Calculation of the rate of constrained precipitation of monodisperse solid particles

详细

In this paper, the authors derived generalized formula for calculating of the ratio of the rate of constrained precipitation to the rate of free precipitation for monodisperse particles of arbitrary shape based on analysis of known empirical relationships and semi-empirical method of calculation.

全文:

Расчет скорости стесненного осаждения монодисперсных твердых частиц д.т.н. проф. Кондратьев А.С., Ньа Т.Л. Университет машиностроения 8 (495) 223-05-23, ask41@mail.ru Аннотация. На основе анализа известных эмпирических зависимостей и полу- эмпирического метода расчета получена обобщенная формула расчета отношения скорости стесненного осаждения к скорости свободного осаждения для монодис- персных частиц произвольной формы Ключевые слова: скорость свободного и стесненного осаждения, твердые частицы произвольной формы. Расчет скоростей стесненного и свободного осаждения монодисперсных твердых ча- стиц произвольной формы и величина отношения этих скоростей широко используется в со- временной научно-технической литературе см., например [1, 2]. Как правило, исходными для последующего анализа являются опытные данные и обобщающие эмпирические зависимо- сти, полученные в работе [3]. Можно отметить, что также как классические результаты, по- лученные Никурадзе [4] по течению ньютоновской жидкости в гладких и шероховатых тру- бах, никто не ставит под сомнение или пытается повторить экспериментальные исследова- ния, выполненные и в работе [3]. Опытные данные, приведенные в [3], в основном получены для частиц шарообразной формы диаметром от 0,1 до 6,35 мм с плотность твердых частиц от 1060 до 11250 кг/м3 в жидкостях различной вязкости (вода, масло, глицерин и их растворы) и объемной долей твердой фазы до 0,55. Применительно к осаждению монодисперсных сферических частиц в [3] получена эм- пирическая зависимость, связывающая скорости стесненного Us и свободного U0 осаждения частиц диаметром d в сосуде диаметром D n Us  U0 1  , (1) где показатель степени n зависит от числа Рейнольдса Re0  U0d  , определенного по скорости свободного осаждения частицы U0, плотности ρ и вязкости жидкости μ. Значение параметра n приведено в таблице 1. Приведенные значения показателя степе- ни n не обеспечивают непрерывного изменения на границах областей разбиения по числу Рейнольдса. Таблица 1. № Re0 n 1 Re0 < 0,2 4.56 19.5dD 2 0,2 < Re0 < 1 4.35 17.5d DRe0.03 0 3 1 < Re0 < 200 4.45 18d DRe0.1 0 4 200 < Re0 < 500 4.45 Re0.10 4 Re0 > 500 2,39 В работах [5, 6] получены эмпирические зависимости, обеспечивающие непрерывность показателя степени n в зависимости от числа Рейнольдса Re0. В целом, наименьшее отклоне- ние от значений n, определяемых по таблице 1, имеет место при использовании зависимости полученной в [6]: n  2.39  3  25 dD 1.3  0.1 d DRe0  . (2) Для более простого случая, осаждения твердых частиц в неограниченном пространстве, то есть при (d/D) = 0, в работе [7] получено аппроксимирующее выражение:     0.75 4.7  n n  2.35  0.175Re0 . (3) В случае частиц несферической формы в [3], предполагается, что режим обтекания ча- стиц потоком является существенно турбулентным (размер частиц составлял от 5 до 7,9 мм), и для показателя n, при dD  0 , предлагается единая эмпирическая зависимость: n  2.7K 0.16 , (4) где коэффициент K определяется по формуле: K   6dv dm  , (5) где: dv - эффективный диаметр сферической частицы, объем которой равен фактическому объему частицы произвольной формы; dm - эффективный диаметр миделевого сече- ния сферической частицы, равный по площади фактическому миделевому сечению частицы, движущейся в установившемся положении. Отметим, что при dv = dm, то есть в случае сферической частицы, величина n, рассчи- танная по формуле (5) равна 2,434, что отличается от значения 2,39 приведенного в таблице 1. Покажем, что отношение Us U0 при dD  0 в общем случае монодисперсных частиц произвольной формы может быть определено исходя из достаточно общих представле- ний об особенностях стесненного и свободного осаждения монодисперсных частиц произ- вольной формы. Дальнейший анализ основывается на представлениях, развитых в работах [8, 9]. Для частиц произвольной формы, в дополнение к величинам dv и dm, вводится эффектив- ный диаметр сферической частицы ds, поверхность которой равна фактической боковой по- верхности частицы. Число Рейнольдса определяется по эквивалентному диаметру частицы: de  2ds  dm  3 . (6) Приведенное соотношение обосновывается тем, что в случае сферической частицы две трети общего гидравлического сопротивления определяется силой трения о поверхность ча- стицы. Одна треть общего гидравлического сопротивления определяется разностью силы давления в лобовой и кормовой областях сферической частицы [4]. Для коэффициента гидравлического сопротивления используется интерполяционная зависимость: Cf  24 Re 5332  Re  0.44 . (7) Поскольку в обоих случаях свободного и стесненного движения частиц разность сил тяжести и силы Архимеда одинакова, она приравнивается силам гидродинамического сопро- тивления, возникающих при этих режимах осаждения [8, 9]. Поэтому, имея в виду получения конечного выражения в виде соотношения (1), можно записать равенство d 2  24 53  d 2  24 53  m U    0.44  m U    0.44 , (8) 8  Re 32  Re  8 0  Re 0 32  Re0   где: Re - число Рейнольдса, определенное по фактической усредненной скорости обтекания частиц U, эквивалентному диаметру частицы de, и фактической динамической вязко- сти двухфазной смеси μ. В работе [4] показано, что фактическая скорость стесненного обтекания частицы и чис- ло Рейнольдса при стесненном осаждении определяются выражениями: U  Us f 1  ; (9) Re  Ude  Us fde  Us fde , (10)   1   1  где: U - фактическая усредненная скорость обтекания частицы жидкостью; f = f(φ) - попра- вочная функция, учитывающая стесненность потока жидкости в межчастичном про- странстве и связанное с этим увеличение скорости обтекания частицы произвольной формы, по отношению к скорости жидкости, натекающей на «лобовую точку» частицы;     - зависимость относительной динамической вязкости двухфазной смеси от объемной доли частиц твердой фазы φ; множитель (1-φ) определяется из условия, что, в соответствии с условием неразрывности, осевшие частицы увеличи- вают скорость потока жидкости, относительно осаждающихся частиц. Выражение (9) отражает тот факт, что фактическая скорость жидкости обтекающей ча- стицу U и наблюдаемая скорость её осаждения Us различны, поскольку оседание частиц при- водит к возникновению встречного потока жидкости. С целью определения зависимостей для наилучшего согласия с опытными данными, рассмотрим два предельных режима движения осаждающихся частиц. Положим вначале, что Re0 → ∞ и Re→ ∞, то есть в выражении (9) в обоих выражениях в квадратных скобках остается число 0,44 - значение минимального коэффициента гидрав- лического сопротивления при больших числах Рейнольдса [4]. Подставляя (9) в (8) получим, что: Us  1 . (11) U0 f В работе [8], применительно к распределению частиц в узлах простой кубической ре- шетки, конкретная зависимость f(φ) определялась для трех различных условий: локальные значение скоростей усреднялось по поверхности сферы; локальные среднеквадратичные зна- чения скоростей усреднялось по поверхности сферы; средние локальные значения скоростей, определенных по формуле Стокса, усреднялось по поверхности сферы. Сопоставление вы- ражения (1) при n = 2,39 и выражения (11) показало, что использование третьего варианта вида функции: 1/2 1/2 где:     6  2/3 f   arctg   ;   1  . , (12) 4      Такой выбор зависимости f(φ) обеспечивает достаточно хорошее соответствие между опытными и расчетными величинами отношения Us U0 (таблица 2). Во втором предельном случае, положим, что Re0 → 0 и Re → 0. В этом случае в квад- ратных скобках в (8) сохранятся только первые члены, и с учетом (9) и (10) получим: Us U0  1  f  . (13) В работе [10], на основе проведенного авторами компьютерного анализа движения сус- пензий, получено выражение для относительной динамической вязкости суспензий в виде кубической зависимости:      1 2  28.53 , (14) f где: μf - динамическая вязкость несущей жидкости. В работах [8, 9] для расчета стесненности потока жидкости в межчастичном простран- стве f(φ) и относительной динамической вязкости двухфазной смеси μ(φ), использовались несколько отличающиеся зависимости: f   1/ 2 ; (15) 1.525   1   . (16)  0.73    Последняя эмпирическая зависимость получена в работе [11] приводит к минимальным значениям эффективной вязкости, которой, как можно ожидать, обладают суспензии, состо- ящие из сферических частиц. В таблице 2 приведены значения отношения Us ных режимов по формулам (1), (11) ÷ (16). U0 , рассчитанные для двух предель- В работе [12], на основе вариационного принципа минимума интенсивности диссипа- ции энергии при ламинарном режиме обтекания, авторами разработан обобщенный метод расчета относительной скорости стесненного движения сферических твердых и газовых ча- стиц. Как отмечают авторы [12], полученная ими полуэмпирическая зависимость, которая здесь не приводиться ввиду громоздкости получающихся выражений, не обеспечивает наилучшее соответствие с опытными данными. Наибольшую близость к экспериментальным данным [12] по относительной скорости стесненного осаждения дает уравнение UsU0    1 2 exp 2.51 3964 ; (17) которое ранее было получено на основе определения эффективной вязкости в [13]. Таблица 2.  0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,55 0,6 № ф-лы Re0  и Re  (1) n = 2,39 0,976 0,885 0,777 0,587 0,426 0,295 0,191 0,148 0,112 (11), (12) 0,953 0,844 0,737 0,564 0,422 0,302 0,201 0,157 0,117 Re0  0 и Re  0 (1) n = 4,65 0,954 0,788 0,613 0,354 0,190 0,0930 0,0398 0,0244 0,0141 (12), (13), (14) 0,934 0,764 0,600 0,346 0,178 0,0833 0,0361 0,0229 0,0140 (13), (15), (16) 0,942 0,779 0,618 0,376 0,211 0,105 0,0419 0,0239 0,0108 (17) 0,956 0,793 0,621 0,362 0,196 0,0959 0,0414 0,0256 0,0150 (18) 0,955 0,781 0,589 0,320 0,170 0,0900 0,0465 0,0329 0,0229 Авторы работы [12] предложили собственную эмпирическую зависимость:  2  2  UsU0  1  1 2.5 12.5 . (18) Из сравнения данных проведенных в Таблице 2 следует, что при ламинарном режиме обтекания, наиболее близко согласуются с экспериментальными данными, описываемые эм- пирической зависимостью (1) при n = 4,65, зависимости, рассчитанные по формулам (13), (15), (16) и формуле (17). Зависимости, полученные авторами работы [12], в частности фор- мула (18), имеют большее расхождение с опытными данными, что констатируется авторами. Используемые в настоящем анализе зависимости (11), (13), (15) и (16) не связаны с результа- тами экспериментальных исследований и их эмпирическим обобщением в виде зависимости (1), которые приведены в [3], а получены на основе более общих представлений, поэтому эти зависимости имеют полуэмпирический характер. Рассмотрим более общий случай, когда режим обтекания частиц жидкостью является произвольным. Выражение (8), которое применимо при произвольном режиме обтекания, можно преобразовать к виду: 1  U U  B  E C  D , (19) где: s 0 f     Us  f U A    0     1    ; B  24 53  Re0   32 Re0  0.44 Re0 53  Re0 ; C  24 53  A Re0   32 A Re0  0.44 A Re0 53  A Re0 ; D  53  Re0 ; E  53  A Re0 . При заданном значении число Рейнольдса Re0 величина относительной скорости по формуле (19) определяется итеративным путем. В таблице 3 приведены расчеты величины относительной скорости стесненного оса- ждения сферических твердых частиц для различных чисел Рейнольдса Re0 и различной объ- емной доли твердой фазы φ. Эти данные представлены в виде соответствующих графических зависимостей, приведенных на рисунках 1. Таблица 3.  0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,55 0,6 № ф-л Re0  0.1 (1) 0,954 0,788 0,613 0,354 0,190 0,0930 0,0398 0,0244 0,0141 (12), (14), (19) 0,934 0,765 0,601 0,347 0,179 0,0836 0,0363 0,0230 0,0140 (15), (16), (19) 0,941 0,780 0,619 0,377 0,212 0,105 0,0420 0,0232 0,0108 Re0  0.5 (1) 0,956 0,796 0,626 0,371 0,205 0,103 0,0460 0,0288 0,0171 (12), (14), (19) 0,935 0,767 0,605 0,351 0,181 0,0849 0,0369 0,0234 0,0143 (15), (16), (19) 0,943 0,783 0,623 0,381 0,215 0,107 0,0428 0,0236 0,0110 Re0  5 (1) 0,963 0,823 0,671 0,429 0,259 0,144 0,0724 0,0486 0,0311 (12), (14), (19) 0,939 0,785 0,631 0,384 0,206 0,0985 0,0432 0,0275 0,0168 (15), (16), (19) 0,947 0,802 0,654 0,417 0,243 0,124 0,0502 0,0278 0,0130 Re0  150 (1) 0,973 0,871 0,753 0,548 0,382 0,252 0,154 0,116 0,0845 (12), (14), (19) 0,948 0,825 0,702 0,498 0,330 0,201 0,110 0,0765 0,0565 (15), (16), (19) 0,957 0,847 0,734 0,540 0,378 0,242 0,130 0,0837 0,0449 Re0  350 (1) 0,975 0,881 0,770 0,575 0,413 0,282 0,180 0,138 0,103 (12), (14), (19) 0,950 0,832 0,716 0,522 0,359 0,229 0,132 0,0953 0,0653 (15), (16), (19) 0,959 0,856 0,749 0,566 0,404 0,273 0,159 0,109 0,0647 Re0  750 (1) 0,976 0,885 0,777 0,587 0,426 0,290 0,191 0,148 0,112 (12), (14), (19) 0,951 0,837 0,725 0,538 0,382 0,253 0,151 0,111 0,0779 (15), (16), (19) 0,960 0,861 0,759 0,585 0,433 0,299 0,182 0,130 0,0825 Из данных приведенных в таблице 3 и графических зависимостей видно, что в области φ ≤ 0,55, для которой допустимо использование эмпирической зависимости (1) [3], опытные данные, определяемые по формуле (1) достаточно удовлетворительно согласуются с расчет- ными значениями, определяемыми по формуле (19). При этом, лучшее соответствие имеет место при использовании зависимостей (15), (16), (19). Полученные зависимости могут ис- пользоваться как при ламинарном режиме, так и при турбулентном режимах обтекания ча- стиц жидкостью. Отметим также, что все исходные зависимости или рассчитываются, исхо- дя из предполагаемой упаковки частиц (величина f) или определяются экспериментально (величина μ) в трубчатых или ротационных вискозиметрах, а не по результатам опытов со свободным и стесненным осаждением твердых частиц. На основании этого, полученные вы- ражения для относительной скорости стесненного осаждения является полуэмпирическим. При расчете частиц произвольной формы, расчет ведется по полученным зависимостям с ис- пользованием числа Рейнольдса, определенного по эффективному диаметру de (6). Представ- ленный метод расчета скоростей стесненного движения твердых частиц может быть исполь- зован при проведении инженерных расчетов различных технологических устройств, в кото- рых имеют место рассмотренные процессы. Рисунок 1