Elements of thermomechanics of plasticity under complex loading

Full Text

Определяющие уравнения Рассматриваются процессы сложного упругопластического нагружения материалов. Для описания их свойств используются стандартные обозначения, принятые в теории упру- гопластических процессов А.А. Ильюшина [1]. Так  и  обозначают пары пятимерных векторов-девиаторов напряжений и деформаций, построенных на базе соответствующих тен- зоров. В [2] векторы напряжений и деформаций связываются между собой определяющими уравнениями d  Q d  (P  Q)n  d , n   (N  Q)  n , d  n , (1) ds ds   ds     ds       2 СП  (n , n ) ,   1 СП , n  n  СПn  ,  где: P , N , Q - функционалы процесса деформаций, s - длина дуги траектории деформаций. Одной из основных целей работы является идентификация функционалов в двух- и трёхмерных экспериментах [4], [5]. Рассматриваются эксперименты по винтовым траекториям деформаций, в которых тонкостенные стальные трубки (сталь 45) нагружались осевой силой, крутящим моментом и внутренним давлением по специальным программам деформиро- вания, отвечающим винтовым траекториям деформаций с постоянной кривизной и кручени- ем. Поскольку в экспериментах [4] данные приведены в виде зависимости компонент соот- ветствующих тензоров от длины дуги траектории деформаций, построение векторов- девиаторов проводилось при условиях, данных в [4]. Уравнение (1) эквивалентно системе уравнений:  d   ds  P cos1 ,  d  d n   d , n /  n /  Q n cos n  (n , n / )n / , (2)  ds ds   ds    1 1  1     d n     d , n /  n /  N cos n  (n , n / )n / ,  ds   ds    1  1      в каждое из которых входит лишь по одному функционалу процесса. Первое уравнение определяет скалярные свойства материала, второе и третье - проек- ции скорости изменения напряжений на плоскость векторов напряжений и деформаций и в соответствующее ортогональное дополнение. Для трехмерных процессов деформаций направляющие векторы напряжений и дефор- маций представляются в репере Френе разложениями: n  cos1n1  sin1 cos2n2  sin2n3  , n  cos1n1  sin 1 cos2n2  sin 2n3  . Тогда из уравнения (1) можно получить систему уравнений для углов 1 и 2 :  d1   cos  Q sin  N1 sin , (3)  ds  1 2  1  1  d2     cos1 sin  N1 sin  sin(   ), (4) 2 1 2 1 2 2  ds 2 sin1  2   ,   sin cos  cos sin  cos(   ) , N  Q  N  .  1 1 1 1 2 2 1  Здесь 1 и 2 - кривизны траектории деформаций. Как видно из уравнения (4), именно функционал N1 регулирует скорость изменения вдоль траектории процесса деформаций угла 2 , определяющего положение вектора напряжений относительно соприкасающейся плоскости. Далее показано, что функционалы Q /  и N1 /  определяют две величины следовых реакций в смысле [3], которые, в свою очередь, порождают соответствующие принципы за- паздывания векторных свойств. Уравнения (3) и (4) определяют геометрический смысл основных функционалов Q и N1 не только на трехмерных процессах деформаций, но и на процессах произвольной размерности будем считать, что данная пара функционалов опреде- ляет векторные свойства материала. В этом случае основное уравнение (1) тождественно пе- реписывается в терминах этих функционалов в виде: Qn1 1  1 1     d   (P  Q) cos n  N sin n  (n , n )n  . (5) ds В экспериментах Р.А. Васина и др. [4] изучались процессы с трехмерными траектория- ми деформаций в виде спиралей с постоянными кривизнами и кручениями ( m обозначает номер витка спирали), описываемые уравнениями: 1 10 2 20      c cos ,     a    2  3  (m 1)  ,   c sin  ,  c  1 , a  1 2  2   2 22 . (6) 1 2  2   2 Анализ приведенных там данных показывает, что в экспериментах для мягких сталей с точностью эксперимента уже на втором витке спирали прослеживается установление специ- ального периодического режима нагружения. Это означает, что в каждом из экспериментов траектория нагружения уже к концу первого витка с определенной точностью ложится на круговой цилиндр: 2 2 2 / 1  10  R cos(  0 ) ,  3   30  R sin(  0 ) ,  2   (s)  1   3 ,  (s)   0  G s, (7)  (  2G 0 10 3  c)  (G  G) S , с постоянными в рамках каждого эксперимента величинами R , 0 , 10 ,  30 . Свойства главных функционалов Из второго уравнения системы (2) с учетом (6) и (7) следует представление через пара- метры процесса основного функционала Q : 1 2  2   2 Q  R 1 0 sin2  c    cos   30 sin   1    sin2     0     0  10 10   1 cos0  cos0 R    R R    cos0   sin    sin2   30 0   1   10  10  0   sin   (8)  R cos0 R     с коэффициентами, зависящими от геометрических параметров траекторий деформации 1 и 2 , скалярных свойств материала и характеристик (7) траектории нагружения. 2 2 Вполне пригодное приближение функционала задаётся формулой Q  R cos0 1  2 . 1 Погрешность такого представления в большинстве экспериментов [4] не превосходит 10%. Второй определяющий функционал N1 вычисляется из уравнения (2) с учетом (6), (7): N sin sin2  sin2 (   )  2 d 2  R  2   2   sin(   )  1  sin   1 1 1 2 2 d  ds  1 2   10 0 1 2   2   2 0  СП d  СП cos  ds 1  R cos  2 d 2  cos d  . 1 ds sin2   1 0  1 2  2   2 ds 1 ds   Приближенный результат дается соотношением: 2 N1 1 ctg 0  1 c  1   c  1    2  2 R  cos   R  cos   1 2 0  0  1  c   1 2   30 sin   1      cos   . (9)     10 10   cos 0  R  cos 0   R R     В нулевом приближении N  2   2 0 1  1 2  tg .  1 В большинстве экспериментов [4] формулы для обоих функционалов (8) и (9) имеют погрешность порядка 10%, что сравнимо с точностью экспериментальных данных. Прямые вычисления подтверждают периодичность Q и N1 /  . Другое свойство функционалов Q и N1 /  заключается в том, что они ограничены и порождают в материале следовые реакции, что также согласуется с экспериментальными данными [4], [5] и приведёнными в следующем разделе результатами. Элементы термомеханики процессов сложного нагружения В классической теории пластичности для решения вопроса об условиях перехода от об- ласти активного нагружения к разгрузке обычно вводят специальную поверхность, разделя- ющую эти области. В данном рассмотрении ниже использован иной подход, не требующий введения ненаблюдаемых в экспериментах объектов. Уравнение (5) преобразуем при помощи подстановки   M    . Получим:  d   ds M      P cos1 ,  dM M N1 sin1  0,   ds Q   d d n QM  d  n  n , d   .     ds ds  ds M     ds M        Подстановка означает переход от эвклидовой метрики, естественной для девиаторного пространства, к внутренней метрике процесса, естественной для самого процесса. Полученная система эквивалентна (5) и является трехчленной формулой для деформаций, перенор- мированных с помощью метрики M . Аналогичным образом можно преобразовать с помо- щью метрики  и слагаемые с напряжениями. В результате получается уравнение процесса в специальных метриках вания: M , , соотношения для метрик, в которые входят два следа запазды-   d    Q  M d   ,      ds    ds M   dM M    ds 1  0,   d     ds 2  0, (10)  1   N1 sin1 ,  1 Q   1  Q cos N1 (n , n ) sin  1 d .  1   1  2    ds Величины следов 1,2 определяются с использованием приведенных выше аппроксимаций определяющих функционалов. В нулевом приближении следы постоянны и известны. Уравнения (10) и (2) созвучны, поскольку связывают между собой приращения векто- ров напряжений и деформаций и содержат один и тот же функционал. Уравнения (10) явля- ются канонической формой основных уравнений (5) и записаны с использованием специаль- ных метрик эвклидовых пространств векторов напряжений и деформаций. В исходном со- стоянии (ненапряженном и недеформированном) пятимерное девиаторное пространство бы- ло первоначально нормировано. В этом пространстве изображаются одновременно и процесс деформаций, и процесс нагружения. При необратимом деформировании метрика про- странств деформаций и/или напряжений изменяется. Это хорошо видно в экспериментах [7], [9], где материал в процессе необратимых деформаций упрочняется в направлении деформи- рования и разупрочняется в противоположном направлении, а поверхность текучести соот- ветствующим образом искажается. Поэтому введение в теорию упругопластических процес- сов изменяющихся в процессе сложного нагружения метрик основных девиаторных про- странств представляется естественным и существенно отличает данный подход от классиче- ского подхода [1]. С учетом изменения метрики, как это было сделано в [6], имеем: d  M d    dM . ds ds M M ds Это равенство является аддитивным и точным представлением скорости деформаций при произвольно изменяющейся в процессе деформаций метрике пространства. Второе слагаемое как раз связано с изменением метрики. Обозначим: d * d  d  dM   M , P    . (11) ds ds M ds M ds 1 Аналогично будем считать, что в процессе нагружения метрика пространства напряже- ний также может изменяться. d  d   d  d * d  ,   , d P   d     . ds ds   ds ds ds  ds  ds 2 Механический смысл введенных новых векторных полей будет обсуждаться ниже. С учетом (10) получим: d * d  d     QM ds ds  Интегрированием находим напряжения: . ds M * * s ε  (s)   M (s0 )  Q(s) (s)  Q(s0 ) (s0 )   d (QM ). s0 (12) Аналогичным образом из (10) получаем представление напряжений: s    (s)   (s ) (s)  Q(s) (s)  Q(s ) (s ) (s)  d  QM . (13) 0 0 0    (s0 ) (s0 ) s0 M    Если Q(s) (s) выразить из (12) и подставить в (13), можно получить другое представление напряжений  (s) через  * (s) и деформации  (s): s s  (s)  * (s)  Q(s ) (s )  (s )  s  ( p) 1 (s)  d QM   Q d (14)  0 0 0 0  M ( p)  ( p)   2 . 0 0 s   s Эта формула может быть истолкована как аддитивное представление напряжений в виде суммы напряжений  * (s) и некоторых дополнительных напряжений  (s)   * (s) . Как видно, эти дополнительные напряжения определяются историей изменения метрик про- странств напряжений и деформаций в процессе деформаций. Диссипация Используем полученные выше аддитивные представления приращений деформаций (11) и напряжений для преобразования элементарной работы  A и отдельных ее частей. В данном разделе считаем величины  P , P характеристиками необратимых изменений в материале, а величины, отмеченные звездочкой, относим к переменным состояния. Тогда:  A   d P   *d *  (   * )d *   d  du   D. С учетом (14) для диссипации и внутренней энергии имеем представления: P  D  (   * )d *   d , du   * d * . (15) Сказанное выше означает, что необратимые деформации в материале обусловлены ис- ключительно изменением метрик пространств напряжений и деформаций. Аналогично запи- сывается выражение диссипации и в процессе нагружения: d (u   )   * d *  ( P   * )d *   d   D, P  D  ( *   )d *   d . (16) Поскольку уравнения (2) были выведены в [2] из геометрических соображений, то воз- никает вопрос: не сводится ли предлагаемая теория каким-либо образом к теориям пластиче- ского течения, полученным из постулатов пластичности? В теориях пластического течения основным объектом является поверхность текучести, разделяющая области обратимых и не- обратимых деформаций. Уравнение этой поверхности в пространстве деформаций (нагруже- ния) в каждой точке траектории процесса считается априори известным и задается некоторой зависимостью типа F ( , P ,...)  0 . Принципы градиентальности имеют вполне понятную термомеханическую подоплеку, которая приводит для гладких поверхностей текучести к ор- тогональности вектора приращения пластической деформации к поверхности. В процессе деформаций это приводит к уравнению: d P  d  F ( , P ,...) .  В рассматриваемом нами случае:  N1 d P    sin1ds. Q Это позволяет при F ( , )  f ( )    0,  (d )2 конкретизировать зависимость f ( ) P P P  P в процессе деформаций: s N  Q 1 f ( (s))  1 sin ds. 0 (17) Таким образом, принятая выше схема аддитивного разделения приращений деформа- ций и сделанный выше выбор параметров состояния приводят к точному соответствию рас- сматриваемой теории и модели пластичности с изотропным упрочнением и трансляцией по- верхности текучести в пространстве деформаций. При вычислении диссипации исходим из определений величин и формулы (15): d   dM , d *  Md  , d  d *  d , d *  1 d 2   2 ds . 2 P M M P 2  Преобразуем (15) с учетом (10): * * * *  D  (   )d  ( , ) ds   1 d 2   2 ds  1   d  ( , ) N sin  ds    1 1 Q 1  2 2  Q Q Q   1  1 d 2  1 d *2   ds  R 2  2   2  G . (18)  Q  2 2  1 2  cos0 1     Полученное приближенное представление с учетом положительности функционала и экспериментальных данных является неотрицательным, что обеспечивает выполнение тер- модинамического неравенства и, следовательно, активность процессов с винтовыми траекто- риями деформаций вида (6) из [4]. Заметим, что в рассматриваемом случае функционал Q в силу первого соотношения (10) связывает переменные состояния законом гипоупругости, что оправдывает использование этих переменных в качестве параметров состояния. Однако в силу (9) этот функционал явно зависит от кривизны траектории деформации и, следователь- но, не является характеристикой свойств материала. В следующем разделе данное противо- речие устраняется. Исходной точкой здесь также является аддитивное представление приращения де- формаций: d  d *   * dM  d     1  1  d *   P ds  d **  d , M G  Q G  1 * d P    1  Q  d Q  ds, d **  d , (19)  G  G 1 G но иначе выбираются параметры состояния и характеристики необратимости. Соотношение (19) по сравнению с (11) выглядит значительно богаче. В нем, наряду с изотропным упрочнением, имеется дополнительное кинематическое упрочнение и, возмож- но, изменяющаяся в процессе, не обязательно сферическая геометрия поверхности текуче- сти. Однако вопрос о существовании предельной поверхности для соотношения (19) выходит за пределы данного рассмотрения. В соответствии с выбранными параметрами состояния и необратимости выполняем преобразования элементарной работы внутренних сил: P  A   * d **  (   * )d **   d   * d * (   * )d *  1 1  ( ,  )  * d *       d *  ds  du   D, du  , G G  Q G  1 G * *    D  (   )d   1  1  d *  ( ,  ) ds  G  Q G  1 1  1  R  d 2   ds 2  2   2  G   1 d *2 . (20)  Q  2   1 2  cos0 1     2G Оба соотношения (18) и (20) были получены приближенно с учетом только главных членов входящих в них определяющих функционалов. Более точные оценки возможны. Подобно тому как было получено соотношение (19) и в соответствии с теоремой изо- морфизма [1], аналогично поступаем с аддитивным представлением приращения напряже- ний: d  d *   d  d *   ds  Gd *  (Q  G)d *   P ds  d **  d ,  2 2 P d  (Q  G)d  (Q  G)  ds   ds, d **  Gd * . (21) 1 2 Уравнение (21) для диссипативных напряжений входит в общую постановку задачи, но также интересно из-за того, что данные напряжения входят в состав скалярных параметров (7) и подлежат определению. Вычислениями показана возможность использования соотно- шений (14) и (21) в качестве формул для определения диссипативных напряжений. Это в том числе означает пригодность рассмотренных подходов (18), (20) к оценке функции диссипа- ции и установления с их помощью критериев активного нагружения.

About the authors

I. N. Molodtsov

Lomonosov Moscow State University

D. O. Babaeva

Lomonosov Moscow State University

References

Supplementary files