Optimization of securities portfolio in prohibited transactions "short sale"

Full Text

Рассмотрим портфель ценных бумаг, в который предполагается включить три акции с ожидаемыми доходностями μ0 < μ1 < μ2 и рисками σ0 , σ1 , σ2. Задача минимизации риска портфеля σp при заданной ожидаемой доходности портфеля μp будет иметь следующий вид [1]: (1) при ограничениях: (2) где: x0, x1, x2 - доли вложений капитала инвестора в акции; σ12, σ01, σ02 - ковариации между доходностями акций. Если «короткие продажи» акций запрещены, то необходимо добавить ещё условие неотрицательности долей: х0, х1, х2 ≥ 0. (3) В случае когда «короткие продажи» не запрещены, т.е. доли акций в портфеле могут принимать и отрицательные значения, эта задача имеет аналитическое решение [1] для портфеля с произвольным числом акций. При ограничениях (3) Г. Марковицем предложен [2] графический метод решения этой задачи для трёх акций (см. также [3]). В общем случае большого числа акций в портфеле получающаяся задача квадратичного программирования может быть решена известными численными методами [4]. Получим аналитическое решение задачи (1)-(3). 1. Решение задачи оптимизации портфеля без ограничения на неотрицательность долей акций Сначала решим задачу выполнения (1) и (2) без условия неотрицательности (3). Из ограничений (2) находим: , , (4) Так как μ0 < μ1 < μ2, то a > 0, b1 > 0, b2 > 0. Подставим эти представления х1, х2 через х0 в формулу (1), для дисперсии σр2 и для определения безусловного минимума дисперсии σр2 по х0 приравняем её производную нулю: . Из этого уравнения получаем: , (5) , . Подставляя (5) в (4), находим оптимальный состав портфеля при разрешенных «коротких продажах»: , . (6) Из этих соотношений следует, что доли акций оптимальных портфелей являются линейными функциями от μр - ожидаемой доходности портфеля. Дисперсия доходности портфеля (1) при значениях долей акций (6) определяется выражением: , (7) где: , (8) , . Величины С0, С1, С2 не зависят от ожидаемой доходности портфеля μp и определяются характеристиками входящих в портфель акций. Зависимость дисперсии портфеля от μp осуществляется через величину а. Портфель, который имеет минимальный риск для данной его доходности, называется эффективным портфелем. Эффективный портфель имеет также максимальную доходность при заданном риске портфеля. В прямоугольных координатах (σ, μ) эффективные портфели образуют кривую, которая называется границей (линией) эффективных портфелей. 2. Решение задачи при невозможности «коротких продаж» Рассмотрим задачу определения оптимального портфеля из трёх акций для условий, когда «короткие продажи» невозможны. В математической постановке задачи необходимо учитывать условие неотрицательности переменных (3). Выразим переменные х1 и х2, как и выше, через х0 по формулам (4), тогда дисперсия портфеля (1) будет функцией только от одной переменной х0. Необходимо найти минимум этой функции, но переменная х0 уже не может принимать любые значения - следует учесть условия неотрицательности (3). Из представления х1, х2 через х0 (4) следует, что все ограничения будут выполнены, если х0 удовлетворит неравенствам: , , . (9) Учитывая, что a > 0, b1 > 0, b2 > 0, получаем из второго и третьего неравенств (9), соответственно: , ; или , . (10) Согласно принятому выше условию μ0 < μ1 < μ2, имеем: , поэтому все три неравенства (10) можно записать следующим образом: (11) Таким образом, задача сведена к нахождению минимума функции на отрезке (11) значений х0. При любых допустимых значениях μр существуют точки х0, удовлетворяющие неравенству (11). Найдем безусловный минимум этой функции при заданном значении доходности портфеля μp (или а) по формуле (6): . Если величина удовлетворяет неравенству (11), то она является, очевидно, и оптимальным решением задачи с ограничением (3). Пусть , т.е. не удовлетворяет условию (11). Так как - выпуклая функция на всей действительной оси х0, то она будет возрастать при увеличении х0 от своего минимального значения при х0 = х0*. Это возрастание сохранится и на всем отрезке (11) при увеличении х0 от max(H1,0), следовательно, минимальное значение функции будет достигаться на левом конце отрезка (11) при х0 = max(H1,0). Исследуя аналогичным образом случай, когда , находим, что минимальное значение функции будет достигаться на правом конце отрезка (11) при х0 =Н2. Обозначим через оптимальный состав портфеля при соблюдении условий неотрицательности переменных (3). Тогда: , если , если ; , если . (12) Оптимальные значения остальных двух переменных можно найти по формулам (4): , . (13) Дисперсия и риск оптимального портфеля вычисляются по формулам: . (14) Таким образом, задача определения долей акций в эффективных портфелях решена в аналитическом виде для трёх акций с запрещенной операцией «короткая продажа». 3. Уравнение границы эффективных портфелей Из условий неотрицательности переменных и ограничений (2) следует, что доходность портфеля μр может принимать значения в диапазоне от μ0 до μ2, и тогда: . (15) Заметим также, что для неотрицательных долей акций: х0 = 1 при μр = μ0 , (а = 0); х2 = 1 при μр = μ2, (а = b1). (16) Разобьём промежуток (15) на три участка: [0, а-], [а-, а+], [а+, b1]. Точки а- , а+ выберем так, чтобы на отрезке [а-, а+] оптимальное решение (6) при разрешенной операции «короткая продажа» удовлетворяло условиям неотрицательности. В этих точках, очевидно, должна обращаться в 0 одна из переменных оптимального решения (6), а именно: в точке а- - это х2* или х1*, а в точке а+ - х1* или х0*. В точке а- переменная х0* не может равняться нулю, т.к. в этом случае х0* = 0 на отрезке [0, а-], что противоречит (16). Точно так же переменная х2* не может равняться нулю в точке а+. Определим значения а(μр), при которых обращаются в 0 компоненты оптимального решения (6) задачи без ограничения (3): ; . Найдём значения а- и а+. По формулам (5) и (4) при а = 0 (μр = μ0) вычислим: . Если , поэтому а- = а1 - отрицательное значение х1* заменится на 0 . Если , поэтому а- = а2 - отрицательное значение х2* заменится на 0. Значение а- определено. Для определения а+ вычислим оптимальное решение по формулам (5) и (4) при а = b1 (μр = μ2): . Если , поэтому а+ = а1 - отрицательное значение х1* заменится на 0. Если , поэтому а+ = а0 - отрицательное значение х0* заменится на 0. Значение а+ определено. Перейдём к построению границы эффективных портфелей. В принципе эта граница нам уже известна, и для любого значения ожидаемой доходности портфеля μр можно вычислить минимальный риск σр. Но представляет интерес явная зависимость риска от доходности и доходности от риска для эффективных портфелей. Запишем формулу (14) для дисперсии оптимального портфеля при запрете операции «короткая продажа» в матричном виде: . (17) Из соотношений (10), (11) следует, что доли акций в оптимальных портфелях являются кусочно-линейными функциями от а [5] , поэтому можно представить , где векторы не зависят от а на участках . Тогда: . Обозначим: , , ; (18) в результате получаем уравнение границы эффективных портфелей в координатах (а,σ): , или , (19) где: С0, С1, С2 - кусочно-постоянные величины. Найдем явные выражения векторов и постоянных С0, С1, С2 на участках . На отрезке условия неотрицательности х0, х1, х2 не учитываются и оптимальное решение имеет вид (6); постоянные С0, С1, С2 вычисляются по формулам (8). Пусть в точке а- обращается в 0 переменная х2* , т.е. а- = а2, тогда из (12), (13) следует: . (20) Используя это решение в соотношениях (18), определяем соответствующие постоянные , , . (21) Если в точке а+ обращается в ноль координата х0*, т.е. а+ = а0, то при а ≥ а+ будем иметь ((12), (13)): , (22) вследствие чего по формулам (18) вычисляем постоянные в этом случае: , (23) , . Переменная х1* может обращаться в 0 или в точке а- или в точке а+. И при а ≤ а- = а1 или при а ≥ а+ = а1 согласно (12), (13) получим: . (24) Тогда: , , . (25) Таким образом, постоянные С0, С1, С2 определены для любого значения ожидаемой доходности портфеля μр из промежутка [μ0, μ2]. Уравнение (19) представляет собой зависимость между дисперсией (риском) и доходностью эффективных портфелей, т.е. является уравнением границы эффективных портфелей в координатах «доходность-риск». Представляет интерес обратная зависимость максимальной доходности от риска. Из уравнения (19) находим: . Переходя от величины а к доходности μр, получим уравнение границы эффективных портфелей в координатах (σ, μ): . (26) 4. Т-портфель Кроме рисковых активов в портфель может быть включен и безрисковый актив [5], [2]. Безрисковым может считаться актив, доход по которому за данный период является фиксированным. Это означает, что в момент покупки данного актива в начале рассматриваемого периода владения инвестору точно известна его стоимость в конце этого периода (например, вложения на банковский счет, покупка государственных краткосрочных ценных бумаг). Поскольку доходность такого актива за период владения, определяемая простой ставкой μf, является фиксированной, то риск актива σf, определяемый как среднеквадратическое отклонение доходности, будет равен нулю. Пусть инвестор формирует свой портфель как комбинацию из безрискового актива и заданного портфеля активов, включающего только рисковые ценные бумаги. Для краткости будем называть подобные портфели комбинированными портфелями. Обозначим: μf - ставка доходности безрискового актива за один период владения, или безрисковая ставка; хf - доля безрисковых вложений (0≤хf ≤1) и соответственно 1-хf - доля рисковых вложений инвестора; μr, σr2, σr - характеристики рисковой части портфеля инвестора, относящиеся к одному периоду владения. Величина 1-хf характеризует отношение инвестора к риску: чем больше значение 1-хf, тем больше доля рисковых вложений, а значит, больше склонность инвестора к риску. Рассмотрим комбинированный портфель ценных бумаг, в который предполагается включить три акции с ожидаемыми доходностями μ0 < μ1 < μ2 и рисками σ0 , σ1 , σ2 и безрисковый актив с доходностью μf. Задача минимизации риска портфеля σр при заданной ожидаемой доходности портфеля μр будет иметь следующий вид: при ограничениях: (29) где: x0, x1, x2 - доли акций в портфеле, xf - доля безрискового актива; σ12, σ01, σ02 - ковариации между доходностями акций. Если «короткие продажи» акций запрещены, то необходимо добавить ещё условие неотрицательности долей: х0, х1, х2, xf ≥ 0 . (30) Решение этой задачи без соблюдения условий неотрицательности переменных было получено Р. Тобиным [6]. Показано [1], что границей эффективных комбинированных портфелей с безрисковой ставкой μf в системе координат (σ, μ) является отрезок прямой, касательной к границе эффективных рисковых портфелей в точке T(σT, μT) и проходящей через точку (0, μf) на оси μ. Уравнение этой прямой можно записать в виде: . (31) Эффективный рисковый портфель с параметрами (σT,μT) называется Т-портфелем. Уравнение границы эффективных рисковых портфелей в координатах (а,σ) имеет вид (19). Обозначим af = (μf - μ0)/(μ2 - μ1). Из точки на оси абсцисс (аf,0) построим касательную к линии σ = σr(а); обозначим координаты точки касания (аТ,σТ). Имеем: . (32) Используя уравнение (19), находим: . Из последнего уравнения и соотношения (32) получаем: . (33) Таким образом, характеристики (σT,μT) Т-портфеля определены и тем самым определено уравнение (31) границы эффективных комбинированных портфелей. Пусть задана ожидаемая доходность μр комбинированного портфеля. Из уравнения (31) находим его риск σр. Обозначим - оптимальные доли безрискового актива и акций в эффективном комбинированном портфеле с характеристиками (μр, σр). Известно [5], что доли акций в рисковой части эффективного комбинированного портфеля находятся в таких же отношениях, что и в Т-портфеле, т.е. , где N - постоянная. Подставляя эти соотношения в ограничения (29), получаем: (34) и находим оптимальный состав комбинированного портфеля: . (35) Рассмотрим пример применения разработанной методики для расчета оптимального комбинированного портфеля и его характеристик. Пример. Известны характеристики акций: σ0 = 0,025; σ1 = 0,05; σ2 = 0,075; σ01 = 0,000625; σ02 = 0; σ12 = 0,003; μ0 = 0,05; μ1 = 0,15; μ2 = 0,2. Вычисляем: b1 = 3, b2 = 2 (формулы (4)); K0 = -0,21277, K = 0,531915 (5); находим оптимальные доли акций в зависимости от параметра а , когда возможны «короткие продажи» . Перейдем в этих уравнениях к ожидаемой доходности портфеля μр: . Графики этих функций представлены на рисунке 1. При невозможности «коротких продаж» оптимальные решения для различных значений μр вычислены по формулам (12), (13) и представлены на рисунке 2. Определены значения величин: a- = 1,071429 (μp- = 0,103571), a+ = 2,28 (μp+ = 0,164). При 0,05 ≤ μр ≤ 0,103571 оптимальное решение вычисляется по формулам (20), при 0,103571 ≤ μр ≤ 0,164 - по формулам (6) и при 0,164 ≤ μр ≤ 0,2 - по формулам (24). Рисунок 1. Зависимости оптимальных долей акций от ожидаемой доходности портфеля μр при возможности «коротких продаж» Рисунок 2. Зависимости оптимальных долей акций от ожидаемой доходности портфеля μр при невозможности «коротких продаж» Рисунок 3. Границы эффективных портфелей Получены уравнения границ эффективных портфелей, графики которых представлены на рисунке 3 для портфелей с разрешенной операцией «короткая продажа» (Ряд 2) и без неё (х ≥ 0). Выводы Рассмотрен комбинированный портфель с доходностью безрискового актива μf = 0,053212 (af = 0,06424). Находим ожидаемую доходность Т-портфеля: аТ = 2,424; (μТ = 0,1712), вычисляем его риск σТ = 0,057498 и состав . Для заданной доходности комбинированного портфеля μр= 0,093212 из уравнения (34) получаем σр = 0,019453 и . По формулам (35) вычисляем оптимальный состав комбинированного портфеля: . Этот же результат был получен численным методом с помощью надстройки «Поиск решения» программы Microsoft Excel [7].

About the authors

S. I Kozlov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: svtln1941@rambler.ru
Ph.D., Professor; +7 495 686-49-24

N. E Konstantinov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: svtln1941@rambler.ru
+7 495 686-49-24

References

Supplementary files