Mathematical models of electromechanics as an asymptotics of Maxwell-Minkowski equations

Full Text

Современные технологии автоматизированного проектирования электрических генера- торов, двигателей, реле и др. электромеханических устройств требуют использования систе- мы вычислительных алгоритмов, основанной на синтезе методов классической механики и теории электромагнитного поля. Это вызвано тем, что в номенклатуре создаваемых устройств значительно возрос удельный вес электрических машин нетрадиционного испол- нения, при проектировании которых стандартные методы теории электрических машин и ап- паратов практически не работают. Примером этому являются автомобильные генераторы с клювообразной полюсной системой и стартер-генераторы, для которых до сих пор нет по- следовательной теории установившихся и переходных процессов. Отсутствие в литературе связной системы математических моделей, описывающих взаимодействие движущихся дета- лей и узлов технических устройств с электромагнитным полем, серьезно затрудняет создание эффективной системы вычислительных алгоритмов и программного обеспечения систем ав- томатизированного проектирования электромеханических систем (САПР ЭМС), без которых невозможно конструирование конкурентоспособных изделий АТЭ. Техническая электродинамика базируется, как правило, на классических макроскопи- ческих уравнениях Максвелла: rot H  D t  j (I); rot E   B t (II);  div D  e (III);  div B  0 (IV); (1) div j   e t  (V).  Связи между полями E, H, D и B описываются уравнениями: D  0E  P (I); B  0H  M (II). (2) При создании работоспособных моделей необходимо, в первую очередь, дополнить уравнения (2) соотношениями, описывающими связь поляризованности P , намагниченности M и электрической проводимости вещества  с полевыми переменными. Во-вторых, урав- нения (1) и (2) необходимо модифицировать так, чтобы учесть в моделируемой системе материальных тел, движущихся со скоростями v(r,t ) . Третье требование сводится к тому, что полученные уравнения необходимо преобразовать так, чтобы исключить из рассматриваемой модели «паразитные» (несущественные) высокочастотные электромагнитные процессы, ве- дущие, как правило, к вычислительной неустойчивости. В рассматриваемых задачах связи между электрическими и магнитными параметрами вещества с одной стороны, и полевыми переменными - с другой, описываются в неподвиж- ной системе отсчета 0 феноменологическими соотношениями вида: P  P0 (E) (I); M  M0 (H) (II); e j  J0 (E) (III). (3) При этом вектор-функции P0 () , M0 () и e J0 () считаются гладкими (дифференцируемыми достаточное число раз) функциями своих векторных аргументов. Для моделирования влияния движущихся поляризующихся и намагничивающихся тел на электромагнитное поле существенным является то, что для задач электромеханики спра- ведливо неравенство:   v c 1  104 , (4)  1 где: c  00  2 - скорость света в вакууме. Кроме того, рассматриваемые технические системы характеризуются «квантом време- ни» t , представляющим собой порог чувствительности применяемых измерительных при- боров и порог разрешающей способности применяемых моделей материальных сред. «Квант времени» t и характерный линейный размер системы Lm нием: связаны, как правило, соотноше-   Lm c t   o 101  , (5) показывающим, что электромагнитная волна, вызванная начальным возмущением поля, покидает систему (высвечивается) за время t  0,1t . Это позволяет рассматривать электромагнитное поле в электромеханических устройствах как квазистационарное. Г. Минковский 1, используя принцип относительности Лоренца-Пуанкаре- Эйнштейна, построил феноменологическую релятивистски-инвариантную теорию электро- магнитных процессов в движущихся материальных телах, в которых индукции D , B и плотность тока j связаны с напряженностями поля E и H линейными соотношениями: D  0E, B  0H,, j  E, ,,  const. (6) В теории Минковского наряду с «глобальной» системой отсчета  вводятся локальные системы отсчета  , связанные с материальными телами, движущимися относительно  с постоянными скоростями v  v v0, где v0 - единичный вектор. Связь между координатами r,t и r,t  точки в глобальной и локальной системе отсчета описывается преобразованиями Лоренца, векторная форма которых имеет вид: r  r  v0   1r  v0  ct  , t   t  c 1r  v0 , (7) где:  1   1  2  2  1  v 2   1 c 2 2 , а компоненты электромагнитного поля в каждой из систем  связаны с его компонентами в системе  при помощи следующих равенств: E  E  E   v  B,  H  H  H   v  D,   D  D D   c 2 v  H, B  B B   c 2 v  E, (8)           j  j  j    v,     c 2 v  j.     e e e  Здесь aь - продольная компонента вектора a , а a - его поперечная компонента. По формулам векторной алгебры aь   a  v0  v0 , а a  a  aь  a  v0  v0 . Согласно 1, 2 материальные соотношения (6) в локальной системе отсчета  , движущейся равномерно прямолинейно вместе с бесконечно малой частицей среды, сохраняют свою форму, если напряженности электрического и магнитного полей в правых частях этих соотношений заменить их эффективными значениями, вычисляемыми по формулам: Eeff  E  v  B, Heff  H  v  D . (9) В монографии 2 показано, что эффективные поля (9) можно отождествить с силами, действующими на движущийся единичный электрический заряд (сила Eeff ) и на движущийся магнитный полюс (сила Heff ). Таким образом, измеренные в подвижной инерциальной системе отсчета  шениями: поляризации P и M , а также плотность тока j определяются соотно- P  P0 (E ), M  M0 (H ), j  J0 (E ) . (10) eff eff e eff Это утверждение известно в литературе 3 как принцип Минковского. Л. И. Седовым в монографии 4 выполнено обобщение принципа Минковского на ускоренно движущиеся материальные тела. Это обобщение основано на том, что индивидуальные точки электромаг- нитного поля не имеют массы покоя, из-за чего воздействие поля на материальные частицы происходит без запаздывания. Взаимодействие электромагнитного поля с материальными телами можно рассматривать как взаимодействие поля с ансамблем электрических и магнит- ных диполей (диэлектрики и магнетики) и свободных электрических зарядов (проводники). Поэтому мы вправе, следуя рассуждениям монографии 2, соотношения (10) рассматривать как универсальные эмпирические характеристики взаимодействия материальных тел с элек- тромагнитным полем. Следует отметить, что в работе 4 для описания взаимодействия элек- тромагнитного поля с материальными средами используется аппарат тензорного анализа: с каждой материальной точкой r(t ) связывается локально-инерциальная система отсчета (r,t ) , движущаяся со скоростью v(r,t ) , равной мгновенной скорости этой точки, и уравнения электродинамики записываются в координатах системы (r,t ) . Основным недостатком феноменологической теории Минковского при ее использова- нии при расчете является необходимость применения методов тензорного анализа, практиче- ски не реализуемых на современных ЭВМ. Известные в литературе примеры использования этой теории в технике 5 носят дидактический характер (являются примерами, поясняющи- ми основные положения теории) и не пригодны для проведения технических расчетов. Другой трудностью, возникающей при применении теории Максвелла - Минковского в технической электродинамике, является то, что аналитически корректный переход от исход- ной системы уравнений электромагнитного поля к уравнениям квазистационарного прибли- жения выполнен только для уравнений Максвелла (1) в покоящейся материальной среде (разложение Рэлея в теории рассеяния электромагнитных волн). В электромеханике же урав- нения квазистационарного электромагнитного поля получают, формально полагая в уравне-  1 ниях (7) c  . Учитывая соотношение c  00  2 , этот предельный переход реализуют двумя различными способами 3 - либо принимается условие 0  0 (нерелятивистское магнитное приближение уравнений Максвелла), либо принимается условие 0  0 (нерелятивистское электрическое приближение уравнений Максвелла). В первом случае пренебрегают токами смещения D t , а во втором - электромагнитной индукцией B t в конструктивных элементах рассматриваемой технической системы. Поэтому нерелятивистское магнитное приближение уравнений Максвелла принимает вид: rot H  j (I); rot E  B t (II);   (11) div D  e (III); div B  0; (IV); div j  0 (V). rot H  D t  j (I); rot E  0 (II); div D  e (III); div B  0 (IV); div j   e t В свою очередь, нерелятивистское электрическое приближение уравнений Максвелла записывается в виде:  (V  ). (12) В модели поля, описываемой уравнениями (11), отсутствуют электромагнитные волны, вследствие чего она непригодна для описания быстропротекающих и неустановившихся процессов в технических устройствах. Область ее применимости - классическая теория элек- трических машин и аппаратов. Невозможность моделирования электромагнитной индукции в модели, описываемой уравнениями (12) приводит к тому, что областью применимости этой модели является исключительно высокочастотная электроника. Для преодоления первой трудности необходимо, следуя идеям проф. Чу 6, адаптиро- вать принцип Минковского-Седова к нелинейным материальным соотношениям (2) - (3), использовав векторную форму уравнений электродинамики и малость параметра Эту операцию назовем задачей A.   v c 1 . Задачей B назовем математические преобразования, предназначенные для преодоления второй трудности - построения асимптотического разложения решения уравнений электродинамики по малому параметру   Lm tc  , предназначенного для «отфильтровывания» высокочастотных составляющих формального решения уравнений электродинамики, роль которых в функционировании ЭМС пренебрежимо мала. Задача A Для построения электродинамики системы движущихся материальных тел, скорости v(r,t ) которых ограничены условием   v c  1 , а электромагнитные свойства описываются уравнениями (2)-(3), введем глобальную инерциальную систему отсчета  . Связав с точками материальной среды локальные координатные системы и манипулируя соотношениями (8), будем последовательно отбрасывать члены порядка 2 (2) и (10), а также учитывая, что   1 O(2 ) , имеем: и выше. Комбинируя (8) с D  c 2 v  H   E  v  B  P0 (E ) (I); 0 0 eff  B  c 2 v  E   H   v  D   M0 (H )  (II). (13) 0 0 0 eff  Умножим векторно слева обе части (13II) на вектор 0 v и сложим результат с (13I). 0 0 Аналогично умножим векторно слева обе части (13I) на вектор тывая, что    c 2 , получаем: 0 v и вычтем из (13II). Учи- D  c 2 v  v  D   E  c 2 v  v  E  P0 (E )    v  M0 (H ) (I); 0 eff 0 0 eff   (14) B  c 2 v  v  B   H  c 2 v  v  H   M0 (H )   v  P0 (E ) (II). 0 0 eff 0 eff  Но любое векторное поле A(r ) удовлетворяет неравенству: c 2 v  v  A  vc 2 v0  v0  A  2 A . (15) Поэтому, отбрасывая в (14) члены порядка 2 , получаем: 0 0 0 0  D  0E  P (Eeff )  00 v  M (Heff ); Подставив (16) в (9), получаем: B  0H  0M (Heff )  0 v  P (Eeff ). (16) E  E   v  M0 (H )   v  H  v  P0 (E ) (I); eff 0 eff 0 eff   (17) H  H  v  P0 (E )   v  E   v  M0 (H ) (II).  eff eff 0 0 eff Сравнение (17) с (9) показывает целесообразность введения расчетного электрического поля EC и расчетного магнитного поля HC , при помощи соотношений: 0 0 EC  E  0 v  M (Heff ), HC  H  v  P (Eeff ). (18) Тогда эффективные поля Eeff и Heff становятся функциями расчетных электрического и магнитного полей, а также поля скоростей движущихся тел и определяются соотношения- ми: Eeff  EC  0 v  HC , Heff  HC  0 v  EC , (19) которые формально идентичны соотношениям (9) и совпадают с аналогичными соотношени- ями монографии 6. Релятивистские правила преобразования плотности свободных электрических зарядов и токов проводимости при условии v  c имеют, как известно 2, вид:     c 2 v  j, j  j  v . (20) e e e Но существующие методики определения этих величин в материальных телах предпо- лагают выполнение актов измерения аппаратурой, неподвижной относительно рассматриваемого тела, т.е. в сопутствующих системах отсчета  . Поэтому в соотношениях (20) можно положить   0 , j  J0 () , переписав их в виде: e e e e   0  c 2 v  J0 (E ), j  J0 (E )  v0 . (21) e e e eff e eff e Подстановка определений (18) в соотношения (16) дает: D   E  P0 (E ) (I); B   H   M0 (H ) (II);  0 C eff 0 C 0 eff   (22) E  E  v  M0 (H ) (III); H  H  v  P0 (E ) (IV). C 0 eff C eff  Подставив соотношения (21) и (22) в уравнения Максвелла (1), получаем: rot H   E t  P0 (E )t  rot P0 (E )  v  J0 (E )  0 v (I); C 0 C eff eff e eff e  rot E   H t  M0 (H )t  rot M0 (H )  v (II);  C 0 C 0 eff 0 eff  (23) div  E P0 (E )  0  c 2 v  J0 (E ) (III);  0 C eff e e eff  div H M0 (H )  0 (IV); div J0 (E )   0 t (V). C eff e eff e  Система уравнений (23) описывает электромагнитные процессы в системе движущихся (в общем случае - ускоренно) материальных тел, скорости которых удовлетворяют условию v c  1 , и характеризуемых нелинейными электрической и магнитной поляризациями, а также нелинейной электрической проводимостью. К указанному классу систем относятся все электромеханические устройства. Выводы Получены уравнения, позволяющие корректно применять уравнения Максвелла - Минковского для описания электромеханических устройств в общем случае с произвольным движением токоведущих частей и нелинейными электрическими и магнитными характери- стиками. Получение уравнений квазистационарного электромагнитного поля (задача В) основа- но на разложении искомого решения в степенной ряд по малому параметру , определенному соотношением (5). Обоснование применяемой для этого техники требует привлечения мето- дов функционального анализа и будет приведено авторами в последующих публикациях. В заключение отметим, что первоначальный вариант описанной выше теории был опубликован одним из авторов в работе 7.

About the authors

S. M. Nigmatullin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: nigmat@mami.ru
Ph.D.; +7(495)223-05-23, ext. 1246

I. M. Shenderovskiy

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: joshend@mail.ru
+7-905-776-29-67

References

Supplementary files