Flow of thin layer of plastically anisotropic material on face of elastic parallelepiped

详细

The paper presents the statement and study of the problem of the flow of a thin layer of plastically anisotropic material on a face of an elastic parallelepiped formulated in the framework of the theory of flow in a thin layer generalized to the case of anisotropy.

全文:

Процессы пластического течения в тонком слое металла обладают рядом особенностей, в частности, для них характерны высокие удельные давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. Возникающие под их действием, а также вследствие конечной жёсткости инструмента деформации, достигают величин, соизмеримых с толщиной обрабатываемой детали. А значит, неучёт этих деформаций при проектировании технологической оснастки может отрицательно сказаться на получении детали в точности заданной геометрии. Кроме того, важная в практических приложениях проблема течения тонких пластических слоев в условиях анизотропии свойств материала и контактного трения на сегодня практически не исследована. В представленной работе приводится постановка и решение задачи течения тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда. Предположим, что оба инструмента обладают одинаковыми физическими свойствами и геометрией, тогда можно допустить, что при сближении инструментов срединная плоскость слоя остаётся неизменной, что позволяет вследствие симметрии процесса рассматривать течение слоя вдвое меньшей толщины, ограниченного снизу упругим инструментом, а сверху - абсолютно жёстким телом [1, 2] (рисунок 1). Рисунок 1. Общая схема процесса Соотношение, определяющее контактное давление [1, 7]: , (1) где: - предел текучести материала пластического слоя на сдвиг, - параметр анизотропии. Граничные условия для (1) определяются из следующих соображений: если контур свободен от внешних воздействий ( ), то ; если граница является пазом, так что в него может свободно втекать металл слоя, а ширина паза порядка или меньше толщины слоя , то приближённым условием свободного втекания будет [1, 5, 7]. В общем случае запишем: , (2) где: - множитель порядка единицы, - точки, принадлежащие фиксированному контуру . Толщина слоя в выражении (1) определяется при общей постановке задачи в процессе решения; в простейшем варианте, когда известна функция жёсткости тела инструмента, для имеем: . (3) Определение функции влияния для произвольного упругого трёхмерного тела представляет собой самостоятельную трудную задачу, поэтому для нахождения ставится задача теории упругости для тел инструментов. Запишем основные её соотношения, которыми определяется напряженно-деформируемое состояние тела инструмента. Формулы Коши: (4) Соотношения Ламе: (5) Уравнения равновесия в форме Ламе: (6) здесь: ∆ - оператор Лапласа, . С учётом допущения об идентичности свойств тел инструментов представим схематично геометрию процесса течения. На рисунке 2 изображена «нижняя» его часть, а «верхняя» отсечена плоскостью симметрии . Рисунок 2. Модель технологического процесса Запишем граничные условия задачи теории упругости: (7) Здесь в области, занятой слоем, касательные напряжения приняты равными нулю, так как их влияние на нормальные перемещения контактных поверхностей существенно меньше, чем нормальных, следовательно, с точностью до величин порядка ими можно пренебречь [5]. С помощью соотношений Ламе (6) граничные условия (7) можно записать в перемещениях: (8) Таким образом, краевая задача для определения давления в слое и его толщины поставлена полностью: если учесть, что , то задача сводится к совместному решению системы уравнений теории упругости (7), (8) и уравнений течения (1), (2). Как видно, это совокупность сложных нелинейных взаимосвязанных уравнений, полное исследование которой возможно только современными численными методами. Используем для исследования задачи метод последовательных приближений [5, 8, 9], принимая тот факт, что замена переменной в (1) вида приводит к математически тождественной задаче, решение которой представлено в [10]. Ниже представлены результаты проведенных расчетов для различных значений параметров задачи в прямоугольной и эллиптической областях (рисунок 3). Рисунок 3. Области течения Рисунок 4. Результаты счета для прямоугольной области ( ) Рисунок 5. Результаты счета для прямоугольной области ( ) Рисунок 6. Результаты счета для эллиптической области ( ) Представленные результаты показывают, что 5-ое приближение (а для некоторых задач уже 2-ое и 3-е) можно считать точным решением в рамках данной постановки. На рисунке 7 представлен вид функции давления в 5-ом приближении в сечении плоскостью для относительных толщин , и параметра , , . Рисунок 7. Сравнение результатов решения задачи для различных параметров Сечение функции давления плоскостью для различных значений параметра анизотропии. Выводы 1. Установлена фактическая сходимость метода последовательных приближений, предложенного для решения системы интегро-дифференциальных уравнений. 2. Характер поверхности перемещений качественным образом не зависит от параметров задачи. 3. Значение параметра анизотропии может оказать существенное влияние на скорость сходимости метода, поскольку влияет на распределение давления в слое, тем самым подтверждаются полученные ранее результаты исследований - увеличение давления приводит к снижению скорости сходимости метода. Очевидно, первое приближение является грубым, но второе, для ряда значений параметров задачи, может дать довольно точную оценку величины упругих перемещений контактных поверхностей инструмента. 4. Обнаружено, что для ряда параметров решение задачи течения тонкого слоя по грани упругого параллелепипеда эквивалентно решению задачи о течении тонкого слоя по поверхности упругого полупространства.