Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Mecanum колесо – это роликонесущее колесо с цилиндрическим ободом, образованным совокупностью поверхностей роликов, оси которых закреплены на диске колеса равноудаленно от центра колеса и наклонены к оси колеса на угол 45° (рис.1а). Mecanum колесо также называется колесом Илона по фамилии инженера шведской компании «Mecanum AB», запатентовавшего такую конструкцию в 1972 году [1]. Независимое вращение роликов добавляет колесу при контакте с опорой дополнительную степень свободы. Таким образом изменение соотношения скорости вращения колеса и ролика обеспечивает mecanum колесу возможность перемещения по плоскому опорному основанию в любом направлении.

Колеса mecanum нашли применение в технике, выполняющей широкий круг задач. Все мобильные роботы компании KUKA оснащены mecanum колесами в качестве ходовой системы. Так мобильные платформы KUKA omniMove на заводе Airbus в Гамбурге в ограниченном пространстве перемещают большегрузные детали весом до 90 тонн и длиной до 15 метров, а мобильные подъёмные рабочие платформы KUKA Triple Lift используются для обслуживания и ремонта самолётов. Компания OKTA Lift занимается производством вилочных погрузчиков, которые используются для перемещения грузов в крайне стеснённых условиях: на складах, кораблях. Манчестерский университет разработал мобильного робота класса мини и изменяемой геометрией рамы, приспособленного для исследований, связанных с радиоактивным загрязнением, на атомных электростанциях. Таким образом производство mecanum колес освоено зарубежной промышленностью.

Несмотря на доступность транспортных средств с mecanum колесами, в научном сообществе не опубликована теория движения mecanum колеса, с достаточной точностью описывающая тяговый режим, ускоренное движение, смену направления движения, переходные режимы, в том числе пуск-останов. Большое число работ, прогнозирующих подвижность mecanum платформ с различным числом и конфигурацией колес опираются на упрощенные кинематические зависимости, которые не согласуются с экспериментальными данными [2]. Наиболее проработанная динамическая модель платформы с mecanum колесами разработана в ряде работ Б.И. Адамовым и его соавторами [3 - 5], она, при принятых допущениях (безмассовые ролики; в контакте с поверхностью всегда только один ролик; контактное взаимодействие роликов при качении описывается зависимостями для скольжения), позволяет уточнить кинематические характеристики платформы, колеса и его элементов.

Движение mecanum колеса является сочетанием двух качений: качения всего колеса с роликами как единого целого и качения вращающихся роликов. Можно и следует рассматривать движение mecanum колеса с точки зрения теории качения колеса [6], считая ролики катящимися колесами переменного радиуса с изменяющимся развалом.

Ключевым параметром, связывающим кинематические и динамические характеристики катящегося колеса является коэффициент реакции в пятне контакта φ [6] – нелинейная зависимость касательной реакции от скольжения в пятне контакта с опорной поверхностью. Он устанавливает связь движущих моментов на колесах (через касательные реакции) со скоростями движения транспортного средства, скоростями вращения колес и роликов (через скольжение, определяемое отношением скорости скольжения и относительной скорости). Таким образом без учета изменения коэффициента φ невозможно установить адекватное соответствие кинематических и динамических характеристик mecanum платформы, то есть решить прямую и обратную задачи динамики.

Ряд значительных допущений, принятых в существующих моделях mecanum колеса говорят о существенных трудностях, возникающих при решении уравнений динамики mecanum колеса аналитическими методами. Вследствие этого описываемая в данной работе модель создана с использованием программного комплекса моделирования динамики тел.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ MECANUM КОЛЕСА

Для снижения ударных нагрузок при качении mecanum колеса необходимо, чтобы поверхности роликов с высокой точностью вписывались в цилиндрический обод колеса. Геометрически точный профиль ролика, соответствующий данному требованию получен А. Гфреррером. Образующей такого идеального ролика является плоская кривая восьмого порядка. Гфреррер также делает вывод об избыточной точности идеальной образующей для практических задач [7].

Результатом пересечения плоскостей поперечных сечений ролика, и цилиндрического обода колеса будут идентичные эллипсы. Если каждое из поперечных сечений ролика будет касательным к эллипсу, который образуется плоскостью этого сечения, то и вся поверхность ролика будет касательной к цилиндрическому ободу колеса. 3D моделированием выявлено, что достаточно точную поверхность ролика возможно получить, построив лишь центральное и торцевые сечения роликов. Такое построение возможно выполнить на простой плоской схеме (рис. 1c).

Рис. 1. Mecanum колесо: а, b – проекции mecanum колеса; c – схема построения ролика

Fig.1. A mecanum wheel: a, b – Views of the mecanum wheel; c – scheme for constructing a roller

Исходными данными для построения ролика являются ширина колеса h, диаметр обода колеса D и расстояние между осями колеса и ролика k. На рисунке 1b показана проекция колеса, для которой плоскости сечений ролика параллельны плоскости проекции, а ось ролика - перпендикулярна. Сечения ролика на этой проекции концентричны, а эллипсы смещены на эксцентриситеты, которые равны друг другу. Возможно перейти к эквивалентной схеме (рис. 1c), на которой эллипсы концентричны (также эллипсы равны друг другу), а центры сечей смещены на эксцентриситет. Затем необходимо из найденных центров построить окружности, которые касаются эллипса, они и будут искомыми центральным и торцевыми сечениями ролика. Далее следует интерполировать остальные сечения ролика параболой, опираясь на радиусы построенных сечений.

Автоматически построенный средствами 3D моделирования след пересечения построенной поверхности ролика с цилиндрическим ободом колеса показан на рисунке 1а красными линиями. Узость следа говорит о высокой точности полученной аппроксимации.

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТЕРА С MECANUM КОЛЕСАМИ

Моделирование динамики транспортного средства с mecanum колесами проводилось в программном комплексе анализа динамики систем тел «Универсальный Механизм» [8]. Средствами программного комплекса создается система твердых тел, каждое из которых связано посредством шарниров (связей), по меньшей мере, с одним другим. Затем к системе прикладываются активные силы. Уравнения движения системы тел автоматизировано синтезируются с использованием формализма Ньютона-Эйлера и имеют вид дифференциально-алгебраических уравнений. Для интегрирования жестких дифференциальных уравнений (при наличии контактных сил) используется метод Парка с выводом матриц Якоби. Уравнения движения систем тел в общем случае можно представить в следующем виде:

где q – основные координаты объекта, p – вспомогательные координаты (локальные координаты в разрезанных шарнирах); M – матрица масс, k, Q – столбцы сил инерции и обобщенных сил соответственно; λ – множители Лагранжа, соответствующие силам реакций в разрезанных шарнирах; второе уравнение системы – алгебраические уравнения связей или условия замыкания разрезанных шарниров. Матрица G является матрицей Якоби уравнений связей после исключения из них вспомогательных координат [8].

Основные геометрические и инерционные характеристики транспортного средства представлены в таблице 1. Твердыми телами в данной модели являются ролики, диски колес, корпус и опора (рис. 2а). Каждый ролик связан с диском колеса вращательным шарниром с одной степенью свободы. Колеса также связаны с корпусом вращательным шарниром с одной степенью свободы, модель управляется изменением скорости вращения этих шарниров. Корпус связан с опорой шарниром с шестью степенями свободы. Контактное взаимодействие роликов с опорой моделируется силовыми элементами «Окружность-Плоскость», предназначенными для описания качения. С каждым роликом связаны семь таких окружностей (показаны красным на рис. 2b).

Таблица 1.

Основные параметры модели транспортера

                                           а                                                               b

Рис. 2. Динамическая модель транспортера с mecanum колесами: а – общий вид транспортера; b – Mecanum колесо и окружности, моделирующие качения ролика

Fig. 2. The model of the mecanum-wheeled vehicle: a – view of the vehicle; b –
the roller rolling model

КОНТАКТРОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РОЛИКОВ С ОПОРОЙ

Контактное взаимодействие в программном комплексе «Универсальный Механизм» реализуется в виде модели податливого контакта, при котором допускается внедрение контактирующих элементов тела в опорную поверхность. При наличии контакта рассчитываются две силы: нормальная реакция N, упруго-диссипативно зависящая от глубины и скорости внедрения, и касательная реакция [8].

Негладкая модель ролика (в виде дискретных окружностей) вызывает осцилляции нормальных реакций, которые не будут возникать на практике. Итерационно были выбраны коэффициенты жесткости с = 3*10⁴ Н/м и диссипации

About the authors

Alexey S. Dyakov

Email: Diakov_as@bmstu.ru

Dmitrii S. Fedorov

Author for correspondence.
Email: fedor0v_dmitrii@mail.ru
Russian Federation

References

Supplementary files