Calculation of contact parameters of loaded body with outer ring raceway in metalpolymer roller bearing

Abstract

The method for calculation of contact parameters of loaded body with outer ring raceway in roll- er bearing with polymer coating on outer ring was proposed. The formulas for calculating the pa- rameters of contact were obtained: the width of contact area half-axis and maximum contact stress- es. Computer program for faster and less labor-intensive calculation of contact parameters was de- veloped.

Full Text

УДК 621.822.6.004.67: 668.3: 631.3.02 Расчет параметров контакта нагруженных тел с дорожкой качения наружного кольца в металлополимерном роликоподшипнике д.т.н. проф. Ли Р.И., Мироненко А.В. Липецкий государственный технический университет, (919)164-61-58, romanlee@list.ru Аннотация. Предложен метод расчета параметров контакта нагруженных тел с дорожкой качения наружного кольца в роликоподшипнике с полимерным покрытием, нанесенным на наружное кольцо. Получены формулы расчета параметров контакта: ширины полуоси пятна контакта и максимальных контактных напряже- ний. Составлена компьютерная программа для более быстрого и менее трудоза- тратного расчета параметров контакта. Ключевые слова: подшипник, полимер, контакт, кривизна, напряжение Подшипники качения одни из основных деталей, применяющихся при конструирова- нии опор валов в механизмах. Наравне с шарикоподшипниками широко применяются роли- коподшипники, способные нести большую нагрузку. Для роликоподшипника характерен ли- нейный контакт тел качения с дорожками качения. Актуальной задачей является снижение контактных напряжений в роликоподшипнике и увеличение срока его службы. Одним из эффективных путей повышения долговечности подшипников качения является снижение контактных напряжений в контакте тел и дорожки качения. На величину напряжений оказы- вают влияние такие факторы как распределение внешней нагрузки между телами качения и геометрические параметры контактирующих тел. Одним из способов влияния на эти факто- ры является нанесение полимерного материала на наружное кольцо подшипника. Полимер- ный материал выполняет роль упругой подкладки, и при приложении радиальной нагрузки, наружное кольцо подшипника деформируется, изменяется геометрия наружного кольца и распределение нагрузки между телами качения [1…3]. В данной статье рассмотрено влияние изменения геометрии наружного кольца на параметры контакта тел и дорожки качения в ме- таллополимерном роликоподшипнике. В роликоподшипнике форма пятна контакта в месте контакта ролика и наружного кольца имеет вид прямоугольника с осями l в направлении перпендикулярном качению и 2bк в направлении качения. Максимальные контактные напряжения будут в центре пятна контакта и рассчитыва- ются по формуле [4] где: P - нагрузка на тело качения. Полуось пятна контакта в направлении качения (1) где: εI и εII, EI и EII - коэффициенты Пуассона и модули упругости материала кольца под- шипника и тела качения соответственно. Обычно в подшипниках εI = εII = ε, EI = EII = E и тогда: (2) где: - сумма кривизн контактирующих тел, в данном случае дорожки качения и тела ка- чения; В общем случае: При контакте ролика с наружным кольцом подшипника rI1 = ∞, rII1 = ∞, rI2 = Rw, где Rw - радиус ролика. Тогда: (3) где: rII2 - радиус дорожки качения в месте контакта с телом качения, в случае подшипника без полимерного покрытия rII2 = D1/2; D1 - диаметр дорожки качения определяется по справочной литературе. В подшипнике с полимерным покрытием, нанесенным на наружное кольцо, последнее при приложении радиальной нагрузки на подшипник деформируется. Деформация происхо- дит в местах контакта тел качения и наружного кольца как показано на рисунке 1. Из-за это- го радиус кривизны дорожки качения rII2 в месте контакта уже не равен половине радиуса до- рожки. Рисунок 1. Деформация наружного кольца роликоподшипника с полимерным материалом В определении радиуса rII2 заключается одна из основных проблем расчета параметров контакта в роликоподшипнике с полимерным материалом. Для определения радиуса rII2 раз- режем кольцо подшипника и представим его как балку на упругом основании [5]. Под дей- ствием сосредоточенной силы балка на упругом основании деформируется. Деформирован- ную форму балки можно описать уравнением. Используя уравнение балки на упругом осно- вании можно вычислить значения прогиба балки в любой точке и построить график дефор- мации балки. Рисунок 2. Действие на балку системы сил При радиальном нагружении наружное кольцо подшипника воспринимает нагрузку от нагруженных тел качения. В случае действия на балку системы сил P1, P2, P3… Pj (j=1, 2, 3 … N) (рисунок 2), уравнение балки на упругом основании имеет вид [6]: (4) где: y(xi) - деформация (прогиб) балки в точке xi; β - коэффициент, равный k - коэффициент постели, k = k1∙bп; где: k1 - коэффициент податливости основания; bп - ширина наружного кольца подшипника; E - модуль упругости материала балки (наружного кольца); J - момент инерции сечения; xj - координата точки в которой приложена сила Pj. Начало координат необходимо располагать в точке приложения первой силы, а за абс- циссу принимать расстояние от этой точки до того сечения, где вычисляется прогиб балки. Для определения радиуса кривизны балки в точке прогиба аппроксимируем участок деформированной балки около точки приложения силы окружностью. Рассчитаем данный радиус в точке приложения силы от центрального тела качения. Будем учитывать нагрузки от центрального тела качения, от первых и вторых боковых тел качения. Расчетная схема приведена на рисунке 3. Рисунок 3. Расчет радиуса кривизны балки rII2 в точке приложения силы от центрального тела качения Здесь P0 - нагрузка от центрального тела качения; P11 = P12 = P1 - от первых боковых тел качения; P21 = P22 = P2 - от вторых боковых тел качения; y0 - прогиб балки под централь- ным телом качения; l - расстояние между телами качения, которое можно определить по формуле l  D1 z , где D1 - диаметр дорожки качения наружного кольца; z - число тел качения в подшипнике. Абсциссы точек приложения сил будут равны: для силы P22 - x1=0; для силы P12 - x2=l; для силы P0 - x3=2l; для силы P11 - x4=3l; для силы P21 - x5=4l. Уравнение окружности имеет вид: где: a, b - координаты центра окружности; R - радиус окружности. В нашем случае R = rII2. Для решения задачи аппроксимации необходимо минимизировать функцию [7]: где: n - число точек, взятых для аппроксимации. Для упрощения расчетов введем вспомогательные величины B  2a , C  2b ; D  a2  b2  R2 ; z  x2  y2 . Тогда функция примет вид: i i i Раскрыв скобки и произведя замены, описанные ниже, получим систему линейных уравнений где: Решив систему уравнений одним из способов, например, методом Гаусса, получим зна- чения B, C и D и из них вычислим координаты центра окружности a, b и искомый радиус R Были проведены расчеты прогибов y0 и радиусов кривизны кольца подшипника rII2 под центральным телом качения для различных типоразмеров подшипников при различных нагрузках. В результате получили графики зависимостей радиусов кривизны от прогибов балки, приведенные на рис. 4. Рисунок 4. Зависимость радиуса кривизны деформированного наружного кольца подшипника rII2 от прогиба кольца под центральным телом качения y0 В результате исследования графиков в специализированном программном обеспечении Advanced Grapher, выяснилось, что с большой степенью точности, данные зависимости мож- но описать гиперболической функцией. Данная зависимость имеет вид rII 2  kкр y0 , где kкр - коэффициент, зависящий от типоразмера подшипника и свойств полимерного покрытия. Назовем его коэффициентом кривиз- ны. Из выражений (2) и (3) получим формулу для определения полуоси пятна контакта в контакте центрального тела качения с дорожкой качения наружного кольца роликоподшип- ника с полимерным материалом: (5) Из выражений (1) и (5) получим формулу расчета максимального контактного напря- жения вдоль площадки контакта: (6) Выражение (4) для определения прогиба y0 под центральным телом качения запишется в виде: После преобразований получим: . . (7) Подставив в формулы (5) и (6) коэффициент кривизны kкр и (7) получим По полученным формулам можно определять размеры пятна контакта и максимальные контактные напряжения в месте контакта центрального тела качения и дорожки качения наружного кольца в металлополлполимерном роликоподшипнике. Контактные напряжения в данной точке будут самыми высокими в подшипнике, так как сила, передающаяся через цен- тральное тело качения на дорожку качения наружного кольца больше сил, передающихся от боковых тел качения (P0>P1>P2). Поэтому от напряжения в контакте центрального тела с до- рожкой качения будет зависеть долговечность всего подшипника. Как видим, вышеприведенные формулы достаточно сложны для вычисления по ним, особенно если учесть, что для аппроксимации с хорошей степенью точности требуется большое количество точек. Для упрощения и ускорения расчетов создана компьютерная программа. Для написания программы использовали среду разработки Delphi 7. Интерфейс программы показан на ри- сунке 5. Рисунок 5. Интерфейс программы для расчета параметров контакта в роликоподшипнике с полимерным материалом Программа учитывает нагрузки, передаваемые на наружное кольцо от центрального, первых боковых и вторых боковых тел качения. В качестве исходных данных для расчета необходимо ввести: параметры материала подшипника (модуль упругости и коэффициент Пуассона); нагрузки на тела качения; геометрические параметры подшипника: ширина наружного кольца, момент инерции сечения наружного кольца, диаметр дорожки качения наружного кольца, расстояние между телами качения, диаметр и длина ролика; коэффициент податливости основания. Затем необходимо ввести пределы расчета (построения графика), размер зоны аппроксимации и шаг аппроксимации. Размер зоны аппроксимации необходимо задавать таким, что бы аппроксимировался только участок около точки приложения силы, целесообразно принимать размер данной зоны равным Dw/4, где Dw - диаметр ролика. Программа строит график деформации балки. Точки графика около центрального тела качения аппроксимируются окружностью и вычисляется радиус окружности rII2. Затем по вышеприведенным формулам вычисляются размеры пятна контакта и максимальное напря- жение в месте контакта центрального тела качения с наружным кольцом. В результатах расчета выводятся следующие данные: ширина пятна контакта 2b; мак- симальное напряжение в пятне контакта; прогиб балки под центральным телом качения y0; значения коэффициентов β и k. Имеется возможность сохранить график в графический файл и экспортировать данные в Microsoft Excel. Выводы Предложен метод расчета параметров контакта нагруженных тел с дорожкой качения наружного кольца в роликоподшипнике с полимерным покрытием, нанесенным на наружное кольцо; Получены формулы для расчета размеров пятна контакта и напряжений в месте контакта центрального тела и дорожки качения наружного кольца в металлополимерном ролико- подшипнике. Создана компьютерная программа для расчета параметров контакта, позволяющая значи- тельно упростить и ускорить данные расчеты.