System of governing equations for calculation of shallow cylindrical panels

Abstract

The system of governing equations obtained in the work is written in the dimensionless form, which allows to set parameters that affect the process of panel loading.

Full Text

Введение При решении задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с помощью вычислительной техники (ВТ) все уравнения принято записывать в безразмерной форме, когда в них входят безразмерные величины. Безразмерная относительная величина - это отношение самой величины к некоторому расчетному значению, выбираемому по усмотрению расчетчика. Безразмерные величины будем отмечать чертой сверху, а их расчетные значения индексом «р». Например: , , ; , , , ; где: h - толщина оболочки; a, b - ее размеры в плане; u, v, w - перемещения точек срединной поверхности. Деформации, напряжения и внутренние усилия в оболочке В дальнейшем будем использовать индексную систему обозначений для указанных величин и правило суммирования по повторяющемуся индексу. Безразмерные координаты: , , при принятой системе координат меняются в пределах: ; . Деформации в точках, расположенных на одной нормали, определяются так: , ; , ; где: - деформации растяжения-сжатия и сдвига; - кривизны изгиба и кручения в точках срединной поверхности. Они связаны с перемещениями: ; (1) ; (2) индексы после запятой указывают, по какой из координат ( или ) производится дифференцирование. В (1) и (2): , , , , , , , , - кривизны изгиба цилиндрической панели. Кривизна изгиба , отражающая начальное несовершенство оболочки в продольном направлении (в направлении оси ) выбирается из условия: . (3) В соответствии с утверждением В.З. Власова цилиндрическую панель можно считать пологой, если отношение стрелы подъема оболочки к поперечному размеру (считается, что ) меньше одной пятой, значит: , (4) где: f - стрела подъема оболочки; R - радиус кривизны срединной поверхности в поперечном направлении (в направлении оси ). Выражение для прогиба принимаем в виде: , где: , , , , , , . Здесь: - неизвестный коэффициент, меняющийся в процессе нагружения ; - интенсивность продольной сжимающей нагрузки; p - ее расчетное значение. В соответствии с методикой, предложенной в работе [2], для определения касательных перемещений и деформаций из уравнения: , определяется функция перемещений . При принятом выражении для прогиба и равномерном двухстороннем сжатии панели эта функция имеет вид : Здесь: , , , ; , , () - неизвестные коэффициенты, , , . Зная функцию , можно найти перемещения: и деформации: . Чтобы сделать дальнейшие формулы менее громоздкими, будем вместо линейных деформаций, нормальных напряжений и усилий, а также изгибающих моментов рассматривать их полусуммы и полуразности и снабжать индексами 1 и 2; деформации сдвига, касательные напряжения, сдвигающие усилия и крутящие моменты - индексом 3. Например: , , . Тогда: (5) , . Напряжения и деформации связаны таким образом [1] (): , ; (6) , , . Значение функционала для оболочек из упругого и нелинейно-упругого материала и при квазипростом нагружении приведены в работе [1]. Для внутренних усилий получим на основании (6) (): , ; (7) где: , , . Система разрешающих уравнений Система разрешающих уравнений получается из условий сближения краёв панели и условий минимума полной потенциальной энергии деформации оболочки [3]. Постоянные , определяются из уравнений: , . Параметр () характеризует сближение краёв панели; - постоянный коэффициент ( - продольные края неподвижны; - сближение продольных и поперечных краёв одинаковое). Параметры нагрузки определяются из уравнений (): . (8) Определив и , можно найти интенсивность действующей нагрузки: , . Для определения коэффициентов , , , служат такие уравнения: ; (9) ; (10) ; (11) . (12) Из уравнений: ; (13) (14) должны определяться коэффициенты и . Здесь: ; , , , . Наконец, коэффициент , характеризующий изгиб оболочки, находится на основании уравнения: . (15) Здесь: , . Подставляя в уравнения (8)-(15) выражения (7) с учетом (2) и (5), получим систему разрешающих уравнений процесса нагружения панели в развернутом виде. Заключение Ранее было указано, что основная цель записи необходимых уравнений в безразмерной форме - установить параметры, от которых зависит расчет оболочки. Из полученных уравнений следует, что такими параметрами являются: 1. () - коэффициент, характеризующий соотношение размеров оболочки в плане. Можно считать, что ; 2. - параметр, характеризующий начальное искривление панели в продольном направлении. При условиях (3) ; 3. - относительная кривизна цилиндрической панели в поперечном направлении. При условиях (4) . Если , то панель становится прямоугольной пластиной; 4. - коэффициент, учитывающий поведение продольных краёв панели. Если , то продольные края неподвижные, если , то сближение продольных краёв такое же, как и поперечных (равностороннее сжатие оболочки); 5. - отношение, от значения которого зависит, является оболочка тонкой или толстой. Оболочки, для которых справедливы гипотезы Кирхгоффа-Лява, являются тонкими, и для них [4], [5]: , где: R - минимальный главный радиус кривизны оболочки. Но . При условиях (4) минимальное значение и значит: . В работе [5] утверждается, что задачи изгиба пологих оболочек в нелинейной постановке целесообразно решать при коэффициенте вспарушенности (отношение стрелы подъема к толщине оболочки) меняющемся в пределах: . Но: . При максимальном значении ().