Nonlinear oscillations of a three-layer and multi-layer plates and shells during periodic impacts (survey)

Full Text

Теория нелинейных колебаний начала развиваться с конца 19-го века в классических работах А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова. Особую актуальность приобрели эти работы с конца 20-х годов ХХ века в связи с развитием радиотехники. Существенный вклад в развитие нелинейной механики был внесен отечественной школой физиков и связан, прежде всего, с работами Л.И. Мандельштама, А.А. Андронова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского и др. В отличие от линейных колебательных систем нелинейные колебания сопровождаются многими специфическими особенностям, например, не изохронностью колебаний (зависимостью периода свободных колебаний от амплитуды), возникновением колебательных режимов с частотами, отличными от частоты возмущающей силы и появлением субгармонических, ультра гармонических, так называемых внутренних резонансов. Возникают также различные периодические режимы колебаний с большими и малыми амплитудами при изменении частоты в определенных пределах. Реализация этих режимов зависит от начальных условий движения: с возрастанием частоты возмущающей силы амплитуда вынужденных колебаний растет до некоторого предельного значения, при котором происходит “срыв” амплитуды, и при дальнейшем росте частоты система колеблется уже с малыми амплитудами. Так как частоты гармоник и их амплитуды зависят от размаха колебаний, возникает необходимость построения амплитудно-частотных характеристик нелинейного колебательного процесса. Постепенно в нелинейной механике сформировались два основных направления развития: первое связано с применением строгих топологических методов качественного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений; второе базируется на применении аналитических методов, позволяющих получать количественные результаты [1 - 3] и др. Эти методы оказались весьма эффективными, в частности, при исследовании колебаний систем с малой нелинейностью при относительно малом затухании. Соответствующие оценки понятия малой нелинейности и величины малого затухания приведены, например, в монографии В.В. Болотина [4]. Для случая колебаний систем с малой нелинейностью в классической нелинейной механике разработано достаточно много точных и приближенных методов исследования: метод малого параметра, метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля), метод гармонического баланса, метод Крылова-Боголюбова и др. Применение этих методов в первом приближении дает одинаковые результаты, причем вполне достаточные для большинства технических приложений [2, 3, 5]. Целесообразность подхода, связанного с исследованием малых нелинейных колебаний в первом приближении, состоит в возможности получить аналитические решения для резонансных частот и амплитуд, позволяющие проводить качественный и количественный анализ явления. В данном обзоре рассмотрение ограничивается анализом работ, посвященных нелинейным колебаниям тонких упругих кусочно неоднородных по толщине трехслойных и многослойных пластин и оболочек при периодических воздействиях. Однородные однослойные пластины. В механике деформируемого твердого тела исследование нелинейных колебаний тонкостенных упругих элементов конструкций началось со второй половины 20-го века. Первые работы по колебаниям упругих однослойных пластин и пологих оболочек с большими амплитудами были выполнены Э.И. Григолюком [6, 7] в 1955 году, H.N. Chu и G. Herrmann’ом [8] в 1956 году, N. Yamaki [9], W. Nash’ем и J.R. Modeer [10]. В [7] в двучленном приближении было построено решение задачи о нелинейных колебаниях пологой цилиндрической панели. Получено выражение для периода собственных колебаний в виде полного эллиптического интеграла первого рода и для плоской прямоугольной панели приведены численные значения периода собственных колебаний в первом и во втором приближениях в зависимости от соотношения сторон панели. Систематическое изложение различных задач нелинейной динамики однослойных пластин, панелей и пологих оболочек было дано в монографии А.С. Вольмира 1972 года [5]. В ней были приведены решения задач динамической устойчивости, нелинейных колебаний (собственных, вынужденных, параметрических), описываемых уравнениями Фëппля-Кармана для пластин и Маргерра для пологих оболочек. Решения получены, в основном, с использованием одночленной или (в некоторых случаях) двучленной аппроксимации прогиба и функции усилий и применением метода Бубнова-Папковича или метода конечных разностей. Как отмечается в обзоре [11], многие результаты и особенности поведения пластин и оболочек, описанные в этой монографии, были подтверждены экспериментально. Вместе с тем, более поздние исследования показали, что использованные в работе [5] модели могут быть недостаточны для описания таких нелинейных процессов в оболочках, которые сопровождаются взаимодействием изгибных форм колебаний и появлением бегущих волн в окружном и продольном направлениях [13 - 15]. Различные более поздние обзоры полученных теоретических и экспериментальных результатов по нелинейным колебаниям однослойных пластин и оболочек приведены, например, в [16, 13, 17, 18, 11, 19, 14]. Трехслойные пластины и оболочки. Работы по исследованию динамического поведения кусочно-неоднородных по толщине слоистых пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке начали появляться с начала 60-х годов ХХ века. Отличительной особенностью расчета трехслойных конструкций с маложестким промежуточным средним слоем (заполнителем) является необходимость учета поперечных сдвигов и поперечных нормальных напряжений и деформаций в заполнителе. Из-за сложности динамических нелинейных уравнений трехслойных и особенно многослойных пластин и оболочек, выполненных из композиционных материалов (и следовательно, ортотропных или анизотропных) почти исключительно решение их строится для случая малых нелинейных колебаний в первом приближении. К числу первых работ по трехслойным пластинам и оболочкам относятся работы С.А. Амбарцумяна и В.Ц. Гнуни [20, 21], H.N. Chu [22, 23], Y.Y. Yu [24 - 26], А.И. Холода [27 - 29], Э.Н. Кваши [30, 31]. В [20, 21] для ортотропных трехслойных пластин прямоугольного очертания в плане, подверженных действию нормально приложенной нагрузки, выведено нелинейное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и получена в первом приближении зависимость между амплитудой и частотой нелинейных колебаний. В развитие работы Y.Y. Yu [25], в которой дано приближенное решение задачи о нелинейных осесимметричных колебаниях замкнутой круговой цилиндрической трехслойной оболочки симметричного строения по толщине с легким несжимаемым заполнителем и мембранными внешними слоями, А.И. Холодом [28], при тех же деформационных гипотезах относительно заполнителя, рассмотрена задача о нелинейных поперечных колебаниях трехслойной цилиндрической шарнирно опертой панели симметричного строения по толщине с жестким заполнителем и моментными несущими слоями. Применялся метод Бубнова [32] с использованием одночленной аппроксимации искомых перемещений. Задача сведена к уравнению Дуффинга, для которого получено приближенное решение и показано, что нелинейная частота колебаний ниже линейной и существенно зависит от параметров пологости и тонкостенности панели. Приведено также сравнение приближенных вычислений нелинейной частоты с точным решением в эллиптических интегралах, которое показывает их хорошее совпадение. Влияние деформаций поперечного сдвига на нелинейные колебания слоистых пластин и оболочек рассматривалось во многих работах [26, 31, 33, 34, 35, 36, 37] и др. Уже в ранней работе [26] отмечается, что влияние поперечного сдвига не является малым и должно учитываться при нелинейных колебаниях и исследовании динамической устойчивости свободно опёртых многослойных пластин и несомненно существенно для защемленных многослойных пластин. Отметим здесь работу В.Г. Пискунова, Ю.М. Федоренко, А.Е. Степановой [33], в которой исследовались собственные и вынужденные колебания при внешней поперечной нагрузке вида ( - частота изменения внешней вынуждающей силы, - еë амплитуда) без учета демпфирования шарнирно опертых прямоугольных пластин, составленных из произвольно расположенных по толщине слоев различной толщины и жесткости, на основе уточненной двумерной сдвиговой теории слоистых конструкций [38]. Численный анализ проведен для случая собственных нелинейных колебаний трехслойных пластин различной структуры по толщине: с двумя несущими слоями одинаковой толщины, с одним средним несущим слоем, двухслойных пластин. Варьировались также отношения модулей сдвига несущих слоев и заполнителя и относительная толщина заполнителя. Показано, что ориентация амплитудно-частотных характеристик трехслойных пластин относительно таковой для однослойной пластины существенно изменяется для пластин различной структуры по толщине. Для квадратных трехслойных пластин в зависимости от соотношения получены оценки значений амплитуд, для которых необходимо учитывать влияние поперечного сдвига и нелинейности на частоты колебаний. Учет влияния температуры на характер нелинейных колебаний трехслойных свободно опертых ортотропных пластин и прямоугольных в плане пологих оболочек с легким несжимаемым заполнителем выполнен H. Ohnabe [35]. Исходная система уравнений относительно прогибов, функции напряжений и перемещений, обусловленных поперечным сдвигом, получена с использованием вариационных принципов Гамильтона-Остроградского и Рейсснера-Хеллинджера и интегрировалась методом Бубнова в первом приближении. Приведены для ортотропных и изотропных квадратных в плане пластин и пологих оболочек (с одинаковыми радиусами кривизны) зависимости амплитуд от относительного периода нелинейных колебаний, которые оказываются существенно различными для нагретых и не нагретых пластин и оболочек. Подробный анализ влияния геометрических и механических параметров (относительной толщины , относительного удлинения пластин , жесткости заполнителя на сдвиг, собственной изгибной жесткости несущих слоев, параметра , характеризующего демпфирование при колебаниях, числа полуволн m и n), граничных условий на характер свободных и вынужденных нелинейных колебаний и вид амплитудно-частотных характеристик трехслойных прямоугольных пластин несимметричной структуры по толщине с жестким трансверсально изотропным заполнителем, податливым на поперечный сдвиг, и изотропными несущими слоями выполнен в работах [36, 37]. Вынужденные колебания таких пластин описываются уравнениями Григолюка-Чулкова [39], в которых учтены также начальные неправильности формы координатной поверхности, поперечные инерционные силы и внешнее демпфирование. Эта система уравнений 10 - го порядка в смешанной форме относительно разрешающих функций перемещений и усилий , обобщающая уравнения однородных пластин Феппля-Кармана, имеет вид: . В уравнениях - полный прогиб, - начальный прогиб, характеризующий отклонение пластины от идеальной формы, - дополнительный прогиб, выражающийся через разрешающую функцию перемещений известным в теории трехслойных пластин соотношением: . Параметры, фигурирующие в уравнениях, указаны в работах [39, 37]. Уравнения для шарнирно опертых пластин интегрировались методом Бубнова-Папковича по пространственным координатам. Для защемленных пластин метод ортогонализации Бубнова применялся непосредственно к системе уравнений в смешанной форме. В результате, для обоих вариантов граничных условий получено одно и то же по структуре нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания трехслойной пластины под действием внешней поперечной нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону и равномерно распределенной по поверхности пластины : , в котором - квадрат частоты собственных малых колебаний трехслойной пластины. Представление прогиба пластины в виде и интегрирование уравнения по полному периоду колебаний позволяет получить уравнение, связывающее амплитуду колебаний A с относительной частотой нелинейных колебаний. Решение уравнения вынужденных нелинейных колебаний трехслойных гибких пластин с кубической упругой восстанавливающей силой и вязким трением при гармоническом возбуждении (при неучете начальных прогибов) получено также методом гармонического баланса, что дает удобный способ построения амплитудно-частотной характеристики. Расчеты показывают, что во всей рассмотренной области изменения параметров трехслойные пластины имеют жесткую характеристику. Выявлены границы областей устойчивых периодических режимов колебаний в зависимости от параметров. Качественный характер влияния геометрических и жесткостных параметров на вид амплитудно-частотных характеристик защемленных по контуру трехслойных пластин остается таким же, как и при шарнирном опирании, но резонансные частоты при вынужденных колебаниях защемленных пластин достигаются при бóльших значениях амплитуд колебаний. Круговые пластины. Колебания трехслойных круговых пластин исследовались в работах [40 - 44]. В [42] решение уравнений вынужденных колебаний круговых пластин под действием осесимметричной гармонической поперечной нагрузки строилось с использованием полиномиальной аппроксимации и итерационной процедуры. Оценено численно влияние структуры пластины на частоты колебаний. Свободные и вынужденные нелинейные изгибные колебания трехслойных круговых пластин, защемленных по контуру, рассматривались в [40, 41]. В [41] численно проанализировано влияние структуры пластины и жесткости среднего слоя на частоты колебаний. В [40] рассматривались пластины с вязкоупругим заполнителем. Исследовано влияние геометрических и вязкоупругих характеристик слоев на частоты и формы поперечных колебаний. Нелинейные колебания трехслойных вязкоупругих стержней и пластин изучались также в работах [45 - 48]. Многослойные пластины и оболочки. Особенности различных направлений в развитии теории и построении математических моделей многослойных пластин и оболочек подробно освещены в литературе [49 - 53] и др. При исследовании нелинейных колебаний применяются два подхода: первый, используемый в большинстве работ, базируется на гипотезе о прямой недеформируемой нормали для всего пакета слоев, что позволяет свести расчет многослойной пластины или оболочки к расчету квазиоднородной с приведенными упругими параметрами [54 - 63, 46]; при втором, приводящем к так называемым неклассическим уточненным двумерным теориям, используются те или иные интегральные гипотезы для всего пакета слоев, учитывающие деформации и напряжения поперечного сдвига в слоях [25, 26, 64 - 68, 33, 34, 69, 63, 70 - 78]. К числу первых публикаций по многослойным пластинам и оболочкам следует отнести работы [25, 26, 79 - 81, 55, 56, 54, 57, 82]. В работах J.Bennett’а 1971 - 1972 годов [55, 56] исследованы свободные и вынужденные колебания свободно опертых по контуру прямоугольных слоистых пластин, армированных ортотропными слоями. С использованием метода Бубнова и метода гармонического баланса построены решения в первом приближении нелинейных уравнений и уравнений, полученных после применения гипотезы Бергера, приведены зависимости частотного параметра нелинейности от угла намотки слоев для трех типов композитов: графит эпоксидного, бор эпоксидного и стекло эпоксидного. Построено также решение задачи в двучленном приближении и исследована устойчивость полученного решения сведением к анализу областей неустойчивости уравнений типа Матье-Хилла. Численно оценено влияние угла армирования и высших форм колебаний на границы областей неустойчивости двухслойных и ортотропных слоистых пластин из различных композитов. В более поздних работах [60 - 62] также использовался метод Бубнова, что приводило к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка с кубической нелинейностью, которые интегрировались численно. В [61] построены амплитудно-частотные характеристики для случая собственных нелинейных колебаний шестислойной пластины несимметричного строения по толщине, в [60] - для анизотропных слоистых пластин из волокнистых композитов, в [62] - для слоистых пластин, находящихся на упругих основаниях типа Винклера и Пастернака. В [59] рассматривались слоистые прямоугольные пластины с ортотропными слоями, ориентированными у каждого слоя под углами 0° и 90° относительно осей симметрии пластины. Использовалась гипотеза Кирхгоффа для всего пакета слоев. Приведены примеры расчета частоты нелинейных колебаний для двухслойной пластины с различной комбинацией материала слоев и ориентацией осей ортотропии. Г.М. Куликовым и Ю.В. Кулешовым в [75] развит метод исследования свободных и вынужденных нелинейных колебаний многослойных трансверсально изотропных пластин со свободно смещающимися и с не смещающимися шарнирно опертыми краями на основе уравнений в смешанной форме многослойных пластин и оболочек типа Тимошенко, приведенных ранее в монографии [83]. Представлен общий вид скелетных кривых в зависимости от коэффициента, характеризующего неоднородность структуры слоистого пакета, а также амплитудно-частотных кривых для вынужденных недемпфированных колебаний под действием поперечной нагрузки, распределенной по поверхности пластины по синусоидальному закону. Получены приближенные формулы для определения резонансных частот и амплитуд. В развитие работы [75] свободные и вынужденные колебания прямоугольной многослойной трансверсально - изотропной пластины с сосредоточенными массами, соединенными призматическим стержнем, ось которого перпендикулярна поверхности пластины, рассмотрены Ю.В. Кулешовым [72]. Одна из масс жестко закреплена на поверхности пластины в точке , а другая - сосредоточена на стержне (моделирующем обладающий распределенными инерционными и упругими свойствами амортизатор). Нелинейные уравнения колебаний описываются системой дифференциальных уравнений, полученных на основе уточненной теории многослойных пластин [83]. Интенсивность распределения поперечной нагрузки на пластину задается в виде: где: - функция Дирака, - сила, передающаяся от массы и стержня на пластину. - продольное напряжение в стержне, - жесткость стержня на растяжение. Получено обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, учитывающее влияние на колебания пластины присоединенных масс и стержня, интегрирование которого методом Ритца позволило получить амплитудно-частотное и фазочастотное уравнения. Проанализированы эффекты динамического гашения колебаний за счет влияния масс и стержня в различных предельных случаях. Колебания гибких защемлённых по контуру прямоугольных слоистых пластин и стержней рассматривались в работах [26, 80, 81, 45, 82, 57, 58, 63, 70, 84]. В работе И.М. Дидыченко [63] с использованием метода Бубнова получены аналитические зависимости для построения амплитудно-частотных характеристик для случаев, когда для всего пакета слоев справедливы гипотезы Кирхгоффа и интегрально учитывается поперечный сдвиг по всей толщине пакета слоев. На примере двух-, трех- и четырехслойных пластин проанализировано влияние изменения порядка расположения слоев по толщине на амплитуды и частоты собственных и вынужденных колебаний. Отмечается, что вид структуры по толщине существенно изменяет амплитудно-частотные характеристики. Аналогичный вывод сделан Ю.М. Федоренко [70], которым в развитие работы [33] изучались собственные нелинейные колебания слоистых кусочно-неоднородных пластин, а также пластин, имеющих непрерывную неоднородность по толщине, на основе уточненной сдвиговой теории [38]. Получены оценки размеров областей, в которых необходимо учитывать деформации поперечного сдвига и геометрической нелинейности для свободно опертых и защемленных пластин. Колебания с большой амплитудой трехслойных и многослойных пластин с учетом начальных неправильностей рассматривались в работах [67 - 69, 46, 36, 37]. В [67, 68] принималось параболическое распределение деформаций поперечного сдвига по толщине всего пакета слоев. Система пяти исходных дифференциальных уравнений преобразована к одному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка, учитывающему квадратичные и кубические нелинейности, и с использованием одномодового подхода получено его точное решение и решение методом возмущений. Показано [68], что и при жестком, и при мягком типе нелинейности динамическое поведение пластин существенно зависит от начальных несовершенств. Пластины сложной формы [58, 85, 86, 78]. Впервые колебания с большими амплитудами пластин разной формы на упругом винклеровском основании исследовались с использованием гипотезы Бергера в работе R.Sircar’а [58]. Для пластин в виде правильного треугольника и равнобедренной трапеции, жестко защемленных по контуру, определены периоды колебаний в зависимости от амплитуды и величины коэффициента постели. В [85] рассмотрены вынужденные колебания слоистых косоармированных прямоугольных пластин, частично опертых по контуру. Л.В. Курпа и Г.Н. Тимченко [86] рассматривали нелинейные колебания многослойных ортотропных пластин сложной формы на основе методов теории R - функций [87] и вариационных методов Ритца и Бубнова. При численных расчетах для свободных колебаний шестислойных прямоугольных пластин с различным числом прямоугольных вырезов дано сопоставление частот нелинейных и линейных колебаний в зависимости от размеров пластины в плане, глубины вырезов для шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру пластин, а также оценено влияние глубины одного из вырезов на характер амплитудно-частотной характеристики. В [78] методом конечных элементов исследованы нелинейные изгибные колебания скошенной слоистой композитной пластины симметричной структуры с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения. Слоистые оболочки [25, 23, 27, 30, 31, 5, 91, 88, 89, 64 - 66, 11 - 15, 90, 69, 35, 18]. Свободные колебания пологих многослойных анизотропных цилиндрических панелей регулярной структуры с несущими слоями, для которых полагались справедливыми гипотезы Кирхгофа, и слоями связующего, податливыми на сдвиг, рассматривались в работе Б.А. Киладзе, И.Н. Преображенского, А.Ш. Цхведиани [66]. К уравнениям применялся принцип энергетической континуализации, в результате расчет многослойной оболочки приводится к расчету однослойной с приведенными упругими параметрами. Края панели считались свободно опертыми, причем по криволинейным кромкам приложены продольные усилия, а другие края смещаются свободно. Интегрирование уравнений колебаний сначала по пространственным координатам методом Бубнова-Папковича, а затем полученного обыкновенного дифференциального уравнения с кубической нелинейностью методом Бубнова по времени позволило получить нелинейные зависимости амплитуды колебаний от частоты. Расчеты показывают, что амплитудно-частотная характеристика цилиндрических панелей при относительно малых амплитудах колебаний имеет характер «мягкой» нелинейности, а с ростом амплитуды-характеристика становится «жесткой». Оценено влияние продольных усилий , приложенных по криволинейным кромкам, на поведение панели: с ростом амплитуды колебаний частоты сжатых панелей сначала уменьшаются до минимума и оказываются значительно меньше, чем при отсутствии сжимающих усилий, а затем возрастают так, что при достаточно больших амплитудах частоты колебаний сжатых панелей оказываются уже больше частот колебаний панелей, свободных от продольных усилий . Подробный параметрический анализ зависимости амплитудно-частотных характеристик многослойных шарнирно опертых оболочек регулярного строения, состоящих из чередующихся армирующих и связующих слоев, выполнен также в работах М.С. Герштейна и С.С. Халюка [64, 65]. Свободные колебания оболочек описывались функциями прогиба и углов поворота нормали и , которые аппроксимировались выражениями: ,, , , , где: - число полуволн вдоль образующей оболочки, - число волн по окружности. Интегрирование исходных уравнений колебаний оболочки методом Бубнова-Папковича приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций времени, которые представлялись в виде Проанализирована зависимость амплитудно-частотных характеристик пятислойных оболочек от отношения длины к радиусу , от относительной толщины , от жесткости материала связующего, коэффициента армирования, параметров волнообразования. Показано, что характер нелинейности оболочек меняется в зависимости от жесткости материала связующего. Нелинейные эффекты проявляются тем существенней, чем короче оболочки и чем меньше их относительная толщина. Полученные результаты хорошо согласуются с данными проведенного эксперимента. В [69] приведены результаты расчета методом гармонического баланса частот свободных колебаний с большими амплитудами толстых слоистых композитных цилиндрических оболочек несимметричной структуры с учетом поперечных сдвигов и начальных несовершенств. Приближенные решения на основе гипотезы Бергера [97, 10, 80, 81, 55, 56, 58, 92 - 95, 89, 96, 74, 75]. Сложность интегрирования связанной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, какими являются уравнения Фёппля - Кармана для пластин или уравнения Маргерра для пологих оболочек, и тем более их обобщений на случай трехслойных и многослойных анизотропных пластин и оболочек, привела к появлению упрощенного подхода к решению нелинейных задач на основе гипотезы Бергера [97]. Согласно [97] в выражении для энергии деформации можно пренебречь вторым инвариантом тензора деформаций срединной поверхности (здесь - деформации срединной поверхности, - еë угол сдвига), не оказывающим существенного влияния на величину прогиба. Это позволяет получить систему двух несвязанных уравнений, одно из которых является линейным и просто интегрируется. Приближенный анализ свободных колебаний при конечных амплитудах прямоугольных и круговых пластин на основе динамического аналога уравнений Бергера впервые выполнили W. Nash и J. Modeer в 1959 году [10]. На трехслойные пластины симметричного строения с мембранными внешними слоями уравнения Бергера были распространены N. Kamiya [91, 92], а уравнения трехслойных анизотропных пластин несимметричной структуры с жестким анизотропным заполнителем и моментными несущими слоями, а также уравнения трансверсально изотропных трехслойных пластин несимметричного строения на основе гипотезы ломаной линии и допущения Бергера были получены Э.И. Григолюком и Г.М. Куликовым [94, 95]. Для последнего случая эти уравнения для случая свободных колебаний с учетом вязкого трения приводятся к линейному уравнению [74]: в котором постоянная определяется из соотношения: ; - параметры трехслойности, - цилиндрическая жесткость трехслойного пакета. В теории многослойных пластин гипотеза Бергера впервые была применена C.I. Wu и J.R. Vinson’ом [80]. В [80] для всего пакета слоев ортотропной пластины симметричного строения по толщине была использована гипотеза прямой линии и получены уравнения движения. На основе этих уравнений были рассмотрены нелинейные колебания слоистых ортотропных прямоугольных пластин для шести различных вариантов закрепления краев. Решение строилось методом Бубнова с использованием балочных функций. Для пластин с различным числом слоев при различных граничных условиях определены зависимости относительной амплитуды колебаний от отношения частот нелинейных и линейных колебаний. В работе B.M. Karmakar’а [93] сделан вывод о том, что использование гипотезы Бергера для оценки интегральных характеристик колебаний трехслойных пластин по сравнению с более точными уравнениями обеспечивает вполне приемлемую точность, особенно для квадратных пластин. Г.М. Куликовым и Ю.В. Кулешовым в [74] рассмотрены нелинейные вынужденные колебания по цилиндрической поверхности длинной многослойной прямоугольной пластины несимметричного строения, составленной из трансверсально изотропных слоев, на основе гипотезы Бергера. При этом учтено демпфирование колебаний по линейной гипотезе и на основе концепции комплексного внутреннего трения. Использование одномодовой аппроксимации функции перемещений (здесь - фундаментальная мода линейной задачи о свободных колебаниях длинной пластины) и метода Бубнова приводит к уравнению Дуффинга относительно временной составляющей , первое приближение решения которого позволяет получить уравнения амплитудно-частотной и амплитудно-фазово-частотной характеристик. Построены номограммы зависимостей резонансных амплитуд и частот от безразмерного параметра демпфирования , от жесткостного параметра , характеризующего структуру пакета слоев, от параметра сдвига , от параметра нагрузки. Показано также, что при учете демпфирования на основе гипотезы комплексного внутреннего трения (при этом модули поперечного сдвига слоев предполагались комплексными: ) увеличение коэффициента затухания приводит к многократному снижению резонансных амплитуд и частот. В [75] для многослойных пластин с шарнирно опертыми не смещающимися краями показано, что относительная разность амплитуд свободных колебаний, найденных по “точной” (по уравнению Дуффинга) и по приближенной теории, базирующейся на гипотезе Бергера, при принятых значениях параметров составляет около 8%. Всесторонний анализ применения гипотезы Бергера к нелинейным задачам пластин и пологих оболочек, выполненный в работе Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [89], позволяет сделать вывод о том, что использование уравнений Бергера приводит к удовлетворительным результатам для интегральных характеристик колебаний. Но так как решение и в приближенной постановке Бергера и при использовании уравнений Фёппля-Кармана в подавляющем большинстве работ сводится к применению метода Бубнова в одночленной аппроксимации и приводит в обоих случаях к интегрированию нелинейного уравнения типа уравнения Дуффинга, то предпочтительно использовать решения на основе более точных уравнений. Решения в высших приближениях [102, 55, 5, 99, 34, 69, 98, 100 - 101, 84, 71, 19, 77, 78, 48]. Исследование свободных нелинейных колебаний в высших приближениях неоднородных пластин и оболочек с переменными жесткостными характеристиками выполнено В.А. Крысько и А.Н. Куцемако в [19]. Исходные уравнения в смешанной форме после интегрирования методом Бубнова по пространственным координатам с использованием многочленной аппроксимации прогиба и функции усилий сводятся к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая интегрируется методом Рунге-Кутта с решением на каждом шаге системы алгебраических уравнений методом Гаусса. На основе предложенной методики спектрального анализа свободных колебаний построены амплитудно-частотные характеристики квадратных однородных пластин и оболочек и отмечается, что амплитуда первой гармоники во всех случаях, по крайней мере, на порядок больше амплитуд других гармоник, которые с ростом номера гармоники резко убывают. C использованием двучленной тригонометрической аппроксимации прогиба методом Бубнова исследовались нелинейные колебания ортотропных слоистых пластин с кратными частотами свободных колебаний (внутренний резонанс) в [96]. Получены амплитудно-частотные зависимости для пластин с различной структурой пакета и для различных граничных условий. С учетом демпфирования нелинейные свободные колебания трехслойных прямоугольных свободно опертых пластин, для которых использовалась гипотеза ломаной линии, исследовались с помощью двойных тригонометрических рядов Фурье и интегрированием по времени полученной системы уравнений методом Рунге-Кутта в [99]. Вынужденные колебания с большой амплитудой слоистых прямоугольных композитных пластин симметричной структуры по толщине с учетом нелинейных деформаций сдвига в срединной плоскости пластин рассматривались методом конечных элементов в [71]. Получены амплитудно-частотные характеристики для различных коэффициентов, характеризующих нелинейный сдвиг, и углов армирования волокнами композитных пластин. Конечно-элементная модель для исследования свободных нелинейных колебаний слоистых композитных пластин разработана в [34]. Принималось, что деформации поперечного сдвига распределены по толщине пластины по параболическому закону. Построены матрицы жесткости и масс для сформированного девяти узлового изопараметрического элемента с семью степенями свободы в каждом узле. Численное решение нелинейных уравнений строится итерационным методом. Исследовано влияние степени ортотропии, числа слоев, ориентации волокон, поперечного сдвига, соотношения геометрических размеров на собственные частоты. В [100] методом конечных элементов (с использованием четырëхузловых прямоугольных конечных элементов с 14 степенями свободы) исследовано влияние граничных условий на частоты нелинейных изгибных колебаний «умеренно» толстых слоистых композитных пластин несимметричной структуры. Многомодовая динамическая реакция слоистых композитных прямоугольных пластин в геометрически нелинейной постановке при гармоническом воздействии рассматривалась на основе совместного использования метода возмущений и метода Бубнова в работе [101]. На основе метода конечных элементов проведен многомодовый анализ свободных нелинейных колебаний композитных стержней и прямоугольных пластин в работе [84]. Исходная система нелинейных динамических уравнений преобразована к обобщенному уравнению типа Дуффинга, записанному в матричной форме, которое решалось численно методом Рунге-Кутта. Для основной и нескольких высших мод колебаний проведено сопоставление с точным решением, и оценено влияние конечно-элементной сетки на сходимость к точному решению. Построены фазовые портреты для изотропных и ортотропных шарнирно опертых и жестко защемленных стержней и квадратных восьмислойных пластин симметричной структуры из графито-эпоксидных материалов. Экспериментальные исследования колебаний пластин и оболочек с большими амплитудами, сопоставление опытных данных с применяемыми расчетными моделями, а также анализ точности и областей применимости различных приближенных методов решения уравнений нелинейных колебаний выполнены в ряде работ [79, 45, 5, 103, 64, 65, 90, 11-15, 104] и др. Результаты многолетних экспериментальных комплексных исследований колебаний и динамической устойчивости как с малыми, так и с конечными прогибами оболочек вращения из ориентированных стеклопластиков, выполнявшиеся в Институте механики НАН Украины, отражены в ряде монографий и обзоров, содержащих и обширную библиографию [11 - 15]. В них систематизированы экспериментальные исследования по изучению особенностей динамического деформирования стеклопластиковых оболочек при действии поперечных и осевых периодических нагрузок и нагрузок параметрического типа. Проанализированы амплитудно-частотные характеристики установившихся колебаний оболочек в зонах гармонических и параметрических резонансов, влияние начальных несовершенств оболочек, диссипативных свойств на их динамические характеристики. В частности, выявлено, что используемые обычно в расчетах для учета демпфирования гипотезы линейного трения, неадекватно отражают реальные процессы рассеяния энергии при колебаниях стеклопластиковых оболочек. Проанализировано влияние на вид амплитудно-частотных характеристик уровней виброперегрузок. Проведенные экспериментальные исследования показывают, что во многих случаях исследование особенностей колебаний композитных оболочек при их периодическом возбуждении целесообразно проводить на основе анализа амплитудно-фазово-частотных характеристик перемещения или скоростей. Эти характеристики дают существенно больше информации о поведении данных оболочек в исследуемых частотных диапазонах по сравнению, например, с амплитудно-частотной или с фазово-частотной характеристиками и могут быть эффективно использованы для идентификации параметров натурных колебательных систем. Выводы Оценивая в целом современное состояние исследований в области нелинейных колебаний трехслойных и многослойных пластин и оболочек, следует отметить, что в большинстве работ рассматриваются малые нелинейные колебания на основе сведения исходных задач к дискретным моделям с одной, реже с двумя степенями свободы. Слабо или совсем не исследованы задачи о нелинейных колебаниях круговых и кольцевых пластин и пластин сложной формы, оболочек нецилиндрической формы, задачи о субгармоническом резонансе. Недостаточно изучены обнаруженные экспериментально сложные формы динамического деформирования слоистых цилиндрических оболочек, сопровождающиеся нежелательными волновыми процессами. В целом, рассматриваемая область механики нуждается в дальнейшем развитии.

About the authors

E. A Kogan

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI), Diplomatic Academy of the Ministry of Foreign Affairs of Russian Federation

Email: kogan_ea@mail.ru
+7 495 223-05-23

A. A Yurchenko

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI), Diplomatic Academy of the Ministry of Foreign Affairs of Russian Federation

Email: AYrCh@yandex.ru
+79055470035

References

Supplementary files