Investigation of the relationship between theoretical and actual turning radii of a tracked vehicle using mathematical modeling

Full Text

Введение Теоретический радиус поворота гусеничной машины (ГМ) определяется скоростями вращения ведущих колес. Но так как при криволинейном движении ГМ обычно наблюдается буксование забегающей гусеницы и юз отстающей, то фактический радиус поворота отличается от теоретического в большую сторону. Точность классического подхода к оценке тяговых возможностей гусеничных машин в повороте зависит от правильности определения взаимосвязи теоретического и фактического радиусов поворота [1, 2, 3, 4]. В литературе эта взаимосвязь часто считается постоянной величиной [4, 5]: (1) где - фактический радиус поворота; - теоретический радиус поворота. В ряде источников взаимосвязь радиусов поворота зависит от параметров ходовой части гусеничной машины [6]: (2) где - база гусеничной машины; - колея гусеничной машины. Рассмотренные отношения имеют приемлемую точность не во всех режимах движения гусеничной машины (ГМ). Так, из работы [8] следует, что при приближении скорости машины к предельной по устойчивости фактический радиус поворота может меняться относительно теоретического. Очевидно, что при наступлении заноса ГМ это изменение может достигнуть значительной величины. Вместе с тем, к современным ГМ предъявляются все большие требования по быстроходности, что вызывает необходимость движения со скоростью близкой к критической по заносу. Использование точных математических моделей при исследовании этих режимов позволит корректно выбирать параметры силовой установки и трансмиссии, и может быть полезно при разработке систем управления поворотом ГМ. Математическая модель стационарного поворота гусеничной машины Математическая модель, описанная далее, предназначена для исследования стационарного поворота ГМ с учётом особенностей взаимодействия активных участков гусениц с опорным основанием типа «плотный грунт» согласно подходу, базирующемуся на представлении об «эллипсе трения» [7]. Движение корпуса гусеничной машины представлено как движение твёрдого тела в горизонтальной плоскости по ровной опорной поверхности и складывается из поступательного движения центра масс машины и вращательного движения корпуса вокруг центра масс. В модели происходит учёт перераспределения нормальных нагрузок между активными участками гусеницы, вызванного действием внешних сил. Однако связь опорных катков (ОК) с корпусом ГМ в вертикальной плоскости рассматривается без учёта упругих свойств подвески. При создании имитационной модели были приняты следующие допущения: 1) массы подрессоренных и неподрессоренных элементов приведены к корпусу ГМ; 2) движение ГМ происходит по ровной горизонтальной опорной поверхности типа «плотный грунт». Под ОП типа «плотный грунт» понимается поверхность, деформируемая по нормали и в касательной плоскости, при этом бульдозерный и экскавационный эффекты, возникающие при взаимодействии движителя с ОП отсутствуют, а деформации по нормали пренебрежимо малы; 3) определение нормальных реакций опорных катков (ОК) при взаимодействии с опорной поверхностью происходит с допущением о совместности деформаций упругих элементов системы подрессоривания и отсутствии изменения углов крена и дифферента корпуса, а также вертикальной координаты центра масс ГМ; 4) вектор касательной силы взаимодействия каждого активного участка гусеницы, находящегося под опорным катком в плоскости опорного основания, расположен в геометрическом центре этого участка и направлен противоположно вектору скорости скольжения [8]; 5) проекции центров опорных катков на активные участки гусеницы совпадают с геометрическими центрами этих участков; 6) силы сопротивления прямолинейному движению ГМ приведены к моментам сопротивления качению опорных катков по гусенице; 7) ГМ симметрична относительно продольной оси; 8) взаимодействие ходовой части и опорного основания происходит только под активными участками гусеницы (согласно [9], эпюра распределения нормальных реакций по длине опорной ветви гусеницы при движении по опорному основанию типа «плотный грунт» разрывна, основная часть нормальной нагрузки передаётся через участки гусеницы, расположенные под опорными катками). Математическая модель характеризуется следующей системой уравнений (3), описывающей плоское стационарное движение ГМ в повороте. Расчетная схема, соответствующая рассматриваемой математической модели, представлена на рис. 1. (3) где , - проекции касательной силы взаимодействия активного участка гусеницы с опорной поверхностью, расположенного под i-ым опорным катком, на продольную и поперечную оси машины (оси системы координат ); - сила сопротивления воздушной среды; - момент сопротивления повороту активного участка гусеницы под i-ым опорным катком; - проекция вектора скорости центра масс на продольную ось ГМ; - проекция вектора скорости центра масс на поперечную ось ГМ; - угловая скорость поворота корпуса ГМ вокруг вертикальной оси; - число опорных катков ГМ. Сила сопротивления воздушной среды [14]: (4) где - коэффициент аэродинамического сопротивления; - площадь лобового сечения машины; - плотность воздуха. Рис. 1. Расчётная схема стационарного поворота ГМ Fig. 1. Design scheme of stationary rotation of the tracked vehicle Для определения реакций взаимодействия движителя с опорным основанием необходимо найти скорости скольжения активных участков гусеницы (рис. 2). Определение проекций вектора переносной скорости активного участка гусеницы на оси системы координат : (5) где - проекция вектора скорости переносного движения активного участка гусеницы на ось ; - проекция вектора скорости переносного движения активного участка гусеницы на ось ; - продольная координата центра активного участка гусеницы относительно центра масс машины (в системе координат ); - поперечная координата центра активного участка гусеницы относительно центра масс машины (в системе координат ). Определение проекций вектора скорости скольжения активного участка гусеницы на оси системы координат : (6) где - радиус ведущего колеса; - угловая скорость вращения ведущего колеса соответствующего борта. а) б) Рис. 2. Расчётные схемы: а) активного участка гусеницы ГМ; б) эллипса трения Fig. 2. Design schemes: a) of the active section of the tracked vehicle caterpillar; b) friction ellipse Определение коэффициента скольжения активного участка гусеницы S [8]: (7) Определение синуса и косинуса угла направления скорости скольжения [11, 7, 12]: (8) Траки гусеничных машин часто обладают различными сцепными качествами в продольном и поперечном направлении. Эта особенность отражается с помощью коэффициента анизотропии [8]: (9) где - максимальный коэффициент взаимодействия рассматриваемого активного участка гусеницы с грунтом в продольном направлении; - максимальный коэффициент взаимодействия рассматриваемого активного участка гусеницы с грунтом в поперечном направлении. В связи с тем, что взаимодействие трака гусеницы с опорной поверхностью неизотропно [8], связь коэффициента взаимодействия с направлением скорости скольжения может быть описана при помощи эллиптической зависимости (рис. 2, б): (10) Определение коэффициента взаимодействия активного участка гусеницы с опорной поверхностью [8, 11, 10]: (11) где - константа, характеризующая сходство взаимодействия с сухим трением Определение проекций касательной силы взаимодействия активного участка гусеницы с опорной поверхностью на продольную и поперечную оси машины: (12) Определение момент сопротивления повороту i-ого активного участка гусеницы [6]: (13) где - кривизна траектории движения центра i-ого активного участка гусеницы; - нормальная реакция, приходящаяся на i-ый активный участок гусеницы; - площадь площадки контакта активного участка гусеницы с опорной поверхностью. В данном исследовании принято, что ширина площадки контакта соответствует ширине трака, а длина - удвоенной длине трака: (14) где , - длина и ширина трака. При движении ГМ в повороте нормальные реакции , воспринимаемые активными участками гусеницы, перераспределяются в результате действия внешних силовых факторов. Так, на изменение величины влияют: сила аэродинамического сопротивления , сила инерции машины, вызванная центростремительным ускорением, а также сумма моментов сопротивления качению опорных катков , (рис. 3): (15) где - коэффициент сопротивления движению ГМ; - радиус опорных катков. а) б) Рис. 3. Расчётные схемы к определению нормальных реакций активных участков гусеницы: а) вид сбоку; б) вид спереди Fig. 3. Design schemes for determining the normal reactions of active sections of the caterpillar: a) side view; b) front view Для определение величин рассматривается уравнение баланса сил в проекции на вертикальную ось машины, а также уравнения баланса моментов относительно продольной и поперечной осей, проходящих через проекцию центра масс ГМ на опорное основание (точка А, рис. 3). В предложенной модели реакции , действующие на каждый активный участок гусеницы, могут быть определены из решения системы уравнений: (16) Система (16) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в рамках рассматриваемой модели она числено решается матричным методом. Необходимо отметить, что связь гусениц с грунтом не является удерживающей, что означает, что отрицательные значения , полученные при решении системы (16), лишены физического смысла. В случае отрицательных реакций их величины принимаются равными нулю и производится повторное решение системы с соответствующим уменьшением количества уравнений. Считается, что решение системы может быть найдено, если положительны величины нормальных реакций хотя бы трёх катков, не принадлежащих одному борту. В противном случае считается, что произошло опрокидывание машины. В данном исследовании ставится целью изучение влияния конструктивных параметров шасси, а также условий движения ГМ на взаимосвязь фактического и теоретического радиуса поворота. Такая задача подразумевает проведение многофакторного вычислительного эксперимента, поэтому необходимо обеспечить быстрое численное решение описанной выше математической модели. Её анализ показывает, что уравнения системы (3) и входящие в нее величины в общей сложности содержат пять неизвестных параметров: . В связи с тем, что система имеет три уравнения, для ее решения необходимо определить две из указанных величин. При задании продольной проекции скорости центра масс и фактического радиуса поворота , угловая скорость вращения ГМ вокруг вертикальной оси может быть определена как: (17) Таким образом обеспечивается возможность определения с помощью численного решения системы (3). В данной работе использовался метод решения нелинейных систем уравнений Trust-Region-Dogleg. С полученным решением теоретический радиус поворота можно определить по формуле: (18) Исследование взаимосвязи фактического и теоретического радиусов поворота Приведённая математическая модель стационарного поворота гусеничной машины описывает движение ГМ и особенности взаимодействия движителя с опорным основанием точнее классических аналитических зависимостей, что позволяет провести оценку зависимости фактического радиуса от теоретического радиуса поворота для современных высокоподвижных ГМ. Для проведения сравнительных численных экспериментов используются характеристики транспортной ГМ, представленные в таблице 1 и характеристики опорной поверхности, представленные в таблице 2. Таблица 1 Технические характеристики объекта исследования Table 1. Research object technical characteristics Масса , кг 20000 База , м 4,445 Колея , м 2,5 Высота центра масс , м 1,1 Число опорных катков по борту, 7 Радиус опорных катков , м 0,31 Радиус ведущего колеса , м 0,31 Таблица 2 Исходные данные вычислительного эксперимента Table 2. Initial data of the computational experiment Скорость движения ГМ , км/ч 5 Коэффициент 0,1 Максимальный коэффициент взаимодействия с ОП в продольном направлении 0,85 Коэффициент анизотропии 1 Коэффициент сопротивления движению 0,07 Для оценки соотношения фактического и теоретического радиусов целесообразно в выражение (2) ввести некоторый коэффициент : (19) Проведем исследование по выявлению зависимостей коэффициента от скоростных режимов движения ГМ, фактического радиуса поворота и от массогабаритных параметров машин, описывающих взаимодействие с внешней средой. При проведении вычислительных экспериментов фактический радиус задавался, в то время как теоретический радиус поворота определялся по зависимости (18). Рассмотрим влияние на коэффициент фактического радиуса поворота. Согласно [13], дорожная кривизна описывается нормальным случайным распределением с математическим ожиданием равным нулю и среднеквадратическим отклонением , находящимся в диапазоне: (20) Согласно правилу «трёх сигм», можно принять максимальную кривизну траектории, встречающуюся при эксплуатации ГМ, равной 0,12 м-1, что соответствует фактическому радиусу, равному . С другой стороны, в [6] утверждается, что движение гусеничной машины с радиусами более 300 м можно принять прямолинейным. В связи с этим исследование зависимости коэффициента от фактического радиуса поворота будет проводиться при , лежащем в диапазоне от до метров. При исследовании зависимости использовались параметры, приведённые в таблицах 1 и 2. На рис. 4 представлена зависимость коэффициента от фактического радиуса поворота. Из полученных данных следует, что при проведении оценочных расчетов ГМ для случаев движения с большими радиусами поворота коэффициент можно считать постоянным (для практических расчетов удобно принять ). При этом для уточненных расчетов или анализа поворотов машины малым радиусом зависимость необходимо учитывать. Рис. 4. Зависимость коэффициента от фактического радиуса поворота Fig. 4. Dependence of the coefficient on the actual turning radius Рассмотрим влияние на коэффициент конструктивных параметров ходовой части. В качестве варьируемых параметров для данного эксперимента приняты отношение базы машины к колее и число опорных катков на борту машины. Зависимость исследовалась в диапазоне . Число опорных катков по борту для большинства высокоподвижных ГМ составляет 5-7 шт. Остальные величины, описывающие движение ГМ во внешней среде, приняты постоянными (таблицы 1 и 2). Изменение отношения достигалось путем корректировки базы машины . Эксперимент проводился при наиболее вероятной кривизне поворота[13]: (21) Следовательно, математическое ожидание модуля дорожной кривизны лежит в диапазоне: (22) Для вычислительного эксперимента примем величину фактического радиуса поворота , соответствующую кривизне из указанного промежутка, например . На рис. 5 представлена полученная зависимость коэффициента от отношения и количества опорных катков ГМ по борту . Анализ полученных данных говорит о том, что коэффициент имеет существенную зависимость от отношения . Количество опорных катков также оказывает влияние на величину коэффициента (рост с уменьшением числа катков). Существенное влияние на могут оказывать параметры, описывающие взаимодействие движителя с опорной поверхностью. Так, в соответствии с математической моделью, для описания взаимодействия с грунтом используются следующие параметры: максимальный коэффициент взаимодействия движителя с опорной поверхностью в продольном направлении , коэффициент анизотропии , коэффициент . Кроме того, для учета сопротивления движению ГМ используется коэффициент . Рис. 5. Зависимость от отношения при различных значениях Fig. 5. Dependence of on ratio at different values Согласно [14] при движении по дорогам и местности коэффициент может изменяться в пределах от 0,3 до 0,85. При этом [14] коэффициент сопротивления движению для различных типов ОП принимает значения в диапазоне от 0,035 до 0,3. Коэффициент анизотропии зависит от формы контактной поверхности траков гусеницы. В случае транспортных машин его величина близка к единице, но у специализированной техники (например, тяговых машин) его величина может изменяться. В качестве примера проанализируем зависимость от в диапазоне от 0,6 до 1 [8]. Величина коэффициента характеризует наклон касательной к зависимости коэффициента взаимодействия активных участков гусеницы с опорной поверхностью от коэффициента скольжения в области и, таким образом, показывает насколько рассматриваемое взаимодействие отличается от сухого трения (чем ближе к 0, тем ближе описываемое взаимодействие к закону сухого трения). Так, для случая движения по асфальтобетонной опорной поверхности может достигать величины 0,01, при этом в случае движения по грунтовой дороге в период распутицы или заболоченной местности может принимать значения порядка 0,2. Для исследования чувствительности коэффициента к каждому из рассматриваемых параметров по отдельности, варьирование ими производится по очереди в указанных диапазонах. Постоянные параметры машины и условий движения принимались в соответствии с таблицами 1 и 2 по аналогии с предыдущими вычислительными экспериментами . В таблице 3 перечислены пределы возможного изменения указанных параметров: Таблица 3 Пределы изменения параметров, описывающих взаимодействие движителя с опорной поверхностью Table 3. Limits of variation of parameters describing the interaction of the propeller with the supporting surface Максимальный коэффициент взаимодействия с ОП в продольном направлении 0,3…0,85 [14] Коэффициент анизотропии 0,6…1 [8] Коэффициент 0,01…0,2 Коэффициент сопротивления движению 0,035…0,3[14] Полученные зависимости коэффициента от указанных параметров представлены на рис. 6: а) б) в) г) Рис. 6. Зависимость от: а - ; б - ; в - ; г - Fig. 6. The dependence of on: a - ; б - ; в - ; г - Из полученных данных следует, что коэффициент существенно зависит от коэффициента в диапазоне от 0,01 до 0,1. В области степень его влияния снижается. Также присутствует зависимость коэффициента от коэффициента анизотропии во всем рассматриваемом диапазоне, что необходимо учитывать. Связь между коэффициентом и максимальным коэффициентом взаимодействия с опорным основанием , а также коэффициентом сопротивления движению при принятых допущениях практически отсутствует. Рассмотрим зависимость коэффициента от скоростного режима движения. Из-за смещения полюса поворота машины в сторону осей передних опорных катков при приближении к заносной скорости движения происходит уменьшение момента сопротивления повороту ГМ [4, 8, 15], что подтверждается экспериментальными данными [8]. При этом следует учесть, что высота центра масс машины оказывает существенное влияние на перераспределение сил сопротивления перематыванию гусениц, которое может повлечь за собой невозможность реализации требуемого тормозного момента на отстающей гусенице. Таким образом, исследование влияния скоростного режима движения на коэффициент целесообразно проводить с учетом различных вариантов высоты центра масс машины. При исследовании зависимости коэффициента от указанных параметров другие величины, описывающие движение машины, равно как и саму машину, приняты постоянными (таблицы 1 и 2). Для вычислительного эксперимента примем по аналогии с предыдущими вычислительными экспериментами. При проведении вычислительных экспериментов считается, что машина движется в повороте наиболее вероятного радиуса (так же, как и в предыдущих вычислительных экспериментах). В рассматриваемых дорожных условиях критическая скорость ГМ по заносу составляет 60,6 км/ч. Такая скорость вполне может быть достигнута современными ГМ. Это подтверждает, что исследование режимов движения близких к критической скорости по заносу представляет практический интерес. Для определения диапазона изменения высоты центра масс машины рассмотрим зависимость критической скорости ГМ по опрокидыванию [16] с учётом определения величины коэффициента поперечной устойчивости [17]: (23) Если величина , то занос ГМ произойдет раньше, чем опрокидывание. В связи с этим с целью обеспечения высокого уровня подвижности величина для современных машин должна быть более 0,65-0,85 (для высокоскоростного маневрирования по опорной поверхности типа «дернистый грунт»). Для оценки максимального значения проанализируем машины, обладающие низким центром тяжести (например, танки). Высота центра масс таких машин составляет порядка одного метра, а колея при этом находится на уровне 2,7 м. То есть при проведении вычислительного эксперимента максимальное значение можно принять равным 1,35. Таким образом, для оценки влияния скоростного режима движения на коэффициент удобно использовать следующие удельные показатели: величину и отношение . Диапазон изменения принимается от 0,8 до 1,35. Так как установившееся движение с заносной скоростью невозможно, диапазон изменения принимается от 0,1 до 0,9. На рис. 7 представлена полученная зависимость коэффициента от отношения при различных значениях . Анализ полученных данных показал, что при влияние отношения и коэффициента ярко выражено. При этом характер изменения коэффициента существенно различается в зависимости от значения коэффициента поперечной устойчивости . В случае теоретический радиус поворота машины стремится к фактическому [8] (машина проявляет избыточную поворачиваемость) при приближении скорости движения к критической по заносу. При разность между теоретическим и фактическим радиусами увеличивается (машина проявляет недостаточную поворачиваемость), что вызвано увеличением юза на отстающей гусенице из-за недостатка нормальной реакции при реализации тормозной силы. Рис. 7. Зависимость от отношения при различных Fig. 7. The dependence of on ratio at various Заключение Классический подход к тяговому расчёту ГМ содержит ряд погрешностей, одной из которой является определение теоретического радиуса поворота. Введённый коэффициент для наиболее распространённых геометрических параметров гусеничных машин находится в диапазоне от 1,2 до 1,4 при малых скоростях движения. Повысить точность классического расчёта можно, приняв коэффициент постоянным и равным 1,3 для случаев движения ГМ со скоростями, далёкими от критической скорости по заносу. Тем не менее, при исследованиях, связанных с движением гусеничной машины на скоростях, близких к критической скорости по заносу, например, при исследовании быстроходности ГМ, оценке её энергоэффективности или определении необходимой для высокоскоростного маневрирования тяговооруженности, возникает необходимость учитывать влияние на коэффициент таких параметров как коэффициент анизотропии сцепных свойств трака и коэффициент . Это можно сделать, используя имитационное компьютерное моделирование или уточненные с его помощью аналитические зависимости. Так, в работе [18] предлагается уточнять классический тяговый расчет поворота путем аппроксимации коэффициента нейронной сетью. Величина изменения коэффициента , отражающего отношение теоретического и фактического радиусов (или отношение теоретической и фактической угловой скорости корпуса ГМ) имеет большое значение при практическом определении начала заноса ГМ [8]. В связи с этим качественно разный характер изменения в зависимости от (или высоты центра масс ГМ) при приближении к критической скорости необходимо учитывать как при оценке быстроходности машины и определении необходимой тяговооруженности, так и при разработке систем активной безопасности ГМ [8, 19], особенно учитывая тот факт, что высота центра масс транспортных ГМ существенно изменяется в зависимости от загрузки.

About the authors

A. A Stadukhin

Bauman Moscow State Technical University

Email: ant.m9@ya.ru
PhD in Engineering Moscow, Russia

References

Supplementary files