Dynamic analysis of gear pair

Abstract

The results of using the finite element method to calculate the dynamic stresses in gears are presented. The numerical simulation of meshing gears of different types is obtained a detailed breakdown of contact and bending stresses, rigidity of the mesh stiffness function depending for engagement phase, static and dynamic transmission errors. The behavior of the transmission having defects, namely, incipient cracks at the tooth root is analyzed. The results can be used to develop diagnostic signs transmissions to ensure responsible operation of technical articles.

Full Text

Введение Определение динамических нагрузок в зубчатых передачах необходимо при создании высокомощных планетарных редукторов привода вентилятора в авиационных двигателях. Для качественной оценки динамического состояния зубчатых передач требуется разработка математических моделей зацепления колес, позволяющих оценивать динамические процессы в зацеплении с учетом геометрических параметров профиля, погрешности монтажа деталей, податливости опор и элементов конструкции и других факторов, влияющих на возбуждение крутильных колебаний в трансмиссиях. В аналитических моделях зубчатые колеса обычно рассматриваются как жесткие тела, соединенные упруго-демпфирующей связью, эквивалентной жесткости зубьев в зацеплении. В качестве источников возбуждения колебаний в системе рассматриваются ударные процес- сы при входе зубьев в зацепление, погрешность зацепления, переменная жесткость зубьев. В ударном методе оценки динамических нагрузок, предложенном А.И. Петрусевичем и М.Д. Генкиным [1, 4] и далее развитым Б.Ф. Шорром [2, 5], а также используемым в нормативных документах, процесс зацепления рассматривается как два независимых явления - кромочный и срединный удары, что характерно для передач с относительно небольшими скоростями вращения. Вибрационный метод расчета динамических нагрузок в зацеплении, развитый в работах Н.А. Ковалева [3], предполагает в качестве основного источника возбуждения пери- одическое изменение жесткости зацепления в процессе пересопряжения зубьев и вследствие наличия кинематической погрешности зубьев шестерен. В зарубежных работах рассматри- ваются динамические модели с сосредоточенными параметрами и описанием периодической функции жесткости зацепления в виде пульсирующего сигнала [6-9]. Экспериментальная оценка динамического состояния обычно проводится на основе анализа записи вибраций опор редуктора или проведении тензометрирования зубчатых ко- лес. Экспериментальных данных с тензометрированием зубчатых колес в настоящее время недостаточно для верификации моделей. При этом контактные напряжения в течение фазы зацепления, воздействие нерасчетного входа в зацепление вершины зуба и другие процессы в зацеплении не могут быть определены экспериментально, либо оцениваются косвенным путем. В результате уровень точности аналитических моделей динамики зацепления и их ве- рификация являются ограниченными и зависящими от ряда факторов, требующих более точ- ного описания. Для подробного моделирования динамических процессов в зацеплении пред- лагается использовать численные методы решения задач теории упругости, например, метод конечных элементов в динамической постановке. Динамическая модель Применение метода конечных элементов (МКЭ) для оценки динамического состояния зубатых колес актуально как для подробной оценки изменения напряженного состояния на различных режимах работы передачи, так и для верификации аналитических моделей зацеп- ления в качестве численного эксперимента. В настоящей работе динамическая модель зацеп- ления создана с помощью конечно-элементного программного комплекса в модуле динами- ческого анализа, использующем метод Ньюмарка. Рассматривалась трехмерная модель двух цилиндрических зубчатых колес в объемной постановке (рисунок 1). Конечно-элементная модель построена с использованием объемных 20-узловых элементов и контактных элемен- тов [12] с размером грани 0,8 мм. Для зубчатых колес разрешены только угловые перемеще- ния, путем задания на внутренних цилиндрических поверхностях шарниров вращения. Нагрузка задается в виде крутящего момента, приложенного к внутренней цилиндрической поверхности ведомой шестерни. На ведущую шестерню нагрузка передается через зацепле- ние в зубьях. Контактирующими поверхностями объявляются все боковые поверхности зубьев, тип контактного взаимодействия - контакт с трением (коэффициент трения fтр 0, 02 ). Для ведущей шестерни задается закон движения путем установления значения частоты вращения для каждого момента времени. Система приводится в движение с плав- ным нагружением и разгоном ведущей шестерни для устранения влияния динамических факторов при разгоне из положения покоя. Временной шаг интегрирования выбирался в диапазоне 1 10 5...5 10 5 с. Рисунок 1. Конечно-элементная модель зацепления пары зубчатых колес: I - ведомая шестерня; II - ведущая шестерня Частота вращения шестерен зависит от типа исследуемой задачи. При исследовании распределения изгибных и контактных напряжений в зубьях колес используется квазистати- ческая постановка, при которой скорость вращения колес выбирается малой, для устранения влияния динамической составляющей сил в зацеплении. При оценке динамического поведе- ния системы частота вращения плавно увеличивается с проходом через резонансную и крат- ные ей частоты. Рассматриваются как крутильные колебания тел колес, так и динамические процессы, связанные непосредственно с контактом рабочих поверхностей зубьев, входом и выходом зубьев из зацепления. Результаты моделирования. Жесткость зацепления На основе решения контактной задачи зацепления зубьев методом конечных элементов определены распределения контактных и изгибных напряжений в течение фазы зацепления, а также функции жесткости и статической кинематической погрешности. На рисунке 2 пока- зана картина распределения эквивалентных напряжений, выполненная для наглядности в масштабе деформаций 400:1 (показано только одно колесо). Угловое перемещение точек ко- леса зависит от деформации в площадке контакта зубьев, изгиба зуба под действием силы в зацеплении и частичной деформации тела шестерни. Как видно из рисунка 2, отношение ве- личин изгибной и контактной деформации зависит от точки приложения усилия к зубу, а также от присутствия кромочного контакта (в данном случае напряженное состояние в зоне контакта не определяется с помощью формулы Герца). В результате этого на двух соседних зубьях имеем различное соотношение kzB / kzC , в то время как податливость диафрагмы практически постоянна по углу поворота колеса. Рисунок 2. Деформация зубьев в зацеплении: I - деформации тела шестерни; II - деформация изгиба зуба; III - контактная деформация Таким образом, общая жесткость kz зацепления может быть представлена через компоненты: изгибную жесткость зубьев кость диафрагмы и венца kzT : kzB , контактную жесткость kzC и крутильную жест- 1 1 1 1 . (1) kz kzT kzC kzB В зависимости от фазы зацепления в каждой точке соотношение компонент жесткостей kzT , kzC и kzB будет различным. Для оценки влияния параметров геометрии зацепления на динамические нагрузки необходимо вычисление характеристик жесткости или статической кинематической погрешности, например, для различных вариантов профильной модифика- ции зубьев или коэффициентов перекрытия передачи. Полученные результаты в дальнейшем могут быть использованы в аналитических моделях динамики зацепления [10]. На рисунке 3 показаны графики зависимости жесткости зацепления от угла поворота для зубчатых передач с коэффициентами перекрытия ε=1,68 (стандартный профиль) и ε=2,07 (HCR), полученные моделированием зацепления двух зубчатых колес с частотой вращения ведущей шестерни 5 об/мин. Как видно из рисунка 3, передачи с высоким коэффициентом перекрытия ε>2 имеют меньший размах колебаний функции жесткости, а закон изменения - близкий к гармониче- скому, в отличие от пульсирующего у передач с ε<2. Переменная составляющая жесткости зацепления для передач с коэффициентом перекрытия ε<2 составляет 22-38%, для передач HCR 9-17%, что определяет снижение уровня динамических нагрузок в зацеплении на 30- 45%, подтвержденное экспериментом [1, 11]. Другим способом снижения динамических нагрузок и уровней вибраций в прямозубых цилиндрических передачах является применение профильной модификации зубьев, которая представляет собой преднамеренное отклонение от эвольвенты профиля у вершин или ножки зубьев и уменьшает силы удара, связанные с деформацией зубьев и ошибками основного ша- га. Для оценки влияния профильной модификации зубьев на динамическое состояние пере- дачи необходимо определить ее влияние на характеристику жесткости зацепления (харак- терный пример показан на рисунке 4). Рисунок 3. Характеристики жесткости зацепления для передач с различными коэффициентами перекрытия Рисунок 4. Характеристики жесткости зацепления для передач без модификации и с модификацией профиля зуба Как видно из рисунка 4, вход и выход из зацепления зубьев сопровождается более плавным изменением жесткости с однопарного зацепления на двухпарное, т.е. зацепление с фланкированными зубьями (рассматривался вариант модификации только вершины зуба) имеет меньшее значение первой и второй производных от функции статической кинематиче- ской погрешности (рисунок 5). Максимальное значение амплитуды второй производной от статической кинематической погрешности является объективным критерием оценки возбуж- дающего воздействия в зацеплении. Таким образом, решение задачи зацепления в квазиста- тической постановке может служить инструментом для оценки динамического состояния зубчатой передачи на основе вычисления функции статической кинематической погрешно- сти и ее второй производной. Анализ характера кинематической погрешности в зависимости от геометрии профильной части зубьев позволяет выбирать оптимальные параметры моди- фикации для снижения динамических нагрузок и вибраций в передаче. Рисунок 5. Вторые производные от функции статической кинематической погрешности зацепления для передач без модификации и с модификацией профиля зуба Однако прямая связь между динамическими напряжениями в зубьях колес и вибрация- ми, обуславливаемыми кинематической погрешностью в зацеплении, отсутствует. Сравнение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) двух передач - без модификации профиля и с модификацией, показывает незначительное различие в уровне динамических напряжений в ножке зуба на всем диапазоне частот вращения. На рисунке 6 показано сравнение коэффици- ентов динамичности для двух передач с идентичными геометрическими параметрами за ис- ключением профильной модификации зуба, полученные с помощью аналитической модели с сосредоточенными параметрами [10] на основе зависимостей жесткости от фазы зацепления (рисунок 4). Рисунок 6. АЧХ зубчатых передач без модификации и с модификацией профиля зуба Как видно из рисунка 6, уровни максимальных динамических напряжений на резонансе для двух передач идентичны. Однако на субрезонансах по гармоникам, кратным зубцовой, динамические напряжения для передач с модификацией профиля значительно ниже. Факти- чески, представленная АЧХ отражает изменение спектрального состава вибраций в передачах с модификацией, для которых уровень динамического возбуждения по основной зубцо- вой гармонике остается неизменным, но снижаются уровни кратных гармоник. Такие пере- дачи являются менее виброактивными и более тихими в сравнении с передачами без моди- фикации, однако максимальный уровень динамических напряжений в зоне основного резо- нанса остается схожим. Результаты моделирования. Динамические напряжения Для более точного расчета усталостной прочности зубчатых передач на всех режимах работы необходимо знать распределение контактных и изгибных напряжений в зубьях в те- чение всей фазы зацепления. Результаты решения динамической задачи зацепления МКЭ представлены на рисунке 7 и рисунке 8 для малой частоты вращения (5 об/мин). Рисунок 7. Распределение изгибных напряжений во впадине зубьев в течение фазы зацепления при частоте вращения шестерни 5 об/мин Рисунок 8. Распределение контактных напряжений во впадине зубьев в течение фазы зацепления при частоте вращения шестерни 5 об/мин На рисунке 7 показаны графики изменения изгибных напряжений по впадинам сосед- них пяти зубьев в реальном времени. Данный результат представляет интерес при оценке как статической, так и усталостной прочности зубьев, поскольку существующие методы оценки напряжений позволяют получить только усредненное значение за цикл зацепления зуба, а результаты тензометрирования не дают высокой точности при высоких частотах вращения. На графиках хорошо видны зоны однопарного зацепления, соответствующие пиковым площадкам, и зоны двухпарного зацепления с нарастанием напряжения при входе в зацепление и убыванием при выходе в результате перераспределения нагрузки между зубьями. Кроме того, даже при небольшой скорости зубьев заметны пики на графиках напряжений, соответ- ствующие входу новых зубьев в зацепление с ударом в результате отклонения профиля зуба от теоретического под действием нагрузки. Рисунок 9. Распределение изгибных напряжений во впадине зубьев в течение фазы зацепления при частоте вращения шестерни 400 об/мин На рисунке 9 показано изменение распределения изгибных напряжений при добавле- нии динамической составляющей нагрузки в зацеплении с увеличением частоты вращения передачи до 400 об/мин. Как видно, общий вид кривой изгибных напряжений представляет собой наложение графика изгибных напряжений (рисунок 7) во впадине зуба при статиче- ском нагружении и динамической составляющей напряжений, определяемой присутствием крутильных колебаний в системе. Рисунок 10. Результаты моделирования: изгибные напряжения во впадине зубьев при проходе системы через резонанс с нарастанием скорости Более универсальное и информативное решение задачи динамики зацепления может быть получено за счет моделирования зацепления на всем рабочем диапазоне частот с получением амплитудно-частотных характеристик. Моделирование зацепления двух зубчатых колес проводится с разгоном из положения равновесия до рабочих частот вращения, после- дующим остановом и проходом в обратную сторону со снижением частоты вращения. Пер- воначально задается преднагрузка крутящим моментом для ведомой шестерни и далее ис- пользуется плавное увеличение частоты вращения, обеспечивающее исключение динамиче- ской составляющей инерционной нагрузки от разгона. Важно отметить, что процесс выхода на рабочую частоту вращения модели зубчатой передачи требует значительного времени мо- делирования, т.е. данный тип расчета следует применять при поверочных расчетах, но не на этапе проектирования и выбора оптимальных параметров передачи. На рисунке 10 представлены результаты моделирования изгибных напряжений для ци- линдрической прямозубой передачи с проходом через резонансные частоты. Как видно, ре- зультаты моделирования зацепления методом конечных элементов в динамической поста- новке согласуются с АЧХ для коэффициента динамичности передачи Kfv, полученной полу- аналитическим методом и представленной на рисунке 6. Моделирование зацепления зубьев с дефектом Важным преимуществом моделирования зацепления МКЭ является возможность наглядной оценки нестационарных процессов в зацеплении, например, контакт зубьев, в од- ном из которых присутствует трещина в ножке зуба (наиболее распространенный и опасный дефект), на высокой окружной скорости. Проход в зацеплении зуба с трещиной представляет собой процесс резкого снижения жесткости в зацеплении с нерасчетным ударом при входе в зацепление следующей пары зубьев с нормальной жесткостью. Интерес представляет оценка уровня динамических напряжений во впадине в момент прохода в зацеплении зубьев с трещиной, которая позволит спрогнозировать время от начала развития трещины до поломки колеса и выявить косвенные признаки зарождения дефекта. С помощью МКЭ смоделирован процесс зацепления таких зубчатых колес при частоте вращения ведущей шестерни 500 об/мин. Результаты вычисле- ния максимальных растягивающих напряжений в колесе, имеющем введенную трещину в одном из зубьев, показаны на рисунке 11. Рисунок 11. Запись максимальных первых главных напряжений в колесе с трещиной у ножки зуба при частоте вращения 500 об/мин Как видно из рисунка 11, максимальный уровень напряжений имеет впадина зуба, сле- дующего за зубом с трещиной у ножки, и значение изгибных напряжений близко к пределу прочности для сталей зубчатых колес. То есть после начала зарождения трещины в одном из зубьев, с каждым следующим оборотом соседние зубья будут испытывать предельные дина- мические нагрузки, которые могут привести к их разрушению. Данный результат довольно близко описывает картину разрушения зубьев на экспериментальных колесах [11], при по- ломках которых за короткий промежуток времени разрушались все зубья. При этом всего несколько изломов зубьев имели чисто усталостный характер поломки, а остальные разру- шились от высоких ударных нагрузок со значительными пластическими деформациями. Рисунок 12. Кинематическая погрешность передачи с проходом через зацепление зуба с трещиной у ножки На рисунке 12 показана запись сигнала кинематической погрешности передачи при проходе через зацепление зуба с внесенной трещиной. Как видно из записи, амплитуда ки- нематической погрешности возрастает в 4 раза. Фактически такой уровень изменения сигна- ла кинематической погрешности может быть успешно диагностирован на работающей зуб- чатой передаче с помощью датчиков угла поворота и соответствующей аппаратуры. Выводы Применение метода конечных элементов для моделирования динамических процессов в зацеплении зубчатых колес позволяет эффективно определять точные зависимости харак- теристик жесткости и статической кинематической погрешности с подробной оценкой влия- ния геометрии профиля зубьев и выбора оптимальных параметров модификации. Примене- ние полученных характеристик жесткости зубчатых передач с различными геометрическими параметрами в составе аналитических моделей динамки зацепления позволяет оценивать из- менение динамических нагрузок в зацеплении, а также распределение изгибных и контакт- ных напряжений в течение фазы зацепления. Показано влияние модификации профиля пря- мозубых передач на уровни динамических нагрузок во всем диапазоне частот. Возможности моделирования процесса зацепления на рабочих частотах вращения неявными методами ди- намики позволяют оценить реальное поведение передачи при возникновении дефектов или проходе через резонансные режимы, что затруднительно оценить экспериментальным путем. Показано, что при зарождении трещины у ножки зуба, максимальные динамические напря- жения испытывают зубья, соседние к дефектному, из-за ударного входа в контакт, обуслов- ленного резким снижением жесткости пары зубьев с трещиной.