Email this article Adjusted method of solving the contact problem for an annular layer taking into account the friction forces. Statement 2. A solution of functional equations defining the mathematical model of the contact problem
- Authors: Bozhkova L.B1, Noritsina G.I1, Ryabev V.G1
-
Affiliations:
- Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
- Issue: Vol 8, No 3-4 (2014)
- Pages: 5-9
- Section: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67314
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67314
- ID: 67314
Cite item
Full Text
Abstract
The authors consider two methods of solving a system of two functional equations defining the mathematical model of the contact problem for an elastic layer, taking into account the friction forces in the contact area. The first method is based on replacing the system of functional equations by paired system of linear algebraic equations. The second is based on the orthogonalization of systems of functions. The numerical solution of the problem is also shown in the article.
Full Text
При уточненном методе решения контактной задачи для кольцевого слоя с учетом сил трения в зоне контакта радиальные контактные давления представлены в виде бесконечного ряда : (1) где: ( - модуль упругости слоя), - величина зоны контакта, и - безразмерные неизвестные константы. Для определения неизвестных констант и получена система двух функциональных уравнений : (2) где: , - радиусы кольцевого слоя , - радиус жесткого цилиндра, с которым контактирует упругий слой (3) - коэффициент трения, , и - некоторая последовательность чисел . Анализ последовательностей чисел и показал, что последовательность чисел стремится к некоторому числу ( , - коэффициент Пуассона упругого слоя), а последовательность чисел стремится к числу . Это позволило улучшить сходимость рядов, входящих в (3), и придать им к следующий вид: (4) где: - некоторая затабулированная функция, - интегральный синус . Как следует из (1) для определения закона распределения радиальных контактных давлений при любом угле необходимо знать две группы констант и , которые входят в систему двух функциональных уравнений (2). Названные константы можно определить двумя способами: либо путем замены системы функциональных уравнений парной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений, либо методом ортогонализации систем функций. Вначале охарактеризуем метод замены системы двух функциональных уравнений (2) парной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений. С этой целью необходимо выбрать полную систему функций на отрезке , затем умножить обе части функциональных уравнений (2) на функции этой системы и интегрировать их в указанных пределах. В результате получим: (5) где: (6) В качестве системы функций была выбрана система , являющаяся полной на отрезке . Парную систему линейных алгебраических уравнений (5) можно решать либо методом последовательных приближений, либо методом редукции. Рассмотрим теперь способ определения констант и , основанный на построении ортогональных систем функций по заданным системам функций. С этой целью построим прежде всего ортогональную систему функций на базе системы функций : , (7) где: есть « ый» элемент некоторой обратной матрицы . При этом элементы матрицы определяются по формулам: (8) Из первого уравнения системы (2) следует: . (9) На основании (7) и (9) получаем: (10) (11) где: . (12) Подставим (11) в (10), предварительно поменяв в (10) индекс на , а индекс на . В результате получим: (13) где: . (14) Из второго уравнения системы (2) следует: . (15) Подставив (13) в (15), предварительно поменяв в (13) индекс на и наоборот, получим: (16) где: . (17) Для определения постоянных нужно построить ортогональную систему функций на базе системы функций : , (18) тогда: , (19) где: . (20) При этом есть « ый» элемент обратной матрицы , а элементы матрицы определяются по формулам: (21) Таким образом, получены соотношения (7) - (21), с помощью которых можно вычислить все неизвестные константы и при заданном угле и, следовательно, определить закон изменения радиальных контактных давлений по формуле (1). На рисунке 1 показан закон изменения радиальных контактных давлений , полученный при приближенном (пунктирная линия) и уточненном (сплошная линия) методах решения контактной задачи в случае несжимаемого материала и при ; ; . Рисунок 1. Изменение радиальных контактных давлений Анализ численного решения задачи показал, что расхождение между законами изменения радиальных контактных давлений , полученных на основании приближенного и уточненного методов решения, увеличивается с ростом коэффициента трения .×
About the authors
L. B Bozhkova
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
Email: tm@mami.ru
Dr. Eng., Prof.; +7 495 223-05-23
G. I Noritsina
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
Email: tm@mami.ru
Ph.D.; +7 495 223-05-23
V. G Ryabev
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
Email: tm@mami.ru
Ph.D., Prof.; +7 495 223-05-23
References
- Божкова Л.В, Норицина Г.И., Рябов В.Г. Уточненное решение контактной задачи для кольцевого слоя с учетом сил трения. Сообщение I. Математическая модель контактного взаимодействия кольцевого слоя с жестким основанием. Известия МГТУ «МАМИ», № 1(19), 2014, с. 11-18.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978, 831 с.
Supplementary files
