Mathematical model of the lateral traction of the tractor

Full Text

Введение Пахота - это наиболее энергетически затратная операция. На плуге возникают поперечные составляющие усилия сопротивления, которые часто приводят к отклонению трактора от прямолинейного движения траектории. Такое явление (отклонения трактора под действием внешних сил) получило название увода [1] или пассивного поворота [2]. Теоретические исследования увода могут позволить определить причину и наметить дальнейшие пути его устранения. В настоящее время наиболее распространенным методом теоретического исследования является математическое моделирование, так как оно позволяет решить проблему уже на стадии проектирования трактора. Целью работы является разработка математической модели увода трактора под действием внешней внецентренной нагрузки на крюке. Поскольку траектория увода, как правило, представляет собой некую криволинейную траекторию [3], то математическая модель должна описывать криволинейное движение. Проблема заключается в отсутствии готовых моделей, описывающих поворот машины без управляющего воздействия водителя. В настоящее время вся теория поворота направлена, как правило, на исследования активного поворота. Однако пассивный увод имеет не менее важное практическое значение, особенно для тракторов сельскохозяйственного назначения [4-7]. Методика исследования Для решения задачи представим увод как совокупность активного прямолинейного движения под управлением водителя и пассивный вращательный сдвиг машины под действием внешнего усилия на плуге [8, 9]. Модель управляемого движения представляет собой дифференциальные уравнения, позволяющие построить траекторию. Пассивный сдвиг (задача страгивания) - это начало (или конец) вращательного движения по условиям предельного трения [8]. В основу исследований задачи сдвига положим математическую теория трения Ф.А. Опейко [10]. Математическая модель При составлении математической модели рассмотрим гусеничную модификацию сельскохозяйственного трактора, как наиболее часто используемую при операции вспашки. Особенностью движения сельскохозяйственного трактора является малая, почти постоянная рабочая скорость при пахоте. Это делает правомерным принятие допущения об отсутствии обоих видов ускорений: · касательное ускорение , так как скорость принимаем постоянной ; · нормальное ускорение , так как скорость мала, а радиус кривизны траектории очень большой. Рис. 1. Схема увода гусеничного трактора Тогда уравнения движения центра масс трактора в декартовой системе координат, записанные на основе криволинейного интеграла первого рода имеют вид [11]: и (1) где - начальные координаты криволинейной траектории; a - угол касательной к кривой в точке с осью X (рис.1); ds - дифференциал дуги кривой в точке. Запишем дугу S через радиус кривизны r и угол касательной a соотношением Учитывая, что радиус кривизны r(τ) и угол a(τ) являются переменными функциями времени , уравнения траектории приобретают вид: и (2) где t, T - текущее время и время всего процесса вспашки. Таким образом, величина увода (бокового отклонения от прямолинейного движения) полностью определяется радиусом кривизны траектории r, который в свою очередь зависит от внешнего сдвигающего воздействия со стороны плуга Р. Поскольку криволинейное движение трактора происходит на малых скоростях, то система внешних сил представляет уравновешенную систему сил. Условия равновесия произвольной плоской системы сил имеют вид [12]: (3) где Р - внешняя крюковая нагрузка на плуг; b - угол между крюковой нагрузкой и продольной осью трактора (определяется конфигурацией плуга); - плечи составляющих крюковой силы Р относительно центра масс; х, у - неизвестные координаты центра скольжения гусениц относительно центра масс; - проекции результирующей реакции со стороны грунта на трактор; M - результирующий момент трения в контакте гусениц с грунтом (момент сопротивления повороту). Анализ уравнений равновесия (3) показывает, что сдвиг (следовательно и увод) наступает только в случае, когда сила Р достигает предельного значения реакций со стороны грунта ( которые в свою очередь ограничены трением сцепления. Следовательно, для каждой точки приложения и направления сдвигающей силы существует только одно ее предельное значение, после которого имеет место сдвиг и увод. Факт начала движения только при конкретном значении сдвигающей силы, подтвержден экспериментально [13]. Согласно теории трения [10] силовые факторы в контакте с грунтом ( являются функциями неизвестных координат центра скольжения (х, у). В случае приведения всех элементарных сил со стороны грунта к центру скольжения С (рис.2) силовые факторы реакций ( имеют вид: (4) где - нормальное давление гусеницы с грунтом; j - коэффициент трения-сцепления гусеницы с грунтом; x, h - текущие координаты точек контакта гусениц с грунтом. В связи с незначительной по сравнению с длиной, шириной гусеницы, последней можно пренебречь, что позволит заменить двумерные интегралы (4) заменить одномерными погрешностью не более 2% [14]. Введение переменного коэффициента трения-сцепления j позволит учесть деформативные свойства грунта. В теории активного поворота гусеничных машин для описания переменного коэффициента j используют зависимость, представленную на рис. 2 [15]. Особенностью увода являются малые боковые смещения S точек гусеницы (на порядок меньше, чем при активном повороте). Следовательно, боковая деформация грунта находится в упругой области грунта, что позволяет воспользоваться прямолинейной зависимостью: (5) где - максимальное значение коэффициента сцепления гусеничного движителя с определенным типом грунта; - значение буксования, когда коэффициент сцепления достигает своего максимального значения; - текущее значение буксования в точке гусеницы, зависит от радиуса кривизны r. Рис. 2. Зависимость коэффициента сцепления j от буксования d Пренебрегая шириной гусеницы и учитывая упругость грунта, посредством переменного коэффициента трения-сцепления (5), двойные интегралы силовых факторов (4) упрощаются до одномерных: (6) где L, B - база и колея трактора соответственно. Таким образом, силовые факторы, возникающие в контакте гусеницы с грунтом, являются функциями неизвестного радиуса кривизны траектории r, значение которого вычисляется путем решения системы уравнений равновесия внешних сил (3). Далее по законам движения (2) строится траектория трактора во времени Х(t), Y(t). На основе предложенной математической модели был проведен численный эксперимент на примере гусеничного трактора. Для примера были проведены расчеты траектории движения трактора с различной крюковой нагрузкой. Результаты представлены на рис. 3. Рис. 3. Траектории движения трактора Т10 с различной крюковой нагрузкой Выводы В результате проведенных исследований разработана математическая модель увода тракторного агрегата при пахоте. Модель представляет собой квазистатическую модель криволинейного движения при уводе и состоит из двух систем уравнений: · закона криволинейного движения (2); · равновесия внешних сил (3) с учетом интегральных функций реакций грунта (6). Модель позволяет исследовать: · траектории движения на различных типах грунта; · оценить влияние значения внецентренной крюковой нагрузки на траекторию движения; · изучить влияние параметров рабочего органа (точки крепления плуга и угла наклона лемешной поверхности) на характеристики движения; · найти оптимальные соотношения веса трактора и сил сопротивления.

About the authors

N. K Noskov

South Ural State University (national research university)

Email: tripav@rambler.ru

B. M Pozin

South Ural State University (national research university)

Email: tripav@rambler.ru
Dr.Eng.

I. P Troyanovskaya

South Ural State University (national research university)

Email: tripav@rambler.ru
Dr.Eng.

References

Supplementary files