Influence of gradient tensor shape in geometrically nonlinear endochronic theory of creep

Abstract

The authors consider the tensor-parametric version of endochronic theory of inelasticity for large deformations and rotations, taking into account temporal effects. The paper examines the influence of a parameter presented in the deformation gradient, and hardening parameter on the shape and magnitude of the curve "creep~time." The corresponding examples are given in the article

Full Text

В работе [1] были сформулированы принципы построения геометрически нелинейной теории пластичности эндохронного типа и предложены определяющие соотношения неупругости, учитывающие большие деформации. Впоследствии эта теория была обобщена с целью учета временных процессов, протекающих в неупругих материалах [2]. В работе [3] с использованием определяющих соотношений геометрически нелинейной эндохронной теории были представлены результаты решения некоторых задач ползучести. В предлагаемой вниманию читателя статье исследуется влияние формы градиента деформаций на зависимости деформаций ползучести от времени. Рассматривается один из тензорно-параметрических вариантов эндохронной теории неупругости для больших деформаций и поворотов, учитывающих временные эффекты [2]. В безындексной форме записи определяющие соотношения имеют вид [3]: , , (1) , , , (2) , , (3) , , , (4) , , (5) , . (6) Здесь и - девиатор и шаровая часть тензора деформаций, и - девиатор и шаровая составляющая тензора напряжений, - девиатор параметрического тензора, - аналог деформационных предела текучести, - аналог коэффициента упрочнения (разупрочнения), - параметр эндохронности (), - модуль сдвига, - модуль объёмного сжатия, верхний индекс - знак транспонирования, - время. Кроме того, - тензор спина, - ортогональный тензор поворота, , , , (7) - тензор градиента деформаций, - правый тензор удлинения в полярном разложении тензора градиента , - скорость градиента деформаций, - тензор скоростей деформаций. Частный вариант теории (1) - (7) для девиаторов при и имеет вид: , , (8) , , (9) Для исследования выбирается градиент деформации в форме: , (10) У такого типа градиента деформации ортогональный тензор поворота и тензор спина имеют следующую структуру: , , . (11) В работе [3] авторы данной публикации анализировали вариант эндохронной теории ползучести для больших деформаций и поворотов с градиентом деформации типа (10) при . Полагаем далее, что тензор скоростей деформации , девиаторы тензоров деформации и напряжений имеют вид: , , . (12) Используя (7), компоненты тензора скоростей деформации можно связать с компонентами тензора градиента деформации следующими дифференциальными уравнениями: , , (13а) , (13б) , , (13в) Подставляя (11) в выражения для объективных производных (5), используя затем соотношения (1), (2), (4) и вводя обозначения и , получим замкнутую систему дифференциальных определяющих соотношений: , , (14) , , (15) , , (16) , , (17) , , (18) , , (19) , , . (20) Исследование влияния параметра на протекание деформаций во времени в процессе ползучести материала начинается с «быстрого» активного монотонного нагружения жестким сдвигом, когда , , , . Нагружение продолжается до некоторого значения . После чего напряжения фиксируются, и наблюдается процесс ползучести. При вычислениях в соотношениях (14) - (20) было принято, что и , то есть . Варьировался «аналог» коэффициента упрочнения (разупрочнения) и параметр , определяющий форму тензора градиента деформации . Рисунок1. Осевая и сдвиговая деформации ползучести при Рисунок2. Зависимость деформаций и от времени при Рисунок 3. Изменение деформаций в процессе ползучести при Рисунок 4. Накопление деформаций и во времени при Приведённые примеры демонстрируют чёткую зависимость результатов от формы градиента деформаций, а варьирование коэффициента позволяет получать полный спектр форм кривых «деформация ползучести ~ время»: линейные (рисунок 1), возрастающие с разными выпуклостями (рисунок 2, рисунок 4) и убывающие (рисунок 3). Изучение влияния отрицательных и нецелых значений параметра в планах дальнейших исследований. Замечание Обратим внимание на то, что значение - особый случай, когда знаменатель в двух уравнениях системы обращается в ноль. Для этого значения система определяющих соотношений должна быть составлена отдельно.