Towing couplers of a multi-sectional vehicle

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее тяжелым этапом работы тягача с массивными буксируемыми объектами является режим трогания с места [1, 2]. Это связано с необходимостью преодоления силы трения покоя, которая существенно превышает силу трения движения.

В качестве варианта решения этой проблемы можно рассматривать использование начальной кинетической энергии тягача [3, 4], которая может развиваться при использовании ограниченно упруго-деформируемых тягово-сцепных устройств.

Для оптимизации математической модели далее принимаются допущения: тяговое усилие $F$ на крюке тягача — величина неизменная; инертные массы тягача и буксируемых объектов одинаковы и равны $m$.

Тягач и один буксируемый объект

Динамика тягача описывается выражением:

$F=m\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+k(x_1-x_2)$.    (1)

Здесь $x_1,x_2$ — пути, пройденные тягачом и буксируемым объектом; $k$ — коэффициент упругости тягово-сцепного устройства. 

Динамика буксируемого объекта описывается выражением:

$0=m\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}-k(x_1-x_2)$.

Перемещение тягача равно

$x_1=\frac{m}{k}\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+x_2$.    (2)

Формула (1) с учетом (2) приобретает вид:

$F=\frac{m^2}{k}\frac{d^4{x}_2}{d{t}^2}+m\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+m\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+k{x}_2-k{x}_2=\frac{m^2}{k}\frac{d^4{x}_2}{d{t}^2}+2m\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}$.   (3)

Обозначив

$\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}=z$,    (4)

получим выражение (3), принимающее вид:

$z^{\text{'}\text{'}}+2\frac{k}{m}z=\frac{kF}{m^2}$.    (5)

Общее решение уравнения (5) имеет вид:

$z=C_1\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t+C_2\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{2m}$.

Начальные условия: при $t=0$ $d^2{x}_2/d{t}^2=z=0$, поскольку тягово-сцепное устройство не деформировано и к буксируемому объекту сила не приложена.

В связи с этим при $t=0$ $C_1=-\frac{F}{2m}$.

Используя $C_1$, получим:

$z=-\frac{F}{2m}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t+C_2\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{2m}$.    (6)

Из выражения (4) следует:

$v_2=\int zdt=-\frac{F}{2m}\sqrt{\frac{m}{2k}}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t-C_2\sqrt{\frac{m}{2k}}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{2m}t+C_3$,

$x_2=\int v_{2}dt=\frac{F}{4k}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t-C_2\frac{m}{2k}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{4m}{t}^2+C_{3}t+C_4$.    (7)

Решая совместно выражения (2), (4), (6) и (7), можно записать

$x_1=-\frac{F}{2k}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t+C_2\frac{m}{k}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{2k}+\frac{F}{4k}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t-C_2\frac{m}{2k}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{4m}{t}^2+C_{3}t+C_4$,

$v_1=\frac{d{x}_1}{dt}=\frac{F}{2k}\sqrt{2\frac{k}{m}}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t+C_2\sqrt{2\frac{k}{m}}\frac{m}{k}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t-\frac{F}{4k}\sqrt{2\frac{k}{m}}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t-C_2\sqrt{2\frac{k}{m}}\frac{m}{2k}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{2m}t+C_3$,

$a_1=\frac{d{v}_1}{dt}=\frac{F}{2k}2\frac{k}{m}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t-C_{2}2\frac{k}{m}\frac{m}{k}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t-\frac{F}{4k}2\frac{k}{m}\cos \sqrt{2\frac{k}{m}}t+C_{2}2\frac{k}{m}\frac{m}{2k}\sin \sqrt{2\frac{k}{m}}t+\frac{F}{2m}$,

где при принятых начальных условиях

$C_4=-\frac{F}{4k}$, $C_2=\mathrm{0,}{C}_3=0$.

С учетом установленных коэффициентов решения для тягача и буксируемого объекта приобретают вид:

$x_1=-\frac{F}{4k}\cos \sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{F}{4m}{t}^2+\frac{F}{4k}$, $x_2=\frac{F}{4k}\cos \sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{F}{4m}{t}^2-\frac{F}{4k}$,

$v_1=\frac{F}{2\sqrt{2km}}\sin \sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{F}{2m}t$, $v_2=-\frac{F}{2\sqrt{2km}}\sin \sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{F}{2m}t$,

$a_1=\frac{F}{2m}\cos \sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{F}{2m}$, $a_2=-\frac{F}{2m}\cos \sqrt{\frac{2k}{m}}t+\frac{F}{2m}$.

Период ${\tau }_2$, за который тягово-сцепное устройство подвергнется максимальной деформации [8–10], определяется следующим образом (индекс «₂» равен числу массивных элементов — тягач и буксируемый объект):

$a_1\left({\tau }_2\right)-\frac{F}{2m}=0$ или $\frac{F}{2m}\cos \sqrt{\frac{2k}{m}}{\tau }_2=0$, $\sqrt{2\frac{k}{m}}{\tau }_2=\frac{\pi }{2}$, ${\tau }_2=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$.

За период ${\tau }_2$ тягач переместится на величину

$x_1\left({\tau }_2\right)=-\frac{F}{4k}\cos \sqrt{\frac{2k}{m}}\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}+\frac{F}{4m}\frac{{\pi }^2}{4}\frac{m}{2k}+\frac{F}{4k}=\frac{F{\pi }^2}{32k}+\frac{F}{4k}$.

При этом его скорость станет равна

$v_1\left({\tau }_2\right)=\frac{F}{2\sqrt{2km}}\sin \sqrt{\frac{2k}{m}}\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}+\frac{F}{2m}\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}=\frac{F}{2\sqrt{2km}}+\frac{F\pi }{4\sqrt{2km}}$.

Для оценки эффективности применения упруго-деформируемого тягово-сцепного устройства полученные результаты следует сопоставить с аналогичными результатами, соответствующими абсолютно жесткому тягово-сцепному устройству.

$a=\frac{F}{2m}$, $v=\frac{F}{2m}t$, $x=\frac{F}{4m}{t}^2$.

$x\left({\tau }_2\right)=\frac{F}{4m}\frac{{\pi }^2}{4}\frac{m}{2k}=\frac{F{\pi }^2}{32k}$, $v\left({\tau }_2\right)=\frac{F}{2m}\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}=\frac{F\pi }{4\sqrt{2km}}$.

$\frac{x_1\left({\tau }_2\right)}{x\left({\tau }_2\right)}=\frac{F{\pi }^2/\left(32k\right)+F/\left(4k\right)}{F{\pi }^2/\left(32k\right)}=1+\frac{32}{4{\pi }^2}\approx \mathrm{1,81}$.

$\frac{v_1\left({\tau }_2\right)}{v\left({\tau }_2\right)}=\frac{F/\left(2\sqrt{2km}\right)+F\pi /\left(4\sqrt{2km}\right)}{F\pi /\left(4\sqrt{2km}\right)}=1+\frac{2}{\pi }\approx \mathrm{1,64}$.

$\frac{E_1\left({\tau }_2\right)}{E\left({\tau }_2\right)}=\mathrm{2,69}$.

Здесь $E_1\left({\tau }_2\right),E\left({\tau }_2\right)$ — кинетические энергии тягача.

Сопоставление перемещений, скоростей и энергий свидетельствует о высокой эффективности применения упруго-деформируемого тягово-сцепного устройства.

Тягач и два буксируемых объекта

Динамика тягача и буксируемых объектов описывается выражениями:

$F=m\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+k(x_1-x_2)$,    (8)

$k(x_1-x_2)=m\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+k(x_2-x_3)$,    (9)

$k(x_2-x_3)=m\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}$.

Перемещение второго буксируемого объекта равно

$x_2=\frac{m}{k}\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}+x_3$.    (10)

Дифференцирование этой формулы дает

$\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}=\frac{m}{k}\frac{d^4{x}_3}{d{t}^4}+\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}$.

Уравнение (9) с учетом двух последних формул приобретает вид:

$x_1=\frac{m}{k}\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+2x_2-x_3=\frac{m^2}{k^2}\frac{d^4{x}_3}{d{t}^4}+\frac{m}{k}\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}+2\frac{m}{k}\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}+2x_3-x_3=\frac{m^2}{k^2}\frac{d^4{x}_3}{d{t}^4}+3\frac{m}{k}\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}+x_3$.    (11)

Дифференцирование этой формулы дает

$\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}=\frac{m^2}{k^2}\frac{d^6{x}_3}{d{t}^6}+3\frac{m}{k}\frac{d^4{x}_3}{d{t}^4}+\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}$.

Уравнение (8) с учетом полученных формул приобретает вид:

$\frac{d^6{x}_3}{d{t}^6}+4\frac{k}{m}\frac{d^4{x}_3}{d{t}^4}+3\frac{k^2}{m^2}\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}=\frac{k^{2}F}{m^3}$.     (12)

При обозначении

$\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}=z$     (13)

выражение (12) принимает вид:

${z^{\text{'}\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}+4\frac{k}{m}{z}^{\text{'}\text{'}}+3\frac{k^2}{m^2}z=\frac{k^{2}F}{m^3}$.    (14)

Общее решение уравнения (14) имеет вид:

$z=C_1\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+C_2\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t+C_3\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+C_4\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}$.     (15)

Из выражения (13) следует:

$v_3=\int zdt=C_1\sqrt{\frac{m}{3k}}\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t-C_2\sqrt{\frac{m}{3k}}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+C_3\sqrt{\frac{m}{k}}\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t-C_4\sqrt{\frac{m}{k}}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}t+C_5$,    (16)

$x_3=\int v_{3}dt=-C_1\frac{m}{3k}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t-C_2\frac{m}{3k}\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t-C_3\frac{m}{k}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t-C_4\frac{m}{k}\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{6m}{t}^2+C_{5}t+C_6$.    (17)

Решая совместно выражения (10), (13), (15) и (17), можно записать

$x_2==\frac{2m}{3k}{C}_1\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{2m}{3k}{C}_2\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{3k}+\frac{F}{6m}{t}^2+C_{5}t+C_6$,    (18)

$v_2=\frac{d{x}_2}{dt}=-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3m}{k}}{C}_1\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3m}{k}}{C}_2\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{3m}t+C_5$,    (19)

$a_2=\frac{d{v}_2}{dt}=-2C_1\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t-2C_2\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{3m}$.    (20)

Решая совместно выражения (11), (20), (18) и (17), можно записать:

$x_1=-C_1\frac{m}{3k}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t-C_2\frac{m}{3k}\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t+C_3\frac{m}{k}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+C_4\frac{m}{k}\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{k}+\frac{F}{6m}{t}^2+C_{5}t+C_6$,    (21)

$v_1=\frac{d{x}_1}{dt}=C_1\sqrt{\frac{m}{3k}}\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t-C_2\sqrt{\frac{m}{3k}}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t-C_3\sqrt{\frac{m}{k}}\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+C_4\sqrt{\frac{m}{k}}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}t+C_5$,    (22)

$a_1=\frac{d{v}_1}{dt}=C_1\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t-C_3\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}$.    (23)

В выражениях (16), (17), (18), (19), (20), (21), (22) и (23) для принятых начальных условий:

$C_1=\frac{F}{6m}$, $C_2=0$, $C_3=-\frac{F}{2m}$, $C_4=0$, $C_5=0$, $C_6=-\frac{4F}{9k}$.

С учетом установленных коэффициентов решения для тягача и буксируемых объектов приобретают вид:

$x_1=-\frac{F}{18k}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t-\frac{F}{2k}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{6m}{t}^2+\frac{5F}{9k}$,

$x_2=\frac{F}{9k}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{6m}{t}^2-\frac{F}{9k}$,

$x_3=-\frac{F}{18k}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{2k}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{6m}{t}^2-\frac{4F}{9k}$,

$v_1=\frac{F}{6\sqrt{3km}}\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{2\sqrt{km}}\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}t$,

$v_2=-\frac{F}{3\sqrt{3km}}\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{3m}t$,

$v_3=\frac{F}{6\sqrt{3km}}\sin \sqrt{\frac{3k}{m}}t-\frac{F}{2\sqrt{km}}\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}t$,

$a_1=\frac{F}{6m}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{2m}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}$,

$a_2=-\frac{F}{3m}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t+\frac{F}{3m}$, 

$a_3=\frac{F}{6m}\cos \sqrt{\frac{3k}{m}}t-\frac{F}{2m}\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+\frac{F}{3m}$.

При этом период ${\tau }_3$, за который тягово-сцепное устройство подвергнется максимальной деформации, равен ${\tau }_3=\mathrm{0,427}\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

За этот период ${\tau }_3$ тягач переместится на величину $x_1\left({\tau }_3\right)=\text{0,78}\frac{F}{k}$, а его скорость станет равна $v_1\left({\tau }_3\right)=\frac{F}{\sqrt{km}}$.

Для оценки эффективности применения упруго-деформируемых тягово-сцепных устройств полученные результаты следует сопоставить с аналогичными результатами, соответствующими абсолютно жестким тягово-сцепным устройствам:

$a=\frac{F}{3m}$, $v=\frac{F}{3m}t$, $x=\frac{F}{6m}{t}^2$,

$x\left({\tau }_3\right)=\frac{F}{6m}{\left(\mathrm{0,427}\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\right)}^2=\mathrm{0,3}\frac{F}{k}$, $v\left({\tau }_3\right)=\frac{F}{3m}\cdot \mathrm{0,427}\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\mathrm{0,45}\frac{F}{\sqrt{mk}}$.

$\frac{x_1\left({\tau }_3\right)}{x\left({\tau }_3\right)}=\mathrm{2,6}$, $\frac{v_1\left({\tau }_3\right)}{v\left({\tau }_3\right)}=\mathrm{2,22}$, $\frac{E_1\left({\tau }_3\right)}{E\left({\tau }_3\right)}=\mathrm{4,93}$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использование упруго-деформируемых тягово-сцепных устройств дает возможность накопления начальной кинетической энергии тягача, что позволяет преодолеть силу трения покоя и обеспечить трогание тяжелых буксируемых объектов.

Сопоставление кинематических и динамических параметров тягача с буксируемыми объектами для вариантов с абсолютно жесткими и упруго-деформируемыми тягово-сцепными устройствами (см. табл.) показывает, что эффективность использования последних возрастает с увеличением числа буксируемых объектов.

Таблица 1. Сопоставление кинематических и динамических параметров

Table 1: Comparison of kinematic and dynamic parameters

Упруго-деформируемые тягово-сцепные устройства могут вызывать колебания системы тягач–буксируемые объекты. Для их предотвращения тягово-сцепные устройства надлежит блокировать в момент их наибольшей деформации.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад автора. Автор подтверждает соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (автор внес существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочел и одобрил финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Автор декларирует отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Автор заявляет об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Author’s contribution. The author confirms that his authorship complies with the international ICMJE criteria (the author made a significant contribution to the development of the concept, research and preparation of the article, read and approved the final version before publication).

Competing interests. The author declares that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Igor P. Popov

Author for correspondence.
Email: uralakademia@kurganstalmost.ru
ORCID iD: 0000-0001-8683-0387

Cand. Sci. (Tech.), Associate Professor of the Technology of Mechanical Engineering, Machine Tools and Instruments Department

References

Supplementary files