последовательности можно вы- брать нулевыми. При этом будет иметь место не- который переходный процесс, в результате кото- рого начальный участок моделируемого процесса окажется искаженным. Однако после окончания переходного процесса последовательность ( ) η n становится стационарной. В [8] отражено влия- ние начальных условий на протяженность пере- ходного процесса. Таким образом, последовательность значений вектора отсчетов импульсной характеристики многолучевого канала с общими замираниями определяется как ( ) 0 , = η n GGn 1, 2, =  n (19) Для канала с селективными замираниями учет взаимной корреляции между отдельными лучами можно сделать в соответствии с [8] методом ка- нонического разложения или методом линейного преобразования. Число отсчетов сигнала ( ) St из (19) на длительности тактового интервала T опре- деляется количеством отсчетов сигнала ( ). ut Так, например, при моделировании передачи двоичных сообщений с использованием фазовой модуляции с ∆ϕ = ±p символу «+1» соответству- ет сигнал ( ) = ut 00 sin , w Ut символу «-1» соответ- ствует сигнал ( ) = ut 00 sin , -w Ut где 0 U - посто- янная амплитуда. Квадратурные компоненты при этом для 00 sinw Ut определяются как ( ) 0, = x ut ( ) 0 = y ut U и для противоположного сигнала ( ) = ut 00 sin -w Ut ( ) 0, = x ut ( ) 0. = - y ut U Переход к дискретному времени при представ- лении данного сигнала отсчетами ( ) ∆ uk t может быть осуществлен в соответствии с теоремой Ко- тельникова с учетом выбранного значения скоро- сти передачи. Так, например, при сигнале ФМ и скорости передачи 1600 = V бит/с для значения 400 = F Гц получаем 1/2 ∆= = tF / 4. T Таким образом, для приведенного примера полосовому сигналу соответствует 4 отсчета или 2 отсчета на каждую квадратурную компоненту. Заключение Используя описанные выше методики, можно получить выражение для сигнала ( ) ut и его ква- дратурных компонент при более сложных видах модуляции. Отметим, что представленные мате- матические модели многолучевого канала радио- связи являются вполне адекватными для боль- шинства реальных каналов связи и, что самое лавное, хорошо приспособлены для проведения статистического имитационного моделирования.

About the authors

D. V Mishin

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: mishin@psati.ru
Samara, Russian Federation

A. I Tyazhev

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: tyagev@psati.ru
Samara, Russian Federation

References

Supplementary files