Bending and oscillations of plates

Full Text

Предисловие Несколько лет тому назад Александр Порфирьевич Шмаков обратился ко мне с предложением обсудить идею о том, чтобы построить теорию деформаций пластин без привлечения дополнительных гипотез, а опираясь только на соотношения классической теории упругости. Я согласился, поскольку давно знал Александра Порфирьевича как первоклассного специалиста, глубоко понимающего теорию и методы классической упругости. Спустя некоторое время мы обсудили вариант первой части работы, я занялся ее редактированием; А.П. готовил вариант второй части, будучи в не лучшем физическом состоянии. К сожалению, судьба распорядилась так, что вскоре после того, как я получил черновой вариант второй части работы, Александра Порфирьевича не стало. Я посчитал своим долгом работу завершить: заново отредактировал первую часть, дополнил вторую, стараясь по возможности сохранить стиль изложения А.П.; насколько это получилось, пусть судит читатель. Работа состоит из двух частей. Первая часть содержит математическую модель деформации пластин, которая включает в себя задачи растяжения-сжатия и изгиба. Основой для рассмотрения служат уравнения динамического равновесия, записанные для выделенной области упругого тела в недеформированном состоянии. Вводится понятие кинематически эквивалентных перемещений, два тензора и вектор деформаций. Из закона Гука, записанного в форме Ламе, выводятся тензор и вектор напряжений, а также тензор моментов. Из теоремы об изменении кинетической энергии, записанной для выделенной области, выводятся граничные условия и смысл введенных векторов и тензоров как обобщенных перемещений и сил, соответственно. Формулируется математическая модель деформации пластин, содержащая уравнения движения, определяющие соотношения и граничные условия; задачи растяжения-сжатия и изгиба оказываются, естественно, разделенными. В дальнейшем изложении внимание уделяется задаче изгиба; доказано, что если решение уравнений математической модели изгиба существует, то оно единственно. Во второй части приведены некоторые приложения развитой теории, примеры и задачи динамики. Из уравнений совместности (аналог тождествам Сен-Венана) с привлечением уравнений равновесия получена полная система уравнений статического изгиба пластины; в случае, когда пластина изгибается только воздействиями по контуру, построено общее решение этой задачи. Приведено также общее решение задачи в перемещениях. Приведены примеры задач изгиба круговой пластины (осесимметричная задача), полосы (цилиндрический изгиб), прямоугольной пластины. Дано сравнение с результатами классической теории. Показано, что прогибы и касательные напряжения в предложенной теории обнаруживают существенную зависимость от коэффициента Пуассона; наоборот, нормальные напряжения различаются незначительно. В тестовых динамических задачах (собственные колебания полосы и прямоугольной пластины, флаттер полосы при продольном и поперечном обтекании) обнаружен один и тот же результат: частоты собственных колебаний и критические параметры флаттера (частота и скорость потока) в большей степени зависят от коэффициента Пуассона, нежели в классической теории. Предложенный вариант математической модели изгиба пластин нуждается в более широком сравнении с уже имеющимися; разумеется, лучшая проверка - это сравнение с решениями классов задач по трехмерной упругости, при современном развитии вычислительной техники это вполне возможно. Пожелания и отзывы, в том числе критические, будут с благодарностью приняты. Часть I. Математическая модель 1. Интегральная форма уравнений движения В классической теории упругости (малые деформации и перемещения) отсчетная и актуальная конфигурации считаются неразличимыми, поэтому уравнения движения однородной среды принимают вид: , (1.1) они дополняются условиями симметрии: , (1.2) и соотношениями: , (1.3) которые выражают компоненты вектора напряжений Т на площадке с нормалью . Выделим в теле произвольную область с границей и проинтегрируем по этой области уравнения (1.1): . С учетом равенства: , будем иметь: , . (1.4) Запишем это уравнение в векторном виде: . (1.5) Домножим теперь уравнения (1.1) на и проделаем элементарные преобразования, получим: . Проинтегрировав по с использованием формулы Гаусса-Остроградского, будем иметь: . Эти уравнения эквивалентны одному векторному: . (1.6) Таким образом, из уравнений движения (1.1) при условиях (1.2) и (1.3) следуют интегральные соотношения (1.5) и (1.6) - необходимые условия динамического равновесия, дополненные условиями (1.3). Можно показать, что из этих условий следуют уравнения (1.1) и условия (1.2) во всех внутренних точках тела. 2. Уравнения движения пластины в дифференциальной форме В декартовой системе координат с трехгранником тонкая упругая пластина занимает область, ограниченную плоскостями и боковой цилиндрической поверхностью с направляющей , лежащей в срединной плоскости ; контур ограничивает область . Лицевые поверхности обозначим, соответственно, и . Очевидно, область становится произвольной. В дальнейшем будут использованы соотношения ( - некоторые функции от ): Компонентами вектора будут: , здесь: - полностью антисимметричный объект (символ Леви-Чивита); , поэтому определены и все остальные. Запишем уравнения (1.5), (1.6) в проекциях на оси координат: , , (2.1) здесь: - вся поверхность выделенной в пластине области . При вычислении интегралов (2.1) учтем соотношения . Из первого уравнения (2.1) имеем: , . Теперь первое уравнение из (2.1) принимает вид: . Это уравнение должно выполняться для любой произвольной области в пластине, значит подынтегральное выражение должно обращаться в ноль при всех : . (2.2) Рассмотрим теперь второе уравнение из (2.1): . Выделяя в подынтегральных выражениях слагаемые с , получаем: , . Значит, . (2.3) Здесь присутствуют четыре интеграла, вычислением которых и займемся. , , , . Согласно (2.3) должно быть: , . Подынтегральное выражение в квадратных скобках в первом слагаемом обращается в ноль в силу первых трех уравнений движения (2.2), и потому: . Первое слагаемое имеет вид , где: - это интеграл. Но: , так как . Значит, предыдущее равенство имеет вид: . Далее: , и потому предыдущее равенство принимает вид: . (2.4) При второе слагаемое в (2.4) обращается в ноль и мы получаем: . Обозначим интеграл через , тогда: . Полагая и , получаем , т.е. . Вследствие произвольности отсюда следует: . (2.5) При первое слагаемое в (2.4) обращается в ноль и потому: . С учетом равенства из последнего выражения получаем: . Следовательно, при всех имеем: . (2.6) Непосредственно отсюда равенство не следует, к нему мы вернемся позже. Окончательно из (2.2) и (2.5) получаем: , , (2.7) . Эти уравнения, дополненные начальными и краевыми условиями, составляют математическую модель движения пластины. Подчеркнем, что они получены строго математически из принципа динамического равновесия без привлечения дополнительных гипотез типа обобщенного напряженного состояния или кинематических. Система (2.7) - это еще не теория пластин, в том смысле, что она не содержит соотношений для определения полного напряженно-деформированного состояния пластины. Как видно, в систему (2.7) не входят напряжения при ; они входят в нее только как дополнительные массовые силы и моменты через свои значения на границах ; по этой причине соотношения упругости при для исследования системы (2.7) использовать нет необходимости, оставшиеся соотношения из закона Гука запишем в виде: , , . (2.8) В таком виде они приемлемы, так как относятся к внутренним напряжениям, действующим в пластине; тем самым условие симметрии выполнено. 3. Перемещения и напряжения в точках пластины Введем обозначения интегралов, входящих в уравнения движения (2.7): , , (3.1) . Таким образом, каждому полю перемещений соответствуют единственные значения и . Наоборот, если заданы и , то полностью восстановить вектор перемещения нельзя. Действительно, общее решение уравнений (3.1) имеет вид: , , (3.2) где: - вектор, удовлетворяющий условиям: . (3.3) Векторы и , определенные при , будем называть кинематически эквивалентными, если они удовлетворяют условиям: . Значит, вектор будет кинематически эквивалентен нулевому вектору. Сохранение слагаемого в выражении для никак не отразится в последующих вычислениях в силу условий (3.3). Поэтому в выражении для это слагаемое опускаем: , (3.4) помня при этом, что фактически это вектор только кинематически эквивалентен истинному вектору перемещения. Значит, закон движения для пластины имеет вид: , причем и при и можно выяснить механический смысл вектора и его компонент . Подставим выражения для интегралов из (3.1) в уравнения движения (2.7): , , (3.5) . Появились тензоры с компонентами: , (3.6) и вектор с компонентами: . (3.7) С учетом этих обозначений уравнения движения принимают окончательный вид: , , (3.8) . Отметим, что величины и являются основными неизвестными задачи. Все остальные величины, которые уже появились и которые появятся, должны выражаться через них. 4. Теорема об изменении кинетической энергии пластины Пусть основания пластины являются свободными и массовых сил нет, тогда уравнения движения становятся однородными: , , . (4.1) Предположение сделано для краткости при проведении выкладок, это не повлияет на выводы, которые будут сделаны. Первое уравнение свернем с , второе домножим на , третье - свернем с и результаты сложим; получим: . Здесь точкой обозначено дифференцирование по . Выделим в левой части этого равенства дивергентную составляющую. Так как то будем иметь: , , и потому: . (4.2) Обозначим , тогда получим: . Пусть - объем всей пластины и - площадь срединной плоскости, отсекаемая боковой поверхностью. Через обозначим плоский контур, ограничивающий , через - внешнюю нормаль к и через - длину на . Интегрируя предыдущее равенство по и используя формулу преобразования интегралов , получим: . В этом равенстве - кинетическая энергия пластины, мощность внутренних напряжений в пластине; работа (в единицу времени) обобщенных сил на контуре. Значит, обобщенными силами, действующими на контуре и совершающими работу, являются выражения: . (4.3) Величины и являются компонентами двух симметричных тензоров и второго ранга на плоскости ; согласно тензорному исчислению, их свертки: и , с вектором на плоском контуре образуют векторы и , лежащие в плоскости : . Нормальная составляющая вектора момента : , называется скручивающим моментом, а касательная составляющая : , где: - натуральное уравнение , называется изгибающим моментом. Величина на называется перерезывающей (или поперечной) силой. Тензор будем называть тензором напряжений, а тензор - тензором моментов напряжений в пластине. Если в трехмерной задаче на боковой поверхности пластины задан вектор напряжения, то граничные условия имеют вид: . (4.4) Интегрируя эти соотношения по толщине и учитывая, что не зависят от , получаем: , . Эти условия принимают вид: , . (4.5) Умножая первые два условия из (4.4) на и интегрируя по толщине, получаем: , . (4.6) В этом случае условия (4.5) и (4.6) и будут граничными условиями на контуре пластины (их пять). Если же на боковой поверхности задан вектор перемещения: (не путать с (3.2),(3.3), то граничные условия на контуре пластины будут такими (их также пять): , , . Мы рассмотрели два типа краевых условий, однако возможны и другие, смешанные. Из выражения для мощности внутренних напряжений в пластине следует, что величины: , (4.7) определяют скорости деформации пластины. Интегрируя эти соотношения и учитывая, что при , получим деформации пластины. Таким образом, деформация пластины определяется двумя симметричными тензорами второго ранга и вектором с компонентами . Примечание: Рассмотрим малые пространственные перемещения тела как абсолютно твёрдого или в компонентах: . В этом случае: . Для пластины по формулам (3.1) находим: , и поэтому . Итак, для пластины введены обобщённые перемещения и обобщенные напряжения и , которые должны удовлетворять уравнениям движения; введены величины и , определяющие деформированное состояние, поставлены также краевые условия. Для замыкания системы уравнений не хватает соотношений: , определяющих упругое поведение пластины. 5. Определяющие соотношения; замкнутая система уравнений Так как перемещения определяются по формулам (3.4): , (5.1) то деформации будут равны: , . (5.2) Соотношения (2.8) теперь уточняются: , и принимают вид: . (5.3) Значит, , . Отсюда получаем определяющие соотношения: (5.4) Итак, замкнутая система уравнений имеет вид: , , , , , (5.5) . Исключая из первых двух уравнений движения , получаем: , . Исключая из оставшихся трех уравнений движения (5.5) величины и , получаем: , . Как видим, система уравнений разбивается на две подсистемы и , причем это же происходит и с граничными условиями. В дальнейшем сосредоточим внимание на задаче изгиба пластин. 6. Математическая модель изгиба Рассмотрим задачу о статическом изгибе пластины под действием нормальной нагрузки и при . Система уравнений примет вид: ; . Запишем ее в перемещениях: , (6.1) . (6.2) Исключив из этих уравнений , получим первое из основных соотношений: , (6.3) второе основное соотношение - это уравнение (6.2): . (6.4) Отсюда следует ; после этого из (6.3) находим: . (6.5) Это уравнение существенно отличается от основного уравнения классической теории изгиба пластин: в нем есть второе слагаемое и нет привычной всем цилиндрической жесткости. Если условно в (6.5) изгибной жесткостью посчитать обратную величину коэффициента при , то получим отношение: . Это отношение может заметно превышать единицу. Недостающие уравнения для определения вектора получаются из системы (6.1): . (6.6) Система (6.5), (6.6), дополненная граничными условиями, которые известным образом выражаются через и , составляют математическую модель статического изгиба пластин. Чтобы завершить теорию изгиба, необходимо определить полное напряженно-деформированное состояние пластины. Для этого следует воспользоваться выражениями (3.2) для полного вектора перемещений (при ) и составить уравнения равновесия в форме Ламе; решение этой неоднородной системы относительно функций и следует подчинить реальным граничным условиям на поверхности пластины и условиям (3.3) кинематической эквивалентности нулю. Замечание. Этой задачей мы заниматься не будем; отметим лишь, что аналогично тому, как это делается в классической теории, могут быть получены выражения для касательных напряжений : . Через обозначены перерезывающие усилия, отнесенные к толщине пластины. 7. Краевая задача, единственность решения Состояние статического изгиба пластины определяется уравнениями ; (7.1) ; ; (7.2) . Параметры введены соотношениями: , в которых - вектор перемещений. Система (7.1), (7.2) дополняется краевыми условиями на контуре ; в зависимости от вида условий могут быть сформулированы следующие задачи: 1. задача в перемещениях - на заданы ; 1. задача в напряжениях - на заданы и , при этом ; 2. первая смешанная задача - на Г заданы ; 3. вторая смешанная задача - на Г заданы ; на разных частях Г могут быть заданы различные из перечисленных выше условий. Допустим, что имеется два решения какой-либо из краевых задач 1 - 4; разности этих решений удовлетворяют соотношениям (7.2) однородным уравнениям равновесия: , (7.3) и однородным граничным условиям. Предварительно выведем интегральное равенство, которое следует из (7.3) и одного из однородных граничных условий. Первое из уравнений (7.3) свернем с , второе домножим на и результаты сложим, получим: . (7.4) Выделим в этом уравнении дивергентную часть и учтем, что вследствие симметрии моментов будет ; из (7.4) получим: . Проинтегрируем это равенство по области , занятой пластиной, будем иметь: . (7.5) В любой из краевых задач, отмеченных выше, выражение под знаком интеграла справа равно нулю, поэтому из (7.5) последует необходимое интегральное равенство: . (7.6) С учетом соотношений (7.2) выражение под интегралом в (7.6) примет вид: . (7.7) Обозначим - инварианты тензора , тогда , поэтому (7.7) примет вид: . Следовательно, A - квадратичная форма с положительными коэффициентами, т.е. A - положительно определенная квадратичная форма: . Равенство (7.7): , возможно поэтому лишь при условии, что в каждой точке пластины . Это влечет за собой равенства , откуда следует, что , . Доказано, таким образом, что решения начально-краевых задач 1 - 4 определяются единственным образом, если они существуют. Замечание. В работе [2] предложен вариант теории пластин, основанный на известных гипотезах (автор называет их физическими): первая относится к перемещениям и по существу совпадает с аппроксимацией Генки ; вторая устанавливает малость напряжения по сравнению с напряжениями . Далее, как отмечает автор, уравнения равновесия пластины стандартными преобразованиями приводятся к трем уравнениям относительно трех функций: и . Эту систему (вместе с граничными условиями) следовало бы, по нашему мнению, выписать и проанализировать. Вместо этого предлагается привести систему к виду, аналогичному уравнениям Рейсснера. Исключение из уравнений равновесия приводят к соотношению (аналог (6.3)): . Далее цитируем: «Структура этого уравнения показывает, что введением потенциальной функции такой, что , его можно привести к следующей форме: ». Это утверждение ошибочно, поскольку противоречит известной из анализа теореме: векторное поле тогда и только тогда имеет потенциал, когда оно безвихревое. Но при произвольной нагрузке и граничных условиях будет, вообще говоря, выполняться неравенство , а это означает, что векторное поле не может быть потенциальным. Хорошо известно, однако, что любое векторное поле может быть представлено суммой потенциального и соленоидального; в нашем случае двухмерного вектора имеем: . (7.8) Из уравнений (7.1) последует: , . Откуда получаем соотношения: , , в которых - произвольные гармонические функции. В аналогичных уравнениях работы [2], вследствие некорректных математических построений, вместо функций стоят постоянные, которые затем полагаются равными нулю. Вопрос об определении функций в каждом конкретном случае должен решаться отдельно; полагать их заранее равными нулю нам представляется необоснованным, более того, они могут оказаться необходимыми при определении полного вектора перемещений. В свете высказанных соображений заявление автора [2] о том, что его работа «…посвящена обоснованию теории, которую предлагается считать современной формой классической теории пластин», оказывается преждевременным. Часть II. Некоторые методы исследования; примеры Выведены уравнения совместности (тождества, их два) деформаций в задаче об изгибе пластин (по аналогии с тождествами Сен-Венана в линейной теории упругости). Получена полная система уравнений статического изгиба; для случая, когда пластина изгибается только воздействиями по контуру, сформулирована задача в напряжениях. Представлено общее решение задачи в перемещениях. Приведены примеры статического изгиба пластин, выяснено влияние коэффициента Пуассона; выявлены параметры подобия и условия моделирования. Рассмотрены некоторые задачи свободных колебаний, а также панельного сверхзвукового флаттера в рамках поршневой теории 1. Условия совместности; задача в напряжениях Запишем основные соотношения теории изгиба пластин : ; . Отсюда имеем: , поэтому . Из двух последних соотношений получаем: . Далее имеем: . Из последних трех соотношений окончательно получаем: . (1.1) Таким образом, получено два уравнения совместности (тождества) деформаций в задаче об изгибе пластины. Выразим деформации и через моменты и перерезывающие силы . Из выражений для моментов имеем: . Отсюда следует: , поэтому окончательно получим: . Примем во внимание очевидные равенства: , и подставим все в соотношение (1.1). Получим: . (1.2) Теперь это два уравнения, связывающие между собой вектор и тензор . Введем обозначения , , тогда система уравнений изгиба примет при этом вид: . (1.3) С учетом этих соотношений уравнения (1.2) преобразуются: . (1.4) Таким образом, получена полная система уравнений статического изгиба пластины. Рассмотрим случай, когда пластина изгибается воздействиями по контуру; система (1.3), (1.4) запишется в виде: , (1.5) . (1.6) Положим: , (1.6 ) . Введенные функции считаем пока произвольными. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что уравнения (1.5) при этом обращаются в тождества; оставшиеся уравнения (1.6) принимают вид: , . Введем обозначения: . (1.7) Из предыдущих уравнений следует, что функции и удовлетворяют условиям Коши-Римана: , следовательно, они являются сопряженными гармоническими функциями: . Таким образом, для определения и имеем систему уравнений: ; . (1.8) Функция F удовлетворяет неоднородному уравнению Гамильтона; поскольку - гармоническая функция, его частным решением будет ; общее решение, следовательно, имеет вид: . В результате система (1.8) примет окончательную форму: ; ; (1.8 ) . Эту систему удобно записать в комплексном виде. Домножим второе уравнение из (1.8 ) на и вычтем из первого. После известных преобразований получим: , , выразим из второго уравнения и подставим в первое, будем иметь: . (1.8 ) На основании уравнений (1.8) можем написать: , тогда произвольную аналитическую функцию можно записать в виде: . Из последних двух равенств следует: ; , и окончательно: . Подставим это выражение в (1.8 ), получим: . После интегрирования отсюда последует: , (1.10) здесь: - произвольная аналитическая функция. Из первой формулы (1.8 ) и формулы (1.9) нетрудно получить: . (1.11) Эта формула будет использована при формулировке граничных условий, которые имеют вид: , здесь: - известные на контуре функции от длины дуги. Подставим сюда выражения и через , получим: , (а) , (в) . (с) Подставим в (в) вместо выражение , аналогично в (с) заменим на выражение , в результате граничные условия (а), (в), (с) примут вид: , , . Обозначим - единичный вектор касательной, повернутый по отношению к против часовой стрелки; - угол, образуемый вектором с осью . Тогда: . Пусть - натуральные уравнения контура, тогда будем иметь: , поэтому: . Граничные условия теперь можно переписать в интегрируемой форме: , , . Эти уравнения можно преобразовать на основании соотношений: , . В результате имеем: , , . Интегрируя эти равенства по замкнутому контуру , придем к необходимым условиям равновесия: , здесь: . Теперь, зная на контуре значения функций и , можно сформулировать граничные условия для функций и . Из (1.10) и (1.11) получим: . Таким образом, сформулирована краевая задача для однородной системы (1.5), (1.6). Запишем выражения для функций в действительной форме и положим: . Из формул (1.10) тогда получим: , . Учтем соотношения: , и введем функцию , положив . После этого из формул (1.12) окончательно получим: , , , (1.13) . 2. Определение перемещений По формулам (1.6 ) и (1.13) предыдущего параграфа вычислим и . Подставив сюда предыдущие выражения, получим: , . После интегрирования из первых двух уравнений найдем (с точностью до поворотов пластины как жесткого целого): , . Третье уравнение, как нетрудно убедиться, выполняется тождественно. Далее имеем: . Подставив сюда выражения (2.1) и (2.2), после очевидных преобразований получим: , . Введем функцию , сопряженную с , так что : , тогда последние уравнения могут быть представлены в форме: ; следовательно, с точностью до перемещений пластины, как жесткого целого, можем принять: . 3. Некоторые примеры В качестве первого примера рассмотрим задачу об изгибе круглой пластины под действием равномерной нагрузки. В плоскости пластина занимает область , она нагружена перепадом давлений ; о граничных условиях сказано ниже. Задачу будем решать в перемещениях, для чего воспользуемся уравнениями (6.3),(6.4) из части I, при этом полную толщину пластины обозначим . Уравнения имеют вид: , . В полярной системе координат при осевой симметрии оператор Лапласа имеет вид: , где штрих обозначает производную по , поэтому предыдущая система запишется в виде: , . Последовательно проинтегрируем каждое из этих уравнений, получим в результате: , . Решение должно быть ограничено в начале координат , поэтому полагаем ; окончательно для и получим выражения: , (3.1) . (3.2) Для формулировки граничных условий понадобится вектор ; примем для него представление и составим уравнение : с учетом выражения (3.1) получим для уравнение: . Ограничение при решение этого уравнение имеет вид: . (3.3) Итак, прогиб и вектор определены с точностью до двух постоянных и , которые находятся из граничных условий. Рассмотрим два случая: заделка, шарнирная опора. а. Край жестко закреплен: . Последнее условие будет выполнено, если ; из выражения (3.3) находим . Подставим это в (3.2) и выполним условие ; определим : . Окончательно для прогиба будем иметь: . Подставим сюда значения параметров и , выразив предварительно константы Ламе и через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона , получим: . (3.4) Заметим, что второе слагаемое имеет порядок по отношению к первому и в случае достаточно тонких пластин им можно пренебречь. Для сравнения запишем формулу «классической» теории: . Отношение по главному слагаемому в (3.4) будет равно: . Как видно, оно существенно зависит от коэффициента Пуассона . б. На границе выполнено условие шарнирной опоры. Это первая смешанная краевая задача, на границе заданы нулевые значения вектора и перемещения ; при этом - компоненты вектора внешней нормали к контуру, в нашем случае . Выпишем тензор : . Граничные условия теперь запишутся следующим образом: , (3.5) , . (3.6) Образуем выражения , пользуясь выражением (3.3) и формулами ; подставив все в (3.6), легко убедимся в том, что оба равенства сведутся к одному, из которого определится постоянная интегрирования : . Подставим это значение в формулу (3.2) и выполним условие . Определим отсюда : . Подставим в выражение (3.2) значения параметров и и найденных констант ; получим окончательно: . (3.7) Как и в первом случае обнаруживаем, что второе слагаемое имеет порядок по сравнению с первым. Для сравнения приведем формулу «классической» теории: . Предварительно выразив в (3.7) и через и , получим (по первому слагаемому в (3.7)): . Здесь принято: . Из второго уравнения (3.9) определим и подставим в первое. В результате получим: . Дважды интегрируя, будем иметь: . Отсюда находим : . Из второго уравнения (3.9) определим и проинтегрируем, найдем: . Произвольные постоянные находятся из граничных условий, которые могут быть произвольными. В третьем примере рассмотрим изгиб прямоугольной пластины, шарнирно опертой по краям. В плоскости пластина занимает область , толщину пластины обозначим . Условия шарнирной опоры - это первая смешанная задача. Уравнения изгиба и граничные условия имеют вид: , (3.10) ; ; . (3.11) В дальнейшем изложении будем использовать безразмерные координаты, отнесенные к , прогиб, отнесенный к , и параметр , отнесенный к ; оставим за ним прежние обозначения. Примем, что нагрузка распределена по закону , а кинематические параметры представлены формулами: , , тогда граничные условия (3.11) при этом удовлетворяются, а из (3.10) определяются : , (3.12) , (3.13) . (3.14) Определим напряженное состояние ; из соотношений Ламе, пользуясь выражениями (3.12)-(3.14) с сохранением в них главных слагаемых, получим: , , (3.15) , здесь обозначено . Для сравнения приведем соответствующие выражения для и , которые следуют из классической теории: , (3.16) , , (3.17) . Из сравнения (3.16) и (3.12) по главному слагаемому получаем: . Из сравнения (3.17) и (3.15) следует: . В частности в прямоугольной пластине имеем: . Как видно из примеров, прогибы и касательные напряжения пластины, определяемые по развитой теории, существенно зависят от коэффициентов Пуассона и больше, чем доставляемые классической теорией. Нормальные напряжения слабо зависят от и мало отличаются от таковых в теории Киргоффа-Лява. Замечание. Приведенное решение очевидным образом обобщается на случай нагрузки, представляемой рядом: . 4. Колебания и флаттер Запишем уравнения свободных колебаний пластины ( обозначает полную толщину): , (4.1) . Из первого уравнения, выполнив дифференцирование, получим: . (4.2) Второе из уравнений (4.1) продифференцируем по , третье - по и сложим, будем иметь: . (4.3) На основании (4.2) это уравнение может быть представлено в виде: . (4.4) Обозначим и положим , ; из (4.2) и (4.4) получим: , (4.5) . (4.6) Примем и подставим во второе уравнение (4.1), будем иметь: . (4.7) Если общее решение системы (4.5), (4.6) относительно найдено, то уравнения (4.7) служат для определения . При однородных граничных условиях получаем, таким образом, задачу о собственных значениях. Систему (4.5) - (4.7) можно привести к другому виду. Как и в первой части работы, положим: , здесь: - функции координат . Будем иметь: . (4.8) Подставив первое из этих уравнений в (4.5), получим: . (4.9) Аналогично предыдущему из (4.7) будем иметь: . (4.10) Здесь - произвольная гармоническая функция. Первое из уравнений (4.7) продифференцируем по , второе - по и вычтем одно из другого, придем к уравнению: , (4.11) здесь: - также произвольная гармоническая функция. Окончательно, таким образом, имеем три уравнения (4.9) - (4.11) относительно трех функций ; заметим, что уравнение (4.11) относительно выделяется. Уравнения (4.10), (4.11) могут быть упрощены, если принять во внимание следующие оценки. В реально используемых металлических пластинках , при этом , поэтому имеем : . Уравнения (4.10), (4.11) можно поэтому в первом приближении записать в виде: , (4.12) . (4.13) Рассмотрим примеры. Пример 1. Колебания полосы при цилиндрическом изгибе. Полоса занимает область . Уравнения движения примут вид ( : , (4.14) . Отнесем координату к , оставив за ней прежнее значение, примем ; после подстановки в (4.14) получим: , (4.15) , здесь приняты обозначения . На краях полосы примем условия шарнирной опоры: . Решение системы (4.15) при этом может быть принято в виде: . Подставив это в (4.15), получим: , . Определитель этой системы, приравненный к нулю, доставляет характеристическое уравнение: , (4.16) здесь обозначено . Запишем дискриминант уравнений (4.16): . (4.17) При обычных значениях и вплоть до будем иметь , что позволяет разложить в быстро сходящийся ряд: . (4.18) Уравнение (4.16) имеет решением выражение: . Физическому смыслу задачи отвечает знак минус перед корнем. С учетом (4.18) окончательно получим: . (4.19) Видно, что поправка (второе слагаемое в скобках) к основному выражению для частоты может сказаться при вычислении высоких частот сравнительно толстой полосы. Выпишем выражение для квадрата частоты по классической теории пластин: . Удерживая в (4.19) основное слагаемое, получим для отношения выражение: . (4.20) Прослеживается заметная зависимость этого отношения от коэффициента Пуассона (ср. п. 6, ч. I ). Пример 2. Колебания прямоугольной шарнирно опертой пластины. В привычных обозначениях пластина занимает в плоскости область . Уравнения колебаний (4.1) распишем в координатном виде , (4.21) , . Введем безразмерные координаты, отнеся их к и оставив прежние обозначения, положим . Граничные условия будут удовлетворены, если для принять выражения: ; , (4.22) подставив это в уравнения (4.21), получим систему однородных уравнений: , , (4.23) , матрица имеет своими элементами выражения: ; . Здесь обозначено . Введем еще обозначения , тогда характеристическое уравнение системы (4.23) запишется в виде кубического уравнения: , (4.24) в котором , знаки остальных коэффициентов зависят от чисел и других параметров пластины. По правилу Декарта можно, следовательно, утверждать, что, по крайней мере, один положительный корень уравнение (4.24) имеет. Приведем другое (частное) решение задачи, основанное на системе (4.2), (4.3) для функций и , вопрос о полноте решения (т.е. об определении и ) рассмотрим дальше. Из формул (4.21) с учетом (4.22) для в безразмерных координатах получим: ; для примем первое из выражений (4.22). Из (4.2) и (4.3) последует: , . Определитель этой системы, приравненный к нулю, доставляет характеристическое уравнение: , и его решение: . (4.25) Простыми оценками нетрудно показать, что для реальных размеров пластины и для невысоких частот отношение - малый параметр, учтем еще, что физическому смыслу задачи отвечает знак минус перед корнем; в первом приближении из (4.25) получим: . Сравним этот результат с тем, который дает классическая теория: . В главном приближении по малому параметру получаем: . Это соотношение совпадает с выражением (4.20) из первого примера. Определение функций и сводится, как это следует из соотношений (4.22), к вычислению коэффициентов и . Первое соотношение между и получим из определения , поскольку оно определено через множитель ; в безразмерных величинах получим: . Второе соотношение получим как следствие уравнений (4.1): первое продифференцируем по , второе - по и вычтем одно из другого. В безразмерных величинах будем иметь: . Второе равенство невозможно, поэтому окончательно имеем: . Пример 4. Флаттер полосы при продольном обтекании. Флаттер бесконечно длинной полосы, которая обтекается потоком, направленным вдоль ее кромок, - это одна из тестовых задач, которая в классической постановке (теория пластин Кирхгофа-Лява и формула поршневой теории для избыточного давления) имеет точное формульное решение. Представляется естественным привести решение этой задачи в рамках предложенной теории. Полоса занимает (в привычных обозначениях ) область . Края примем шарнирно опертыми, в бесконечности прогиб и «повороты» ограничены. Эти условия будут удовлетворены, если принять (в безразмерных координат , отнесенных к ): (4.26) тогда выражение для примет вид: (4.27) Запишем (в безразмерном виде) систему (4.2), (4.3), приняв для избыточного давления формулу поршневой теории, в результате получим: , . Примем и подставим это вместе с (4.26), (4.27) в последнюю систему, в результате получим: , (4.28) . Здесь, как и раньше, обозначено и положено . Определитель системы (4.28) запишем в виде: , поэтому характеристическое уравнение распадается на два: , где обозначено: . Из уравнения следует , либо ; из второго уравнения для получаем нереально высокие частоты, поэтому принимаем , что вполне аналогично классическому результату. Из уравнения получаем квадратное уравнение для : . Здесь обозначено . Запишем решение последнего уравнения: . В силу соображений, высказанных выше, и вследствие очевидной оценки для получим представление с точностью до слагаемых второго порядка малости: . (4.29) Заметим, что второе слагаемое в скобках дает поправку не более процента. С учетом соотношений и из выражения (4.29) имеем для в главном приближении: . Аналогичное выражение в классической теории имеет вид: . Для отношения получим: . В таком же отношении будут находиться и критические скорости флаттера. Пример 4. Флаттер полосы при поперечном обтекании (цилиндрический изгиб). Полоса занимает область ; края шарнирно оперты, . Принимаем, что избыточное давление определено формулой поршневой теории, тогда уравнения колебаний полосы примут вид: , . (4.30) Положим и запишем систему (4.30) в безразмерных координатах и параметрах: . (4.31) Здесь обозначено , остальные обозначения - те же, что и в предыдущем параграфе. Построим решение в двухчленном приближении по Бубнову-Галеркину. Граничные условия будут удовлетворены, если принять . Из второго уравнения (4.31) найдем: ; . (4.32) Из первого уравнения (4.31) после известной проекционной процедуры придем к системе из двух однородных уравнений относительно параметров : , . Выделим в характеристическом уравнении этой системы мнимую и действительную части, в результате получим два уравнения относительно и : , (4.33) . Как видим, уравнения разделились: из первого определяется , после этого из второго - . Для определения , если учесть выражения для и , имеем полное кубическое уравнение, решение которого в радикалах практически не поддается аналитическому исследованию. Найдем приближенное решение разложением по малому параметру , который при обычном отношении имеет порядок . Запишем и в виде: . Подставим это в первое из уравнений (4.33) и оставим в коэффициентах слагаемые первого порядка малости в сравнении с основными; получим в результате : . (4.34) Простой анализ показывает, что при , но , следовательно, вблизи точки слева от нее имеется корень . Его приближенно, но с высокой точностью, можно найти, если в (4.34) пренебречь первым слагаемым; получим квадратное уравнение, которое запишем в виде (обозначения и порядки величин очевидны): . Решение этого уравнения, имеющее механический смысл, запишем в виде: , (4.35) причем поправка , как показывает оценка, составляет не более процента, и ее можно не учитывать. Подставим выражение для из (4.35) во вторую из формул (4.33); в главном приближении получим: . (4.36) Сравним найденные результаты с теми, которые получаются с использованием классической теории пластин. Уравнение колебаний в безразмерных координатах и параметрах имеет вид: . Приближенное решение в двухчленном приближении после простых вычислений приобретает форму: , (4.37) здесь обозначено . Как видно, структура выражений (4.35), (4.36), (4.37) тождественна и, следовательно, качественно картина явления обеими теориями описывается одинаково; различие состоит в том, что параметры в формулах (4.35), (4.36) обнаруживают более заметную зависимость от коэффициента Пуассона. 5. Параметры подобия и моделирование а. Статический изгиб. Обозначим - характерный размер пластины, тогда безразмерные координаты будут ; прогиб отнесем к толщине, которую обозначим через , параметр отнесем к ; параметры - безразмерные. Запишем систему (4.3), (4.4), (4.6) в безразмерном виде, отбросив штрихи у безразмерных координат и параметров: , (5.1) , (5.2) , (5.3) здесь: - характеристическое значение действующего на пластину давления, так что . Введем обозначения для безразмерных коэффициентов, опустив числовой множитель: ; . (5.4) Рассмотрим два процесса нагружения - условно натурный и модельный, каждый из которых описывается системой (5.1) - (5.3). Дополним эту систему однородными граничными условиями - для примера: закрепленный контур (задача в перемещениях): , (5.5) или шарнирно опертый (первая смешанная задача): . (5.6) Легко видеть, что в граничных условиях (5.5), (5.6) не возникает новых параметров по сравнению с (5.4). Если положить в обоих процессах коэффициенты из (5.4) равными , то математические модели станут тождественными, следовательно, все безразмерные параметры в соответствующих точках натурного и модельного процессов совпадут. Такие процессы называются подобными, следствия из равенств - правилами (или условиями) моделирования. Прежде всего, необходимо положить . После этого из (5.4) становится очевидным, что независимыми условиями моделирования будут равенства: . (5.7) Обозначим - масштабное моделирование; из первого равенства (5.7) следует , т.е. полное геометрическое подобие. Из последнего равенства (5.7) получаем , откуда следует: . (5.8) С учетом этого равенства из второго условия (5.7) получаем: . (5.9) Из (5.8), (5.9) имеем две возможности: а) - полное физическое моделирование (достаточные условия выполнения равенств ); б) материал модельного процесса подобран так, что равенство (5.7) выполняется приближенно, но с допустимой точностью; модули Юнга при этом могут различаться заметно; тогда условием моделирования будет: . (5.10) Замечание. В классической теории изгиба пластин прослеживается слабая зависимость решения от коэффициента Пуассона, поэтому во многих случаях можно ограничиться условием (5.10). a. Собственные колебания Систему уравнений (5.1) запишем в виде: , . Введем, так же, как и в предыдущем пункте, безразмерные координаты и параметры, исключим время множителем , оставим за функциями прежние обозначения. Система запишется в форме: , (5.11) , (5.12) дополним ее однородными граничными условиями (5.6). Как видно, в уравнениях (5.11), (5.12) содержится три независимых параметра: . (5.13) Равенства определяют условия подобия натурного и модельного процессов колебаний и правила моделирования. . , (5.14) . Отсюда следуют две возможности: а) пластины в натурном и модельном процессах геометрически подобны, материалы одинаковы; пересчет частот колебаний с модели на натуру проводится по второй из формул (3.14) при : ; (5.15) б) пластины геометрически подобны; последнее из условий выполняется приближенно с достаточной точностью, по скорости различны; тогда пересчет частот колебаний проводится по второй формуле (5.14): . (5.16) b. Панельный флаттер Система уравнений имеет вид: , , здесь - избыточное давление, которое примем равным . Аналогично тому, как это сделано выше, и с учетом выражения для , запишем основную систему в безразмерном виде: , (5.17) , здесь, однако, обозначено . Система (5.17) содержит безразмерные параметры: . Как и раньше, однородные граничные условия (5.6) не добавляют новых параметров. Запишем равенства ; дополнительно примем, что . Последовательно будем иметь: , , , , . Следствия из выписанных равенств при и уже отмечены; положив дополнительно , из остальных получим: , (5.18) , . Воспользуемся известным из газовой динамики соотношением: . Подставив это в последнее из равенств (5.18), получим: . Из второго равенства (5.18) имеем: . (5.19) Исключим из последних двух уравнений , получим: . После возведения обеих частей равенства в степень будет окончательно: . (5.20) Для воздуха , поэтому . Возможности моделирования, как и в предыдущих случаях, ограничены равенством ; его точное выполнение практически влечет за собой равенство ; из (5.20) следует . Из (5.19) следует равенство параметров потока, из (5.18) - , а из (5.16) при получаем правило пересчета частот колебаний. Если же материалы натуры и модели таковы, что , но модули разнятся заметно, то возможно нетривиальное моделирование: выбирая материал модели, из (5.20) определяется , а из (5.19) - параметры . По формуле (5.16) проводится пересчет частот колебаний, определяется скорость потока: . Замечание. Во всех случаях, когда выполняется приближенное равенство , модуль сдвига может быть заменена на модуль Юнга, а сдвиговая скорость - на стержневую скорость .

About the authors

I. A Kiyko

Lomonosov Moscow State University

Email: elast@mail.ru
Dr. Sc; +7 495 939-55-39

References

Supplementary files