Mathematical modeling of the dynamics of manipulation system for mobile transport and technological machine with reference to the elasticity of elements

Full Text

Введение Манипуляционные системы нашли широкое применение в качестве исполнительных механизмов транспортно-технологических машин и комплексов. Области преимущественного использования манипуляторов включают промышленное производство, энергетику, металлургию, строительство, газо- и нефтедобычу, геологоразведку, магистральный транспорт нефти и газа, автомобильные, железнодорожные и морские перевозки, лесную промышленность, сельское хозяйство, пищевую промышленность, промышленность строительных материалов, сферу обслуживания [1]. В связи со сложившейся геополитической обстановкой в стране взят курс на импортозамещение. Однако импортозамещение должно в первую очередь основываться не на введении административных запретов на ввоз в страну импортной техники, а на естественном отказе потребителей от иностранного товара в пользу отечественного. Такое развитие ситуации возможно только при выпуске российскими машиностроительными предприятиями современных конкурентоспособных манипуляторов, обладающих высокими потребительскими свойствами, высокой надежностью, низкой стоимостью эксплуатации. Цель исследования Целью исследования является развитие методик динамико-прочностного моделирования манипуляционных систем мобильных транспортно-технологических машин. Математическое моделирование манипуляционных систем Наиболее распространенным допущением при моделировании является представление элементов стрелы манипулятора как абсолютно твердых тел [2-4]. Такой подход оправдан для манипуляторов мобильных машин, которые не имеют высокоточной системы управления и не отличаются жесткими требованиями к точности позиционирования [5]. Он также позволяет снизить трудоемкость решения задачи [6]. Однако в ряде случаев, например, для расчета живучести или проектирования систем управления, необходимо исследовать характер упругих динамических колебаний в системе. Это требует учета упругости звеньев. В статье рассматривается алгоритм численного анализа динамики с учетом упругости звеньев стрелы манипуляционной системы транспортно-технологической машины. Манипулятор может быть представлен как совокупность произвольно ориентированных в пространстве упругих тел. Положение системы координат Оxiyizi, связанной с i-м звеном, определяется вектором . (рис. 1). Система координат звена располагается на одном из его торцов. Рис. 1. Система координат упругого звена и параметры его деформации: 1 - исходное состояние звена; 2 - деформированное состояние Положение второго торца определяется вектором : , где - вектор перемещения звена как абсолютно твердого тела, - вектор перемещения, связанный с упругой деформацией звена. В глобальной системе координат Оxyz положение второго торца звена определяется соотношением , где - матрица поворота локальной системы координат звена по отношению к глобальной системе координат. Матрица поворота зависит от параметров Родрига-Гамильтона ( , , , ) следующим образом: Первый параметр Родрига-Гамильтона (коэффициент пропорциональности) вычисляется следующим образом: . Тогда другие параметры можно найти из соотношений: или , где , - угол поворота относительно оси Эйлера, - углы ориентации оси Эйлера в глобальной системе координат, - единичный вектор, направленный по оси Эйлера [7]. Вектор упругой деформации звена вычисляется как суперпозиция форм упругих колебаний звена: , где - матрица форм колебаний, - вектор упругих координат [8]. Таким образом, главными координатами исследуемой системы являются: , , , , , [8]. Скорость i-го звена манипуляционной системы: где - вектор скорости локальной системы координат относительно глобальной, - вектор локальных угловых скоростей, - вектор скоростей деформации звена [8]. Ускорение i-го звена манипуляционной системы , где - кососимметрическая часть тензора угловых скоростей звена в локальной системе координат, - вектор ускорения локальной системы координат относительно глобальной, - вектор тангенциального ускорения, - вектор скорости второго конца звена в локальной системе координат, - ускорение деформации звена [8]. Уравнения движения исследуемой системы можно записать с использованием принципа виртуальных работ: , где - виртуальное перемещение вектора положения i-го звена, - плотность материала, - объем звена. Виртуальное перемещение вектора положения i-го звена в главных координатах выглядит следующим образом: где - обобщенные координаты, - единичная матрица размером 3х3, - виртуальный поворот. Окончательно получаем: , где - матрица масс, - вектор сил, зависящих от квадрата скоростей. Виртуальная работа внешних сил , где - внешняя сосредоточенная сила (момент) или равнодействующая распределенной силы (момента), приложенная к i-му звену. Внутренние силовые факторы, связанные с упругостью звеньев манипулятора, вычисляются с использованием матрицы жесткости , которая вычисляется из условия: . Матрица упругости для манипулятора может быть вычислена с использованием метода конечных элементов [8]. В расчетах использовались матрицы жесткости кранов-манипуляторов, полученные в ходе исследований [9-11]. Полная виртуальная работа с учетом инерционных, внутренних и внешних силовых факторов выглядит следующим образом: , где - вектор упругих сил [8]. Из последнего соотношения вытекают уравнения Ньютона-Эйлера для несочлененных и незакрепленных объектов с учетом упругости звеньев [8]: Уравнения движения с учетом ограничений (сочленений и закреплений) выражаются с помощью метода множителей Лагранжа: , где - матрица уравнений связи, - множители Лагранжа [6; 8]. Для учета всех уравнений связи необходимо записать соответствующее количество уравнений вида . Указанные выше уравнения записаны в общем виде. Для их применения к расчету манипуляционных систем необходимо добавить уравнения связи, учитывающие шарнирное сочленение отдельных упругих звеньев. Для задания шарнира используются ограничения двух типов. Ограничение первого типа подразумевает сохранение в одной плоскости перпендикулярности заданных векторов и , принадлежащих двум связанным звеньям, при свободном перемещении во всех других плоскостях. Ограничение второго типа подразумевает перпендикулярность заданного вектора первого звена и вектора, связывающего начало первого вектора с произвольной точкой второго звена . В общем виде условие перпендикулярности записывается следующим образом: или . Для задания цилиндрического шарнира применяются два ограничения первого типа. Для задания призматического шарнира добавляется еще одно ограничение первого типа. Если необходимо учесть нелинейную жесткость, то между двумя звеньями вводится дополнительное безинерционное звено. Один конец звена жестко связывается с концом предыдущего звена с помощью трех ограничений первого и трех ограничений второго типа. Другой конец дополнительного звена связывается с началом предыдущего звена с помощью цилиндрического или призматического шарнира. На рис. 2, 3 и 4 приведены результаты моделирования движения последнего звена (рукояти) трехзвенного гидравлического манипулятора мобильной транспортно-технологи-ческой машины АСТ-4-А. Рис. 2. График изменения углового положения звена: 1 - модель с жесткими звеньями [3, 6]; 2 - модель с упругими звеньями Рис. 3. График изменения скорости движения рукояти: 1 - модель с жесткими звеньями [3, 6]; 2 - модель с упругими звеньями Рис. 4. График изменения ускорения движения рукояти: 1 - модель с жесткими звеньями [3, 6]; 2 - модель с упругими звеньями Рис. 5. График преодолеваемого гидроцилиндром усилия: 1 - модель с жесткими звеньями [3, 6]; 2 - модель с упругими звеньями На основании анализа результатов исследования, представленных на рис. 2 - 5 можно отметить следующее. 1. Колебания конструктивных элементов металлоконструкции манипуляционной системы, вызванные упругостью звеньев, носят многочастотный характер. Тем не менее, эти колебания происходят относительно линии, характеризующей решение динамических уравнений для системы с абсолютно твердыми телами [3, 6]. 2. В произвольный момент времени поворота рукояти амплитуда колебательного процесса отклонения углового положения звена от решения для модели с жесткими звеньями не превышает ±3…4 град. При этом размахи колебаний скорости поворота рукояти и преодолеваемого гидроцилиндром усилия достаточно стабильны во времени и достигают ~0,04…0,06 рад/с и ~5…7 МПа соответственно, а максимальные отклонения колебательного процесса этих же параметров от соответствующих решений для модели с жесткими звеньями доходят до +0,04 рад/с (т.е. превышают до 1,5 раз установившееся значение угловой скорости рукояти ) и до -7 МПа (т.е. снижаются относительно установившегося значения усилия гидроцилиндра на 12%). 3. Упругость звеньев обуславливает колебательный характер графика изменения во времени ускорения углового положения рукояти манипуляционной системы даже на этапе установившегося движения звена, когда решение для модели с жесткими звеньями дает значение 0. Размах колебаний величины ускорения при этом достигает ~0,05 рад/с2, т.е. составляет примерно 40% от величины максимального ускорения, наблюдающегося на стадии разгона звена из неподвижного состояния. Наличие переменного во времени ускорения является источником действия на металлоконструкцию манипуляционной системы дополнительных переменных по величине инерционных нагрузок, которые вносят дополнительный вклад в формирование динамического напряженного состояния звеньев. 4. Частота колебаний рукояти манипулятора при поворотном движении составляет приблизительно 0,8 Гц. Это значение сопоставимо с первой низшей собственной частотой металлоконструкции манипуляционной системы мобильной машины (1,58 Гц). 5. Скорость отработки движений звеньями гидравлического манипулятора машины АСТ-4-А достаточно низка (полный поворот звена происходит за 30-40 с), поэтому отсутствуют интенсивные колебания звеньев (рис. 2). С увеличением скорости следует ожидать большее влияние учета упругости звеньев манипуляционной системы на рассмотренные в п.п. 1-4 кинематические и силовые факторы. 6. Длительность переходного процесса при начале движения звена увеличивается с 0,1...0,2 до 2,0…2,5 с. При этом на 3...5 % снижается величина динамических усилий в системе. Во время переходного процесса ускорения, скорости и усилия имеют не одно, а два пиковых колебания. При этом максимальное значение параметра может достигаться на втором периоде, например, для скорости поворота рукояти (рис. 3). Следует отметить, что разработанная модель не учитывает влияние на манипулятор базового шасси мобильной транспортно-технологической машины. Необходимость его учета можно пояснить на примере упрощенных моделей (рис. 6). На рис. 6 были приняты следующие обозначения: приведенные массы манипулятора с грузом , базовой машины и неподрессоренных элементов подвески , с каждой из которых связаны перемещения , , соответственно. Массы связаны между собой упруго-диссипативными элементами со следующими параметрами: - приведенная жесткость манипуляционной установки, - вязкость манипуляционной установки, - приведенная жесткость подвески, - вязкость манипуляционной установки. На систему действует вес груза и стохастическая неровность опорной поверхности . Сравнительные динамические расчеты выполнены на примере машины АСТ-4-А со следующими параметрами: = 950 кг, = 19000 кг, = 600 кг, = 81,4 кН/м, = 10 кНс2/м, = 11908 кН/м, = 30 кНс2/м. Ненулевые начальные условия: (0) = 0,1 м. а) б) Рис. 6. Упрощенные модели к вопросу о необходимости учета динамики шасси: а - с учетом динамики шасси; б - без учета Уравнения движения модели, учитывающей взаимное влияние манипулятора и шасси (рис. 6,а) выглядят следующим образом: Уравнение движения модели без учета взаимного влияния манипулятора и шасси (рис. 6,б) выглядят следующим образом: Результаты расчета с использованием данных моделей показаны на рис. 7. Рис. 7. Результаты расчета перемещения конца стрелы манипулятора : 1 - с учетом влияния шасси; 2 - без учета влияния шасси Видно, что составляющие, связанные с начальными условиями, гасятся за счет трения в системе в течение 0,5…1,0 с. Но неровность пути в модели, учитывающей влияние шасси, продолжает далее оказывать воздействие на манипулятор. Детальному исследованию процессов взаимодействия манипулятора и базового шасси мобильной транспортно-технологи-ческой машины будут посвящены дальнейшие исследования. Выводы 1. Учет упругости звеньев, выполняемый при проведении динамико-прочностного анализа манипуляционной системы мобильной транспортно-технологической машины, позволяет выявить колебательный характер изменения кинематических и силовых факторов процесса и таким образом повысить адекватность моделирования работы манипуляционной системы в процессе эксплуатации машины. 2. Размах колебаний кинематических и силовых факторов, определяющих динамику и динамическую прочность конструктивных элементов металлоконструкции манипуляционной системы, а также величина их возможного отклонения от решения, полученного для модели с абсолютно жесткими звеньями, оказываются достаточно существенными и свидетельствуют о желательности проведения уточненных расчетов с учетом упругости звеньев. 3. Упругость звеньев обуславливает наличие переменных виброускорений даже на этапе их установившегося движения, что вызывает появление переменных во времени инерционных нагрузок на металлоконструкцию и необходимость проведения уточненного расчета напряженного состояния звеньев с учетом действия этих дополнительных нагрузок. 4. Упругость звеньев обуславливает их колебания с частотой, соизмеримой с первой низшей собственной частотой колебаний самой металлоконструкции манипуляционной системы, что свидетельствует о желательности ее проверки на отсутствие резонанса и при необходимости разработки конструктивных мер по повышению динамической надежности манипуляционной системы.

About the authors

V. F. Kovalskiy

Moscow State University of Railway Engineering n. a. Emperor Nicholas II

Dr. Eng.

I. A. Lagerev

Bryansk State University n. a. I.G. Petrovskiy

Email: lagerev-bgu@yandex.ru
Ph.D.

References

Supplementary files