Modeling of the flutter of a plate, which is a part of wedge surface

Abstract

There is studied parameters correlation for full-scale and simulative processes of oscillations of the plate, which is a part of wedge surface, in gas flow. Similarity relations were obtained. Somepossible modeling parameters were proposed.

Full Text

О моделировании флаттера пластины, составляющей часть поверхности тонкого клина к.ф.-м.н. доц. Кудрявцев Б.Ю. Университет машиностроения 8 (495) 223-05-23, vm@mami.ru Аннотация. Исследуется взаимосвязь параметров натурного и модельного про- цессов колебаний в потоке газа пластины, составляющей часть поверхности тон- кого клина. Установлены критерии подобия процессов и предложены некоторые возможные параметры моделирования. Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, упругая пластина. Среди довольно большого количества публикаций по панельному флаттеру работ, со- держащих результаты практических экспериментов довольно мало. Это связано с объектив- ными техническими трудностями. В ряде статей [1, 2, 3], как и в предлагаемой работе, рас- смотрен вопрос о сравнении параметров модельного и натурного процессов, что расширяет возможности экспериментирования. Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с боль- шой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси тела (перпендику- лярно кромке). Начало ортогональной системы координат совместим с кромкой профиля, ось OX направим по вектору скорости, OY - по кромке, OZ - так, чтобы система координат была правой. Будем рассматривать часть поверхности профиля, занимающую в плоскости OXY область G  (x, y), x0  x  x0  l, 0  y  l / s, здесь s - отношение длин ее сторон. Для описания колебаний пластины будем использовать уравнения Кармана [4]: 2 D2 w  hL(w, )  h  w t 2  2p (M   1 2tg 2  1)  4ptg (  1)c0 ) (1  2   a  w  t w   v   x  ptg   1  12 a   2 w  2 2v  w  v2  2 w  , (1) c t 0  2   (  1)  2 tx  x2  1 2   0.5L(w, w), E с соответствующими граничными условиями; для определенности рассмотрим свободно опертые кромки: w x x0  2 w  x2 x x0  w | x x0 l   2 w x2 x x0 l  0 , w | y0   2 w y 2 y0  w | yl / s   2 w y 2 yl / s  0 . Здесь: 2u 2u 2u 2u 2u 2u   1 2 L(u1, u2 )  x2 y2  x2 y2  2 , xy xy   , a  1  ,   1 1 2 2 1 1 2 ( 1)M 2tg 2   - функция напряжений, w - прогибы пластины, D и h - ее цилиндрическая жесткость и толщина, E, ,  модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала, p и c0 давление и скорость звука в невозмущенном потоке,  - показатель политропы, v - скорость потока газа,  - угол полураствора клина, угол наклона ударной волны  определяется из уравнения tg  tg  atg . 2 Обозначим также M  v / c0 - число Маха,   12(1  ) , c  E /  . 2 2 Введем безразмерные величины (x  x0 ) / l, y / l , w / h ,  /(Eh ) и t /(l1 h / D) , сохранив за ними прежние обозначения. Тогда система (1) перепишется в виде: 2 2 w   L(w, )   w  2 p l 4 (M 2tg 2  1)   4tg (1  2   a) M t 2 2  c p l   1 E h4 3 w  4tg (1 2  a)M 2  p l w  (  1)    2 0 c E h2 t 2  1    E h3 x 2 2 (2)  tg 1  12 a c  p l (x  x )  w  2tg1 12 a  M  c p l (x  x ) w  0   (  1)  c2 E h  0 t 2    ( 1)  3 2 0 c E h2 0 tx  tg 1  12 a M 2 p l (x  x )  w ,   (  1)  E h3 0 x2 2  0.5L(w, w) . Представим теперь два процесса - натурный и модельный (т.е. лабораторный или про- мышленный эксперимент, в котором возможны измерения). Если окажется, что для них все безразмерные коэффициенты и граничные условия в системе (2) совпадут, то это будет озна- чать, что с математической точки зрения процессы колебаний пластины станут тождествен- ными, а с физической, - что в соответствующие моменты времени в соответствующих точ- ках модели и натуры все безразмерные характеристики также будут идентичными. Такие процессы будем называть подобными. Для этих процессов появляется возможность варьиро- вания параметров при проведении экспериментов [1, 2, 3]. Введем обозначения: k  lм , m  hм , и примем условия: lн hн (x0 ) м  м   н ,  м  н , M м  M н ,  м  н ,  м   н , (x0 ) y  k . Здесь и далее нижние индексы «н» и «м» будут обозначать принадлежность к натурно- му и модельному процессам соответственно. Равенство коэффициентов в уравнениях (2) приводит к условиям: pм 2 Eн (cм ) 2 (c0 )н  m , pн Eм 2 (cн ) 0 м (c2 ) k pм p Eн E cм c 2 (c0 )н  m , (c ) k 2 н м н 0 м p E m3 3 м н  , pн Eм k 4 4 pм Eн  m , pн Eм k граничные условия не добавляют новых требований. Очевидно, все четыре равенства могут выполняться только при m=k, то есть при полном геометрическом подобии. Как видим, бо- лее точная постановка задачи ограничивает возможности моделирования. Поэтому для опи- сания колебаний пластины целесообразно воспользоваться линейным уравнением (при опре- деленном выборе параметров, как будет показано ниже, упрощения не будут оказывать за- метного влияния на результат). Оно будет иметь вид [5]: 2 2 w    w  4tg (1  2   a) M 2  c p l w  t 2 (  1) 0 c E h2 t  4tg (1  2   a) M 2 p l 3 w  tg1 12a  c2 p l 2 w (x  x )    1 E h3 x  ( 1)  c2 E h 0 t2   0 1  2tg   12 a  M c p l 2  (x  x  2 w ) tg 1 12a  M 2  p l3 (x  x ) 2 w 2 0   3 0 2   (  1)  c0 E h tx  ( 1)  E h x с теми же граничными условиями. Для тождественности натурного и модельного процессов достаточно будет выполнения уже первых трех вышеуказанных условий, которые, в свою очередь, будут равносильны сле- дующим: p E m3 c (c ) k м н  , м 0 н  (3) pн Eм н k 3 c (c0 ) м m Рассмотрим некоторые возможные варианты процессов, предполагающие выполнение этих условий. Как и выше, при полном геометрическом подобии пластин (m=k) и сохранении осталь- ных параметров равенства (3) , очевидно, будут выполняться. Сохраним параметры потока pм  pн , (c0 ) м  (c0 )н ,  м  н и примем k  1(lм  lн ) . Тогда при выполнении требований: 3    Eм   м  , m  3 Eн ,  E н  н  Eм   равенства (3) также будут иметь место. В качестве примера возьмем шарнирно опертую пластину, приняв следующие значения параметров: 5    /18, x0  2 м,l  0,5 м, s  2,   0,3 , p  10 Прогиб пластины представим в виде: па,   1,4, с0  330м / с . w  exp(t)c1 sin x  c2 sin 2x  c3 sin 3x  c4 sin 4xsin ys, c1 , c2 , c3 , c4  R,  C. Таблица 1 Применив метод Бубнова-Галеркина, будем иметь систему уравнений с неизвестными c1 , c2 , c3 , c4 . Приравняв ее определитель к нулю, находим критическое число Маха M1 как наименьшее M, при котором комплексная частота  переходит в правую полуплоскость. Ре- зультаты вычислений содержатся в таблице 1. Для сравнения приведены критические значения M 2 , полученные при нелинейной постановке задачи (2) аналогично тому, как это было сделано в [4]. В обоих случаях значения не только процессов оказались идентичными. M1 , но и M 2 для модельного и натурного Сохраним все параметры потока, кроме давления и опять возьмем равенства (3) будут выполняться при следующих условиях: k  1 (lм  lн ) . Тогда E   м   3 2   p  м   н  , m  3 Eн pм . Eн  н   pм  Eм pн В качестве примера возьмем пластину при тех же значениях параметров [6, 7], кроме указанных в таблице 2, в которой приведены результаты вычислений M1 и M 2 . Таблица 2 Величина M1 во всех случаях, как и следовало ожидать, оказалась одной и той же, а M 2 для модельного процесса немного отличалась. Это может быть обусловлено как различием математических моделей процесса, так и погрешностью приближенных методов реше- ния задачи. При выбранных параметрах для всех рассмотренных примеров разница между M1 и M 2 была несущественной и составляла порядка 3 - 5 процентов. Выводы Установлены критерии подобия процессов колебания упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа и предложены некоторые возможные варианты моделирования. Результаты работы могут оказаться полезными при организации экспериментальных исследований по панельному флаттеру.