Mathematical modeling of near pointing of the spacecraft

Full Text

УДК 629.783(075.8) Математическое моделирование ближнего наведения космического аппарата проф. Иванов В.А., проф. Ручинский В.С, к.т.н. Ручинская Е.В. МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского 2svr@mail.ru Аннотация. Проведено исследование математических моделей движения связанных космических объектов. Разработана методика определения основных характеристик связки и параметров ее движения при наведении космического аппа- рата космической тросовой системы для встречи с другим космическим аппара- том. Ключевые слова: связанные космических объекты, космический аппарат (КА), центр масс, визирная и орбитальная системы координат, орбитальный полет, ближнее наведение, управление сближением, тросовая система (ТС). Введение Проведенные эксперименты подтвердили возможность использования связанных лета- тельных аппаратов для решения научных, народнохозяйственных и специальных задач. Рас- смотрению конкретных направлений практического использования тросовых систем посвя- щено достаточно много работ [1, 4 - 14]. Постановка задачи Из методов управления сближением на участке ближнего наведения КА наибольшего внимания заслуживает метод наведения при постоянной угловой скорости линии визирова- ния. Обычно отмечают следующие положительные стороны этого метода наведения [1, 7, 8, 9]. Управление относительным движением сближающихся объектов как в боковом направ- лении (регулирование угловой скорости линии визирования), так и в продольном направле- нии (регулирование скорости сближения) осуществляется за счет создания управляющих воздействий только по нормали к линии визирования. Это позволяет существенно умень- шить энергетические затраты на реализацию ближнего наведения. Метод постоянной угловой скорости линии визирования оказывается достаточно уни- версальным. За счет определенного выбора угловой скорости линии визирования можно осуществить реализацию сближения КА с жестким и мягким контактом, а также сближение с пролетом мимо определенного КА на заданном расстоянии с последующим удалением. Учитывая указанные обстоятельства, в дальнейшем при решении задачи сближения КА с использованием ТС на участке ближнего наведения будем рассматривать применение ме- тода постоянной угловой скорости линии визирования. Основные уравнения относительного движения космического аппарата При решении многих практических задач оказывается достаточным рассмотрение от- носительного движения КА без учета действия относительного гравитационного ускорения, и задача может быть сведена к плоской, решаемой в плоскости A  визирной системы координат (рисунок 1). Направление оси A , определяемое вектором угловой скорости линии визирования  , остается неизменным. Направление двух других осей ( A и A ) изменяется и текущее положение их относительно начального положения осей визирной системы координат координат Aн н  н Aн н  н характеризуется углом  . Относительное движение объекта в системе определяется переменными: D ,  , D ,  ,  . При решении многих практических задач оказывается достаточным рассмотрение относительного движения в подвижной визирной системе координат A   , когда движение КА полностью характеризуется переменными D , D ,  . Для определения относительного движения удобно также применение двух других переменных: относительной скорости Vотн и пролета или промаха  (рисунок 1). Таким образом, относительное движение КА характеризуется величиной от- носительной дальности D и любыми двумя из следующих переменных: D ,  , Vотн ,  . Две оставшиеся величины могут быть определены с помощью следующих соотношений: D2   , Vотн 2    (1) D  Vотн D 1   .   (2) Рисунок 1. Плоскость A  визирной системы координат Для большей общности получаемых результатов в ряде случае целесообразно использовать систему безразмерных переменных: ~ D  DD0 ,  ~ D  D D ,  V ~ 0 Vотн отн 0 Vотн , D  D . Введение безразмерной величины D позволяет существенно упростить расчетные зависимости ряда характеристик относительного движения. Удобство применения величины D , особенно ее начального значения материала данной главы.  0 D  D 0 0 , будет показано при последующем изложении Для изучения относительного движения КА при   const будем использовать математические модели (2) и (3) [13]. Первое уравнение системы (2) [14], имеет аналитический пер- вый интеграл: 2   d D     D2  C , 0 0 где C  D 2   D 2 . (3)  d t  Второе уравнение системы (2) [13], определяет величину требуемого управляющего ускорения за счет работы двигателей КА для реализации наведения на при заданной угловой скорости вращения линии визирования  . Таким образом, относительное движение КА в продольном направлении (вдоль линии визирования) определяется первым уравнением системы (2) [13], или аналитическим инте- гралом (3), а относительное движение в боковом направлении полностью характеризуется выбранным значением угловой скорости линии визирования  . Анализ первого уравнения системы (2) [13], и выражения (3) показывает, что с исполь- зованием рассматриваемого метода наведения может быть реализован широкий класс траекторий относительного движения. Первое уравнение системы (2) [13], может быть переписано в виде равенства D  D 2 . Следовательно, всегда D  0 и относительное движение при сближении объектов характеризуется постоянным уменьшением по модулю величины скорости сближения D , а при удале- нии объектов величина D непрерывно возрастает. В том и другом случаях выполняется условие:  ~  , D  D D0 (4) то есть, в процессе сближения (удаления) объектов уменьшение (увеличение) ускорения КА вдоль линии визирования пропорционально уменьшению (увеличению) относительной даль- ности. Для анализа относительного движения при   const существенное значение имеет определение характера изменения вектора относительной скорости Vотн и величина пролета  . Изменение относительной скорости происходит под действие управляющего ускорения pn . Для относительного движения при   const Vn pn  2 D D , можно записать такое соотношение: (5) где: Vn - составляющая относительной скорости нормальной к линии визирования. Учитывая, что D  0 из (5) можно установить, что при D  0 Vn и pn одного знака, а при D  0 Vn и pn имеют разные знаки (при D  0 pn  0 ). Следовательно, при D  0 вектор pn направлен в противоположную сторону по отношению к Vn , а при D  0 направление вектора pn совпадает с направлением Vn . Указанное обстоятельство оказывается весьма полезным для определения угла  между векторами Vотн и быть получено в результате рассмотрения рисунка 2. pn , выражение для которого может Рис. 2. Угол  между векторами Vотн и pn при D  0 и при D  0 Для D  0 и 0     2    arcsin   D   (6)  Vотн  1 или   arcsin 1 ~2 . D (7)   D   Для D  0 и      2    arcsin   (8) 2  Vотн  или    2  1 arcsin    . (9)  D  Анализ полученных соотношений показывает, что относительное движение при посто- янной угловой скорости линии визирования характеризуется уменьшением величин Vотн и  при D  0 и увеличением при D  0 , то есть в процессе сближения уменьшаются и промах и относительная скорость объектов, а при их удалении относительная скорость и промах (уже фиктивны) увеличиваются. В первом случае вращение вектора линии визирования, а во втором от нее. Vотн происходит в сторону Перейдем к более подробному рассмотрению относительного движения при постоян- ной угловой скорости линии визирования. Для этого запишем первый интеграл дифференци- ального уравнения (3) в таком виде: 0 0 D2   D2  D2   D 2 . (10) Характер относительного движения определяется начальными значениями величиной угловой скорости линии визирования  . D и D0 ,  0 Траектории относительного движения при   const будем подразделять на два типа: траектории сближения ( D  0 ), и траектории удаления ( D  0 ). .Траектории сближения В результате анализа выражения (9.10) оказывается целесообразным все траектории сближения в свою очередь разделить на две группы в зависимости от начальных значений D0 , 0 D и величины  . Первая группа траекторий определяется условием D 0  D0  или в безразмерных ве-  личинах D  0 2 . Траектории первой группы характеризуются тем, что процесс сближения заканчивается встречей двух объектов. Встреча будет происходить при относительной скорости V .V  D 2   D 2 или в безразмерных величинах ~  1  2 . (11) отнв отнв 0 0 в D Vотн 2 0 В таблице 1 представлены результаты расчетов, иллюстрирующие зависимость безраз-  мерной относительной скорости в момент встречи ПО и КА от параметра D . 0 Таблица 1 Результаты расчетов, иллюстрирующие зависимость безразмерной относительной  скорости в момент встречи ПО и КА от параметра D D0 2 1,42 1,45 1,5 2,0 5,0 10,0 ~Vотнв 0 0,09019 0,2208 0,3333 0,7071 0,9592 0,9899 0 С уменьшением параметра  D происходит уменьшение относительной скорости в мо- 0 мент встречи объектов. Интенсивное уменьшение ~ в Vотн наблюдается при  D  2,0 , и при 0  D  2 0 встреча происходит при нулевой относительной скорости (мягкая встреча). Значе-  нию параметра D  0 2 соответствует условие D  0  D0  . Вторая группа траекторий сближения определяется условием D  0  D0  или  1  D  0 2 . В этом случае относительная дальность сначала уменьшается, достигает минимального значения DП , а затем начинает возрастать, т.е. после сближения и пролета мимо цели происходит удаление от нее. Запишем выражения для дальности пролета DП ~ и безразмерной дальности пролета 2 DП  DП  D  2 0 D0 . , ~ 2 DП  D0     DП  2  D . 0 (12)    В момент пролета мимо цели на минимальном расстоянии относительная скорость ~ П П Vотн , а безразмерная скорость пролета Vотн П  Vотн 0 Vотн . V   D 2  D 2 , ~  2 1 . (13) отнП П D 0 0 Vотн 2 0 В таблице 2 приведены данные характеризующие зависимость безразмерных величин DП пролета ~ Vотн и относительной скорости в момент пролета ~ П  от параметра D . 0 Таблица 2 Результаты расчетов, характеризующие зависимость безразмерных величин пролета Vотн DП ~ и относительной скорости в момент пролета ~ П  от параметра D 0 При увеличении параметра ~ D0 1 1,05 1,1 1,2 1,3 1,4 2 ~DП 1 0,9174 0,8888 0,7483 0,5568 0,2 0 ~VотнП 1 0,9023 0,8080 0,6234 0,4283 0,1429 0  DП D от 1 до 2 величина пролета ~ 0 и относительная ско- П рость Vотн уменьшатся от 1 до нулевого значения. Поэтому для реализации мягкой встречи переходить на участок причаливания можно как при  D немного больших 2 (траектории 0 непосредственной встречи), так и при  D немного меньших 2 (пролетные траектории). 0 Используя зависимости (11), (12) и (13), можно записать выражения для требуемых значений угловой скорости линии визирования  , при которых реализуются заданные усло- вия встречи или пролета. 0 D 2 V 2 в Для встречи с относительной скоростью Vотн   отнв . D0 Мягкая встреча достигается при    D 0 . D0 D 2  V 2 П Для пролета с относительной скоростью Vотн   0 D0 отнП , дальность пролета при этом будет DП  П D0 Vотн . D 2  V 2 Для пролета на расстоянии DП    0 отнП D  0 , 2 2 относительная скорость в момент пролета на расстоянии DП D0 оказывается равной V DП   DП D0 . отнП D2  D2 0 П .Траектории удаления Траектории удаления при постоянной угловой скорости линии визирования по анало- гии с траекториями сближения можно также разделить на две группы. К первой группе тра- екторий относятся те, для которых выполняется условие: 0 0 D  D  или  D  2 . 0 (14) Эти траектории характеризуются тем, что начальная дальность D0 может быть как угодно малой (вплоть до нулевого значения), т.е. эти траектории могут начинаться с непо- средственного контакта двух рассматриваемых объектов. Вторая группа траекторий определяется условием 0 0 D  D  или  1  D  2 . 0 (15) Эти траектории удаления могут начинаться при начальных дальностях D0 , равных или больших дальности пролета DП ( D0  DП ), определяемых выражением (12). Качественная структура фазовых траекторий динамической системы Наведение КА по методу постоянной угловой скорости линии визирования предполага- ет, что величина угловой скорости  известна. Выбор величины  определяется требуе- мым характером продольного относительного движения и ограничениями на условия встре- чи рассматриваемых объектов. Продольное относительное движение характеризуется первым уравнением системы (2) [14]. Это уравнение может быть представлено в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка: d D  2 D , d D  D . (16) d t d t Система (16) представляет собой автономную динамическую систему второго порядка. Исключая время t получим одно уравнение первого порядка, связывающее переменные D и D : d D  2 D . d D D Уравнение (17) имеет решение: D 2  2 D2  C , где C  D 2  2 D2 . (17) (18) 0 0 Выражение (18) представляет собой уравнение фазовых траекторий системы (16). Фа- зовыми координатами являются относительная дальность D и скорость изменения относительной дальности D (рисунок 3). Изоклиной горизонтальных наклонов фазовых траекторий является ось ординат, а изоклиной вертикальных наклонов - ось абсцисс. Для анализа рассматриваемой системы составим функцию: H   1 D 2  2 D2 . 2 Продифференцируем H по D и D : (19) H  2 D , D H D  D . (20) Сравнивая уравнения (16) и зависимости (20 можно записать: d D  H , d D   H . (21) d t D d t D Наличие аналитического интеграла (18) и выполнение равенств (21) свидетельствует о том, что система (16) является консервативной [2]. Система (16) имеет одно состояние равновесия, определяемое значениями D  0 и D  0 . Применительно к рассматриваемой консервативной системе уравнение (31) характеризует закон сохранения энергии. Выражения D 2 и  2 D2 представляют собой соответственно удвоенные значения кинетической и потенциальной энергии. При D  0 величина потенциальной энергии является максимальной. Поэтому состояние равновесия O при D  0 , D  0 представляет собой седловую точку (рисунок 3). Для этой особой точки константа C  0 . Неособые фазовые траектории системы (16) определяют семейства равносторонних гипербол, отнесенных к главным осям D и D (рисунок 3). Рисунок 3. Неособые фазовые траектории системы (16) определяют семейства равносторонних гипербол, отнесенных к главным осям D и D При C  0 , когда D 2  2 D2 , имеют место две асимптоты этого семейства: 0 0 D    D , (22) проходящие через начало координат, которое является единственной особой точкой рас- сматриваемого семейства интегральных кривых. Остальные интегральные кривые являются гиперболами и не проходят через начало координат (рисунок 3). Особая точка рассматриваемых интегральных кривых представляет собой состояние равновесия типа «седло». Известно, что седловая точка является неустойчивым состоянием равновесия [2]. Сле- довательно, при движении объекта с постоянной угловой скоростью линии визирования положение D  0 , D  0 является неустойчивым. Вместе с тем, это не является серьезным препятствием для применения этого метода при осуществлении сближения объектов с мягкой встречей, так как на практике не требуется абсолютно точного выполнения условий D  0 , D  0 , а необходимо, чтобы в конце сближения эти величины не превосходили некоторых допустимых значений. Выводы Перейдем к более подробному рассмотрению фазовых траекторий относительного движения объектов при постоянной угловой скорости линии визирования. Относительная дальность между объектами D представляет собой величину суще- ственно положительную как для траектории сближения, так и для траектории удаления. По- этому, рассматривая качественную структуру фазовых траекторий на рис. 3, следует иметь в виду, что реальный физический смысл имеют только фазовые траектории первого и четвертого квадрантов, то есть, при D  0 . Траектории или части траекторий первого квадранта ( D  0 , , D  0 ) соответствуют траекториям удаления, а траектории четвертого квадранта ( D  0 , D  0 ) - траекториям сближения. В том и другом квадрантах асимптоты D    D , соответствующие интегральным кривым при две группы. C  0 , разделяют все фазовые траектории на Первая группа фазовых траекторий соответствует отрицательным значениям константы C . Эти траектории находятся между асимптотами D    D и пересекают ось абсцисс. При D 0  0 изображающая точка начинает движение в четвертом квадранте, где D и D уменьшаются. При минимальном значении D фазовые траектории пересекают ось абс- цисс, знак D становится положительным и в первом квадранте D и D возрастают. Указан- ные фазовые траектории соответствуют случаям сближения объектов, пролету на минимальном расстоянии DП и последующему удалению. При D 0  0 происходит сразу удаление. Начальная точка в этом случае находится в первом квадранте. Вторая группа фазовых траекторий соответствует положительным значениям констан- D ты C . Фазовые траектории этой группы находятся между асимптотами ординат. D    D и осью При 0  0 движение изображающей точки заканчивается при D  0 и минимальном значении D . Если мы будем считать, что после встречи продолжится движение при   const , то на фазовой плоскости нам необходимо перейти к начальной точке траектории удаления, расположенной симметрично на положительном направлении оси ординат. Далее движение изображающей точки происходит уже в первом квадранте при увеличении коор- D динат D и D . Для 0  0 фазовые траектории соответствуют траекториям сближения, заканчивающимся встречей с целью. При этом, чем ближе фазовая траектория к асимптоте тем при меньшем значении скорости сближения происходит встреча объектов. D    D , Для D  0  0 происходит удаление от цели с увеличением D . Движение при   const , соответствующее фазовым траекториям первой и второй групп, а также и асимптотам D    D , носит апериодический характер. Наибольший интерес представляет движение по асимптоте D    D , когда точка приближается к состоянию равновесия. Изображающая точка будет приближаться к началу ко- ординат со стремящейся к нулю скоростью и, следовательно, не достигнет начала координат в конечный промежуток времени. Движение по этой траектории является асимптотическим к состоянию равновесия. Такие движения называют лимитационными движениями. Движение по асимптоте не может быть точно реализовано, так как оно соответствует одной линии начальных состояний. Совокупность начальных состояний в этом случае не образует конеч- ной области начальных состояний и не может быть совершенно точно задано в системе. Однако, рассматривая определенную ограниченную область начальных состояний в районе асимптоты D    D , можно реализовать относительное движение, соответствующее фазовым траекториям, расположенным достаточно близко к асимптоте. Тогда возможна либо встреча при весьма малых относительных скоростях, либо пролет на небольшом расстоянии от цели с малой относительной скоростью. Результаты проведенного моделирования подтверждают возможность использования метода постоянной угловой скорости линии визирования для мягкой встречи объектов.

About the authors

V. A Ivanov

MATI - Russian State Technological University

Email: 2svr@mail.ru
Prof.

V. S Ruchinskiy

MATI - Russian State Technological University

Email: 2svr@mail.ru
Prof.

E. V Ruchinskaya

MATI - Russian State Technological University

Email: 2svr@mail.ru
Ph.D.

References

Supplementary files