Determining of parameters of nonisothermal cyclic curve model

Full Text

Введение В работах [2, 3] предложена зависимость для аппроксимации кривой циклического де- формирования, получившая экспериментальное подтверждение для ряда конструкционных материалов при изотермическом нагружении. Показано, что параметры, определяющие мо- дель, зависят от температуры и структурного параметра, в качестве которого использован n i параметр Одквиста χ ε p . Эта зависимость обобщена в статье [4] на случай неизотермического нагружения. i Определение параметров модели При циклическом или сложном неизотермическом нагружении рассмотрим термомеха- ническую поверхность [1], участок которой между изотермическими кривыми циклического деформирования, соответствующими температурам T1 и T2 , при текущем значении парамет- ра Одквиста определяется соотношениями: σ* F(ε* ,T ) ; F (1 λ) f λf ; λ T T1 ; (1) p 1 2 T2 T1 E(T ) d (χ, T ) ε* , ε* ε* ; i i s f i ( ) (χ, ) ε* (χ, ) (χ, ) ε * * ε εs , σ ( ) , ε* ε* ; E Ti d Ti s d Ti b Ti f s b(χ,Ti ) Ti s Ti s (2) i 1, 2; σ* (T ) a(χ,T )σ (T ); ε* a(χ,T )ε / d (χ,T ) , где: σ* и a s s s s ε* - напряжения и деформации в локальной системе координат полуцикла; χ,T - размер упругой зоны поверхности нагружения (эффект Баушингера); b(χ,T ) - коэффициент преобразования нелинейного участка первоначальной кривой деформирования; d (χ,T ) - коэффициент изменения модуля упругой разгрузки; εs и σs - деформации и напряжения в пределе упругости первоначальной кривой; E - первоначальный модуль упругости; f (ε p ,T ) нелинейная часть термомеханической поверхности на первом полуцикле; fi - кривая циклического деформирования, соответствующая температуре Ti [2, 4]. Отметим, что (χ,Ti ) , (χ,Ti ) и d (χ,Ti ) зависящие от χ параметры кривой циклического деформирования, полученной при циклических испытаниях при температуре Ti . С помощью термомеханической поверхности, построенной для каждого полуцикла нагружения, в пространстве напряжений, температур и деформаций проводится определение кривой неизо- термического циклического деформирования. Параметры модели a χ,T , b χ,T , d χ,T определяются по результатам испытаний образцов при постоянных температурах путем обработки экспериментальных кривых цикли- ческого деформирования при жестком или мягком нагружении. Определение параметров модели выполним в следующей последовательности. На основе чертежных размеров образцов и базы замеров деформаций переведем экс- периментальные данные из системы координат «усилия - перемещения» в систему коорди- нат «напряжения - деформации». Определим реперные точки, в которых происходит смена режима нагружения от рас- тяжения к сжатию и наоборот, по которым проведем разделение кривой циклического де- формирования на полуциклы. В момент смены направления деформирования кривые обычно не имеют четкого перехода из упругопластического состояния в упругую разгрузку (рисунок 1), поэтому для определения реперных точек конца полуцикла применим следующий подход. Разделим данные на подмножества точек, разделителями которых являются точки, соответ- ствующие среднему значению деформаций в цикле. Каждое из подмножеств содержит в себе одну реперную точку, за которую примем точку с максимальным по модулю отклонением от средней деформации (точка A* на рисунке 1). Рисунок 1. Определение точки перегиба По экспериментальным данным определим модуль упругости и предел пропорцио- нальности. Для определения модуля упругости на полуцикле методом наименьших квадра- тов минимизируем погрешность на совокупности из k точек, включая точку (0,0): 2 k ( i E i ) i 1 min . (3) Из условия минимума выражения (3) модуль упругости для совокупности из k точек определим в виде: k k i i i E σ ε ε2 . (4) i 1 i 1 Множество точек, на котором определяется модуль упругости, последовательно увели- чиваем с шагом в одну точку начиная с двух точек (точка (0,0) и следующая за ней точка на экспериментальной кривой деформирования) до всех точек на полуцикле. В качестве приме- ра на рисунке 2,а показана кривая деформирования, а на рисунке 2,б - изменение модуля упругости, определенного по кривой деформирования, при увеличении количества учитыва- емых точек внутри полуцикла. а) б) Рисунок 2. Определение модуля упругости E: а - кривая деформирования; б - изменение значения E по мере увеличения количества учитываемых точек На первых шагах существуют осцилляции значений модуля упругости, вызванные не- большим количеством точек во множестве. При достаточном количестве точек в рассматриваемом множестве значения модуля упругости остаются постоянными (участок A1B1 на рисунке 2,б). При дальнейшем увеличении количества точек значение модуля упругости начи- нает уменьшаться, что связано с появлением точек, принадлежащих нелинейному участку кривой деформирования, и, соответственно, окончанию упругого участка. Таким образом, для вычисления модуля упругости необходимо найти точку A1 окончания начального участка, на котором происходят осцилляции, и точку B1 , которая определяет предел пропорциональности (рисунок 2,б). Значение модуля упругости, определенное в точке окончательным. B1 , считается Для определения точки A1 оценим относительную погрешность двух соседних участков зависимости (рисунок 2,б). После определения значения Ek на текущем k-м шаге, вычислим относительную погрешность между значениями модуля упругости на текущем и преды- дущем шагах: k (Ek Ek 1 ) Ek . (5) Последовательно определяя относительную погрешность k на каждом шаге, найдем первую точку, в которой погрешность становится меньше заданной точности (10-4). Эта точка и является началом стабильного участка кривой (точка A1 ). Для определения предела пропорциональности (точка B1 ) проведем построение производной зависимости, показанной на рисунке 2,б. График производной приведен на рисунке 3. По нему находим точку, в которой значение функции наиболее близко к нулю. Таким спосо- бом определяется участок, наиболее приближенный к горизонтальному, окончание которого и является пределом пропорциональности (точка B1 ). После определения модуля упругости и предела пропорциональности, определяем предел текучести с заданным допуском на пластическую деформацию 0,02%. По совокупности циклических кривых деформирования, полученных при заданной температуре, проведем осреднение модуля упругости и предела текучести. Пример распре- деления модуля упругости приведен на рисунке 4а. Пример разброса экспериментальных кривых деформирования показан на рисунке 4б. На гистограммах показан разброс величин напряжений у кривых деформирования при деформациях 0,4% и 0,5%. Такая информация полезна для разработки стохастических методов и моделей ресурса деталей ГТД [5]. Рисунок 3. Определение предела пропорциональности а) б) Рисунок 4. Распределение модуля упругости (а) и разброс кривых деформирования (б) После определения модуля упругости, пределов упругости и текучести на первом полуцикле, необходимо определить данные значения на каждом последующем полуцикле в локальной системе координат, связанной с точкой смены направления деформирования (точка A* на рисунке 1). Алгоритм определения модуля упругости аналогичен алгоритму, примененному на первом полуцикле. Однако при смене направления деформирования экспериментальные данные могут вести себя неустойчиво, вследствие чего возможно неправильное определение начала стабильного упругого участка. Точку, начиная с которой осцилляции модуля упруго- сти можно считать незначительными, можно задать в предположении, что предел упругости на первом полуцикле не может быть больше предела упругости на последующих полуцик- лах. В этом случае критерий начала упругой зоны принудительно назначается при достиже- нии предела упругости первого полуцикла. Алгоритм поиска окончания упругого участка совпадает с алгоритмом для первого полуцикла. После определения модуля и предела упру- гости на текущем полуцикле, можно, как и в случае первого полуцикла, определить предел текучести полуцикла. На заключительном этапе определяются искомые параметры a, b, d модели кривой циклического деформирования. Параметр d , моделирующий изменение модуля упругости в процессе циклического деформирования, на каждом полуцикле определяем как отношение текущего модуля упруго- сти к первоначальному: d (n, Ti ) E(n, Ti ) / E(1, Ti ) . (6) Также определяется ширина петель пластического деформирования и, следовательно, зависимость накопленной пластической деформации от номера полуцикла. Проводя осреднение d (n, Ti ) по всем экспериментам для текущей температуры, получаем окончательную зависимость параметра d от накопленной пластической деформации. Определение параметра а, моделирующего изменение размера упругой области в про- цессе циклического деформирования, для каждой температуры испытаний проведем следу- ющим образом. Введем систему координат ( ε , σE ), в которой построим эксперименталь- ные кривые циклического деформирования (E - осредненный модуль упругости при рас- сматриваемой температуре). На текущем полуцикле известны величины напряжения 1 и деформации 1 текучести, текущее значение параметра Одквиста 1 , значение параметра d1 и значения напряжения σR и деформации ε R в начале цикла. Определяем текущий модуль упругости Ec d1E и, откладывая из начала координат отрезок, соответствующий полученному экспериментально в полуцикле упругому участку, и отрезок, соответствующий упру- гому участку модели циклической кривой, получаем точки А и В (на рисунке 5,а линия ОА - экспериментальная кривая; линия ОВ - расчетная кривая). Предполагая, что параметр a1 известен, рассчитаем меру рассогласования как длину отрезка АВ в глобальной системе координат: * 2 * 2 2 lAB (εs ε1 ) (σs σ1 ) E , (7) где: ε* a ε / d и σ* a σ - модельные значения деформаций и напряжений текучести на s 1 s 1 s 1 s текущем полуцикле в локальных координатах; 1 R 1 и σ1 σR σ1 экспериментальные величины деформаций и напряжений текучести. Следовательно, расстояние между модельным и экспериментальным значением преде- ла текучести равно: 2 2 lAB (a1 s / d1 R 1 ) (a1 s / E R / E 1 / E) . (8) а) б) Рисунок 5. Определение параметров: а - параметр a; б - параметр b Параметр a должен быть таким, чтобы расстояние lAB было минимальным, поэтому для его определения можно использовать методы оптимизации. Однако, если искать параметр для каждого испытанного образца отдельно, а после осреднять полученные величины, то со- ответствие расчетных и экспериментальных данных может быть неудовлетворительным. Следовательно, необходимо определять этот параметр в зависимости от параметра Одквиста одновременно для всех имеющихся экспериментальных результатов при данной температу- ре. Выполним это следующим образом. Зададим значения параметра Одквиста через равные промежутки в логарифмической шкале до максимального значения накопленной пластической деформации. При параметре Одквиста равном нулю, принято а = 2. На правой границе каждого интервала выполняем i n минимизацию функционала l J1 (ak ) AB i 1 min от параметра а, равного сумме расстояний для всех полуциклов среди всех экспериментов при заданной температуре, попадающих внутрь интервала по накопленной пластической деформации. Таким образом, последова- тельно для каждого интервала слева направо определяем значение параметра а. Для определения параметра b, моделирующего масштаб преобразования нелинейного участка кривой деформирования, использован аналогичный подход. Если построены мо- дельная АС и экспериментальная BD кривые в системе координат ( ε , σE ) и известны теку- щие значения параметров а, d и параметра b на текущем полуцикле, то модельную и экспе- риментальную кривые циклического деформирования на следующем полуцикле построим с амплитудой, соответствующей экспериментальной кривой (рисунок 5,б). Предполагая b1 и учитывая, что координаты равны между собой, меру рассогласования определим как рас- стояние между точками С и D: lCD | σC / E σD / E | , (9) где: σC - значение напряжений, рассчитанных по модели; σD - значение напряжений экспе- риментальной кривой на последней точке полуцикла. При этом параметр b должен быть таким, чтобы расстояние lCD было минимальным. Как и в случае с параметром а, параметр b определим одновременно для всех имеющихся экспериментальных результатов при данной температуре в текущем интервале изменения параметра Одквиста. Для этого на правой границе интервала минимизируем функционал i n l J2 (bk ) CD i 1 min , равный сумме расстояний lCD для всех полуциклов среди всех экспериментов при данной температуре, попадающих внутрь интервала по накопленной пластиче- ской деформации. При параметре Одквиста равном нулю, принято b = 2. При определении параметра b длина отрезка lCD на каждом полуцикле после определения значений параметра ненулевая, вследствие чего раздельное определение параметров а и b может быть недостаточно точным. Поэтому определение параметров а и b проведем совместно. При этом функционал J 2 становится зависимым также и от значения параметра а. На k-м интервале накопленной пластической деформации по имеющимся nk экспериментальным точкам, принадлежащим этому интервалу, проводим минимизацию функционала от параметров ak и bk , заданных на правой границе интервала: nk J (ak , bk ) (J1i (ak ) i 1 J2i (ak , bk )) min . (10) Значения параметров влияют на величину lCD на каждом полуцикле в рассматриваемом интервале. Поэтому, ведя расчет в глобальной системе координат, lCD полуцикла i-й точки на k-м интервале учитывает меру рассогласования lCD всех предыдущих полуциклов. Моделирование циклического деформирования титанового сплава Рассчитанные зависимости параметра a, моделирующего изменение размера упругой области, и параметра b, моделирующего изменение величины масштаба преобразования не- линейного участка кривой деформирования, представлены на рисунке 6 для титанового сплава при различных температурах. Рисунок 6. Зависимости параметров a и b модели для титанового сплава Результаты моделирования циклического деформирования при повышенной темпера- туре с использованием определенных параметров показаны на рисунке 7. Эксперименталь- ные данные обозначены точками, расчетные результаты - кривыми. а) б) Рисунок 7. Результаты циклических испытаний для титанового сплава: а - петли циклического деформирования; б - зависимость амплитуды напряжений от числа циклов Выводы Анализ результатов показал удовлетворительное соответствие рассчитанных по модели и экспериментальных кривых на контрольном множестве, что позволяет сделать вывод о возможности применения предложенного метода для определения зависимостей параметров материала от накопленной пластической деформации. Применение алгоритма распознавания образов, основанного на минимизации рассогласования модели и эксперимента, позволяет получить величины эффекта Баушингера и моду- ля упругой разгрузки при циклическом деформировании.

About the authors

J. M Temis

Central Institute of Aviation Motors; Bauman Moscow State Technical University

Email: tejoum@ciam.ru
Dr. Sc, Prof.

A. I Fakeev

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tejoum@ciam.ru
Ph.D.

References

Supplementary files