Calculation of linear type peristaltic pump efficiency

Full Text

Введение Перистальтический насос - это гидравлическая машина, принцип действия которой ос- нован на том, что упругий рабочий орган тем или иным образом пережимается, вследствие чего рабочая жидкость или другое содержимое полости упругого рабочего органа передвига- ется по направлению к выходному отверстию насоса. Чаще всего в качестве упругого рабо- чего органа используют эластичный шланг, поэтому в отечественной литературе и техниче- ской документации такие насосы принято называть шланговыми. В зарубежной литературе шланговыми обычно называют перистальтические насосы со шлангом с внутренним диамет- ром шланга от 10 до 125 мм. Такие насосы рассчитаны на подачи вплоть до 100 м3/с и рабо- чее давление до 1,6 МПа [1]. Если же в насосе используется силиконовая или пластиковая трубка с внутренним диаметром от 0,15 до 10 мм, то такой насос часто называют трубочным. Шланг (или трубка) может быть расположен в насосе радиально или линейно, причем наибольшее распространение получили насосы с радиальным расположением шланга. Насо- сы с линейно расположенным органом, который сжимается выжимными элементами в одном и том же месте в поперечном направлении часто называют перистальтическими насосами линейного типа. Также существуют и другие конструкции насоса, где вместо трубки или шланга используют одну или несколько мембран (см., например, работы [2, 3]). По сравнению с другими видами насосов, перистальтические насосы имеют очень про- стую проточную часть. Упругий рабочий орган может быть изготовлен из химически или абразивно стойкого материала, что делает возможным перекачивание агрессивных сред и жидкостей с абразивными включениями. В конструкции перистальтического насоса обычно отсутствуют уплотнения и клапаны, за исключением конструкций, в которых устанавливает- ся предохранительный клапан, чтобы предотвратить повреждение рабочего органа в случае его засорения и закупоривания проточной части. Перистальтические насосы легко обслужи- вать, а при работе в качестве дозатора они могут обеспечивать подачу с точностью до 0,5 % [4, 5]. Перистальтические насосы герметичны и могут использоваться для транспорти- ровки веществ, загрязнение которых недопустимо. Перистальтические насосы нашли широкое применение в медицине для транспорти- ровки крови и других биологических жидкостей. В биофармацевтике и биотехнологиях пе- ристальтические насосы используют в системах асептического наполнения и для точного до- зирования лекарственных препаратов. В пищевой промышленности перистальтические насо- сы используют для транспортировки овощных очистков и других отходов производства, для перекачки и разливки продуктов повышенной кислотности, жидкого и густого теста, жидких подсластителей, фруктовых и мясных наполнителей и начинок, кремов, глазури [6]. Благода- ря герметичности перистальтические насосы применяют в химической промышленности, где утечки перекачиваемых химически активных веществ недопустимы. Так как перистальтиче- ские насосы могут работать с суспензиями, они нашли применение в горнодобывающей промышленности для перекачивания рудных пульп и шламов. Перистальтические насосы могут применяться в лабораторном оборудовании для диа- гностики и исследований и других областях, где требуются гидравлические машины, обла- дающие такими качествами, как высокая надежность, низкое энергопотребление и малые га- бариты. В таких областях перистальтические насосы с линейным расположением рабочего органа имеют преимущество перед насосами с радиальным расположением рабочего органа, так как они более компактны. Перистальтические насосы с радиальным расположением упругого рабочего органа являются хорошо изученными. В работе [7] рассматривается кон- струкция роторно перистальтического насоса компрессора с кольцевым расположением ра- бочего органа и приведена методика приближенного расчета расхода. В работе [8] приведен расчет характеристики насоса с U образным расположением трубки с решением системы уравнений, полученных из уравнения Бернулли. В работе [1] подробно описан расчет пери- стальтического насоса со спиральным расположением шланга, а также разработан способ для повышения надежности и увеличения срока службы перистальтического насоса. В то же время перистальтическим насосам линейного типа посвящено небольшое количество работ, в которых рассматривается непосредственно разработка новых конструкций и их экспери- ментальное исследование [9, 10], а КПД насоса определяется из результатов экспериментов. Целью данной работы является разработка метода определения КПД перистальтиче- ского насоса линейного типа, а также проведение экспериментов для сравнения полученных результатов. Постановка задачи Схема перистальтического насоса линейного типа представлена на рисунке 1,а. Нагне- тание жидкости от входного сечения 1 к выходному сечению 2 происходит за счет того, что выжимные элементы 3 длиной l по очереди сжимают упругий рабочий орган 4, в качестве которого используется гибкая трубка или мембрана. Рисунок 1. Схема перистальтического насоса Сначала первый выжимной элемент сжимает упругий рабочий орган и перекрывает ка- нал (рисунок 1,б). Затем срабатывает второй выжимной элемент, после чего первый выжим- ной элемент возвращается в исходное положение. Далее срабатывает третий выжимной эле- мент. После этого второй и третий выжимные элементы по порядку возвращаются в исход- ное положение. Затем цикл повторяется. Коэффициент полезного действия насоса можно определить по формуле:   Nп Nз pQ  , (1) Nз где: Nп - полезная гидравлическая мощность, Вт; Nз - затрачиваемая мощность, Вт; p - со- здаваемое насосом давление, Па; Q - подача насоса, м3/с. Если пренебречь потерями мощности в приводе насоса, то затрачиваемая мощность бу- дет представлять собой мощность, которая необходима для сжатия трубки насоса. Чтобы определить эту мощность, необходимо рассчитать деформации, возникающие при сжатии трубки. Сделаем допущение, что при сжатии трубки имеют место только упругие деформации, а пластических деформаций нет. Также пренебрежем влиянием участков длиной l1, располо- женных по бокам выжимных элементов (рисунок 1). Тогда такое напряженно деформиро- ванное состояние трубки будет являться плоской деформацией, когда все перемещения точек тела происходят параллельно одной плоскости [11]. Для такого плоского напряженного состояния перемещения являются функциями толь- ко двух переменных, а деформации приводятся к виду: z  0 ; zx  0 ;  yz  0 ; (2) 1  2   (    ) ;   1  2 (    ) ;   2(1  )  , x E x 1  y y E y 1  x xy E xy где: E - модуль Юнга, Па; ν - коэффициент Пуассона; σx - нормальное напряжение вдоль оси Ox, Па; σy - нормальное напряжение вдоль оси Oy, Па; τxy - касательные напряжения в плоскости xOy, Па. Введем новые упругие постоянные: E  E ;    . (3) 1 1  2 1 1  Подставим выражения (3) в выражения (2), получим: x   1 (    y ) ;   1 (    ) ;   2(1  1)  . (4) E x 1 y 1 E E y 1 x 1 xy xy 1 Для плоского напряженного состояния из шести формул Коши останутся три:   ux ;   uy ; uy    ux , (5) x x y y xy x y где: ux - перемещения по оси Ox, м: uy - перемещение по оси Oy, м. Шесть условий сплошности Сен Венана сводятся к одному: 2 2 2 x y2 y x2  xy . (6) xy Основные уравнения теории упругости при плоской деформации упрощаются и при- нимают вид: x   x  xy  X y  0;   (7)  xy  x  y  Y  0, y где: X и Y - проекции объемных сил, отнесенных на единицу объема, на оси Ox и Oy, соот- ветственно, Н/м3. Продифференцируем первое уравнение системы (7) по x, а второе по y, а затем сложим их. В результате получим:       2 2 2 x y xy y2  x2  2 xy . (8) Подставим деформации (2) в выражение (6), получим:         2 2 2 2 x y y x   2 xy y2   y2  x2   x2  2(1 ) xy . (9) Подставляем выражение (8) в выражение (9), тогда:   2 2 x       2 2 2 y y x  (x  y )  y2  y2  x2  x2  0 . (10) Задача, таким образом, сводится к интегрированию двух уравнений равновесия (7) и уравнение сплошности (10). Задача значительно упрощается за счет введения функции напряжений, впервые предложенной Джорджем Биддэллом Эйри в 1862 году [12]. Вместо функций x (x, y) , y (x, y) и xy (x, y) вводится одна функция (x, y) , такая, что: 2 2 2 x  y2 ; y  x2 ; xy   xy  Xy  Yx . (11) Подставив (11) в (10), можно записать: 4 4 4 4     x4 2   x2y2     y4 0 . (12) Таким образом, плоская задача теории упругости сводится к одному дифференциаль- ному уравнению (12). Решение Для решения применим метод конечных разностей [13]. Очевидно, напряжения, де- формации и перемещения будут симметричными относительно плоскостей xOz и yOz, по- этому рассмотрим только четверть трубки. Кроме узлов, расположенных в области трубки, для расчетов понадобятся также узлы, лежащие на контуре сжимаемой трубки, а также со- седние узлы, лежащие за контуром. Разобьем область сжимаемой трубки расчетной сеткой, как показано на рисунке 2. Узлы, лежащие в пределах области трубки и за ее контуром, обо- значены на рисунке 2 точками, а контурные узлы обозначены жирными точками. Рисунок 2. Расчетная сетка Для замены производных на их разностные аналоги воспользуемся алгебраическими полиномами. Для замены производной четвертого порядка необходимо использовать поли- ном четвертого порядка: (x)  a  bx  cx2  dx3  ex4 . Очевидно, что (xk )  k , отсюда получим систему:   a  bx cx2 dx3 ex4 ;  i, j i, j i, j i, j i, j   a  bx cx2 dx3 ex4 ; i1, j  i1, j i1, j i1, j i1, j   a  bx cx2 dx3 ex4 ;  i1, j i1, j i1, j i1, j i1, j    a  bx cx2 dx3 ex4 ;  i2, j i2, j i2, j i2, j i2, j   a  bx cx2 dx3 ex4 .  i2, j i2, j i2, j i2, j i2, j Решим систему методом Гаусса. В результате получим, что: 4 x4 i2 i1 i i1 i2  4  3 2  e  ax i2, j  ax i1, j  ax i, j  ax i1, j  ax i2, j , (13) где: a (x xi2  x )(x 24 x )(x x )(x ; x ) a  i2, j i, j i2, j i1, j i2, j i1, j i2, j i2, j 24 ; xi1 (x  x )(x x )(x x )(x x ) axi i1, j i, j i2, j i1, j i1, j i1, j i2, j i1, j  24 ; (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi, j )(xi2, j  xi, j ) a  24 ; xi1 (x x )(x x )(x x )(x x ) i1, j i, j i1, j i1, j i2, j i1, j i2, j i1, j a  24 . xi2 (x x )(x x )(x x )(x x ) i2, j i, j i2, j i1, j i2, j i1, j i2, j i2, j Аналогично: 4 y4 j 2 j 1 j j 1 j 2  4  3 2  e  ay i, j2  ay i, j1  ay i, j  ay i, j1  ay i, j2 , 24 где: a ( y y j 2  y )( y y )( y y )( y ; y ) i, j2 i, j i, j2 i, j1 i, j2 i, j1 i, j2 i, j2 a  24 ; y j 1 ( y  y )( y y )( y y )( y y ) i, j1 i, j i, j2 i, j1 i, j1 i, j1 i, j2 i, j1 (14) a y  24 ; j ( yi, j1  yi, j )( yi, j1  yi, j )( yi, j2  yi, j )( yi, j2  yi, j ) a  24 ; y j 1 ( y y )( y y )( y y )( y y ) i, j1 i, j i, j1 i, j1 i, j2 i, j1 i, j2 i, j1 a  24 . y j 2 ( y y )( y y )( y y )( y y ) i, j2 i, j i, j2 i, j1 i, j2 i, j1 i, j2 i, j2 Аналогичным образом можно получить конечные разности для производных второго порядка, используя многочлен второго порядка. Смешанную производную получим, заменяя 2 конечными разностями частную производную , а затем заменив каждое значение функ- x2 ции конечной разностью для частной производной по второй координате. Получим: 4 x2y2  axy0i, j  axy1i1, j  axy 2i, j1  axy3i1, j  axy 4i, j1   axy 6i1, j1  axy8i1, j1  axy10i1, j1  axy12i1, j1. 4 где: axy0  (x x )(x x )( y y )( y ; y ) i1, j i, j i1, j i, j i, j1 i, j i, j1 i, j (15) axy1  4 ; (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j )( yi1, j1  yi1, j )( yi1, j1  yi1, j ) 4 axy 2  ; (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi, j )( yi, j1  yi, j )( yi, j1  yi, j1) 4 axy3  ; axy 4 (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j )( yi1, j1  yi1, j )( yi1, j1  yi1, j )  4 ; (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi, j )( yi, j1  yi, j )( yi, j1  yi, j1) 4 axy6  ; axy8 (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j )( yi1, j1  yi1, j )( yi1, j1  yi1, j1)  4 ; (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j )( yi1, j1  yi1, j )( yi1, j1  yi1, j1) 4 axy10  ; axy12 (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j )( yi1, j1  yi1, j )( yi1, j1  yi1, j1)  4 . (xi, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j )( yi1, j1  yi1, j )( yi1, j1  yi1, j1) Для нахождения значений функции φ в контурных узлах, а также в узлах, расположен- ных за контуром, воспользуемся балочной аналогией, которую предложил использовать проф. Синицын Л.П. [14]:   N ;  M . (16) n где: M - момент на единицу длины, Н; N - нормальная сила на единицу длины, Н/м. Примем, что нормальная сила в направлении оси Ox равна нулю, а в направлении оси Oy равна по модулю силе F, сжимающей трубку. Так как момент и нормальная сила являют- ся сжимающими, то их значения принимаются отрицательными. Соответственно, для узлов внутри контура: i, j  i, j2 yi, j  yi, j2  N ; i, j  i, j2 yi, j  yi, j2  N . (17) Для контурных узлов, лежащих на оси Ox: i, j1  i, j1  N . (18) yi, j1  yi, j1 Заменив в формулах (5) и (11) частные производные конечными разностями, получим x  2i, j1  2i, j  2i, j1 ; (19) ( yi, j1  yi, j )( yi, j1  yi, j1) ( yi, j1  yi, j )( yi, j1  yi, j ) ( yi, j1  yi, j )( yi, j1  yi, j1) y  2i1, j  2i, j  2i1, j ; (20) (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j ) (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi, j ) (xi1, j  xi, j )(xi1, j  xi1, j ) y du i , j i , j  y ( yi, j1  yi, j1). (21) Таким образом, совокупность выражений (20) и (21) и выражения (12) после подста- новки в него выражений (13) и (15) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений. Для решения получившей- ся системы был использован метод нижней релаксации [15]. Параметр релаксации был взят ω = 0,5. Для вычислений напряжений полученные значения φ были подставлены в выраже- ния (19) и (20), а значения напряжений - в выражения деформаций (4). Значения деформаций были использованы в выражении (21) для того, чтобы получить значения перемещений по оси Oy в каждом узле. При нахождении новых координат узлов было принято, что контурные узлы, лежащие на оси Ox, могут перемещаться только вдоль этой оси, а координаты остальных узлов можно определить следующим образом: y  y  ( y  y )  du , (22) 1 1 0 0 i, j i, j2 i, j i, j2 yi , j 1 где верхний индекс «0» означает первоначальные значения координат узлов, а индекс «1» - новые значения координат узлов. Новые значения абсцисс можно рассчитать по формуле, аналогичной выражению (22), но для определения значения силы F эти значения не требуются. Сила F, необходимая для полного сжатия трубки, определялась путем подбора. Считалось, что трубка полностью сжа- та, если при заданной силе F вычисленные новые координаты узлов такие, что нижний кон- турный узел, лежащий на оси Oy, достигает оси Ox. Поскольку была рассмотрена только чет- верть трубки, а сила F - это сила на единицу длины, то полная затрачиваемая на сжатие трубки мощность можно определить по следующему выражению: з N  4Flcdn , (23) tс где: lc - длина сжимаемого участка трубки, м; n - количество сжимаемых участков; d - внут- ренний диаметр трубки, м; tc - время, за которое трубка полностью сжимается, с. Для вычислений использовалась сетка, в которой было около 600 расчетных узлов. Проведение экспериментов Схема экспериментальной установки показана на рисунке 3. Жидкость 1 перекачивает- ся в принимающий сосуд 2 по упругой пластиковой трубке 3. Три стальные пластины 4, ко- торые приводятся в движение при помощи электромагнитов, пережимают пластиковую трубку, закрепленную на жестком упоре 5 скобами 6. Подающий сосуд 7 расположен по от- ношению к принимающему сосуду так, что существует некоторая разница высот, создающая перепад давления ∆p, причем давление на входе в насос меньше давления на выходе. Прини- мающий сосуд является мензуркой с ценой деления 1 мл. В качестве рабочей жидкости ис- пользовалась вода. Трубка имеет внутренний диаметр 3 мм, внешний диаметр 4,8 мм и длину 1,5 м. Каждая пластина имеет ширину 14 мм. Время действия каждого электромагнита зада- валось при помощи микроконтроллера и составляло 30 мс. Время всего цикла было взято 3 с. Измеренное время сжатия трубки составило 16 мс. Сопротивление обмотки каждого элек- тромагнита - 630 Ом, рабочее напряжение - 100 В. Рисунок 3. Схема экспериментальной установки Во время проведения эксперимента расход жидкости измерялся косвенно, то есть изме- рялся объем жидкости (около 40 мл), поступающий в принимающий сосуд, и при помощи секундомера с ценой деления 1 с засекалось время перекачки этого объема (около 5 мин). За- тем расход вычислялся как отношение перекаченного объема жидкости ко времени работы насоса. Перепад давления между входным и выходным сечениями трубки измерялся с точ- ностью 0,25 мм водяного столба. Затрачиваемая мощность, определяемая по данным экспе- римента, вычислялась по формуле: Nз  3 э U 2 t , (24) R tц где: U - напряжение, В; R - сопротивление обмотки электромагнитов, Ом; tэ - время дей- ствия электромагнита, с; tц - время цикла, с. Результаты На рисунке 4 представлены результаты вычислений и измерений. Сплошной линией показаны значения КПД, определенные теоретически с затрачиваемой мощностью, посчи- танной по формуле (23), а пунктирной линией - значения КПД, полученные с использовани- ем значений затрачиваемой мощности, полученных из выражения (24). Для расчета исполь- зовались значения перепада давления и подачи насоса, полученные экспериментально. Мо- дуль Юнга был принят E = 6106 Па, коэффициент Пуассона μ = 0,47. Рисунок 4. Кпд перистальтического насоса Из рисунка 4. видно, что значения коэффициента полезного действия насоса, опреде- ленные теоретически, значительно больше, чем полученные экспериментально. Максималь- ное значение теоретического КПД составляет 410 4, в то время как максимальное значение экспериментально полученного равно 510 5. Связано это, по всей видимости, с тем, что при теоретическом расчете не учитывались потери энергии в обмотках электромагнитов. Кроме того, на обмотки электромагнитов в экспериментальной установке могло подаваться напря- жение значительно большее, чем необходимо для полного сжатия трубки. С одной стороны, КПД рассматриваемого перистальтического насоса намного меньше, чем у других конструк- ций перистальтических насосов. Например, максимальное значение КПД перистальтическо- го насоса со спирально расположенным шлангом составляет 0,4…0,45 [1]. С другой стороны, коэффициент полезного действия других миниатюрных насосов ненамного больше, а в неко- торых случаях даже меньше. Например, максимальное значение КПД рассматриваемого в работе [9] миниатюрного перистальтического насоса составляет 310 3; КПД миниатюрного электроосмотического насоса, изучаемого в работе [16] - 510 3; КПД коммерчески реализо- ванного миниатюрного перистальтического насоса [17] - 210 3; КПД миниатюрного мем- бранного насоса, рассмотренного в работе [18] - 410 9. Заключение Таким образом, разработанная методика расчета деформации трубки перистальтиче- ского насоса позволяет определить необходимую для сжатия трубки мощность и, тем самым, рассчитать приближенное теоретическое значение КПД, причем рассчитанные значения КПД значительно больше, чем определенные экспериментально. Разработанная методика, тем не менее, может использоваться для предварительных приближенных расчетов и реко- мендации выбора параметров насоса. Значение КПД для рассматриваемого перистальтиче- ского насоса является относительно малым по сравнению с другими конструкциями насосов, однако КПД других миниатюрных насосов ненамного больше или даже меньше.

About the authors

A. I Grishin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: foxmccloud@rambler.ru
+7 915 386-58-71

A. A Sheipak

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Dr.Sc., Prof.

V. N Chicheryukin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.

References

Supplementary files