Plate thickness’ distribution optimization problem in panel flutter case analysis

Abstract

The flutter of a rectangular plate with variable thickness, placed in the supersonic gas flow, was analyzed with application of the linear piston theory. A solution for optimization of the plate thickness’ distribution was proposed for the case of some additional constraints. The critical velocity of the flow under different values of operation factors was obtained with tetramerous approximation using Galerkin method. Comparison of results was made.

Full Text

Задача о флаттере пластины постоянной толщины изучена достаточно подробно как с использованием линейной поршневой теории, так и в случае некоторых других новых постановок [1-7]. При этом работ, где исследовалась бы устойчивость в потоке газа пластины переменной толщины или жесткости, относительно немного, и исследована в них, как правило, только бесконечная полоса [8]. Исключение составляют статьи [9-11], в которых рассмотрена конечная пластина. В данной работе представлено исследование задачи линейного флаттера прямоугольной пластины переменной толщины в рамках линейной поршневой теории. Предложен вариант решения задачи оптимизации распределения толщины пластины для повышения устойчивости. Рассмотрим прямоугольную пластину длины и ширины с шарнирно опертыми краями. В прямоугольной системе координат пластина занимает область , ось OX направлена по стороне длины . Пластина обтекается сверхзвуковым потоком газа. Вектор скорости потока лежит в плоскости пластины, угол между ним и осью OX обозначим через . Толщина пластины будет переменной величиной , где: - дважды непрерывно дифференцируемая функция, а - малый параметр. Тогда цилиндрическую жёсткость с точностью до малых высшего порядка можно записать так: , где: , , Е - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона материала пластины. Согласно [8] линейное уравнение колебаний будет иметь вид: , с соответствующими граничными условиями, где: p и - давление и скорость звука в покоящемся газе, w - прогибы пластины, - плотность материала, - показатель политропы, v - скорость потока, число Маха . Пусть функция f может быть представлена в виде: , где: и - симметричные относительно соответствующих середин сторон пластины функции, удовлетворяющие условиям: , . Решения будем искать в классе функций: , где: . Критическую скорость потока будем находить как наименьшую скорость v, при которой комплексная частота переходит в правую полуплоскость. Проведя процедуру Бубнова-Галеркина, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Условие существования нетривиального решения составляет характеристическое уравнение, содержащее и M. Переходу от устойчивого состояния к неустойчивому будет соответствовать чисто мнимое значение . Приравняв к нулю действительные и мнимые части уравнения, получим с точностью до слагаемых первого порядка малости относительно выражение для : Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить такую функцию f, при которой принимает наибольшее значение при некоторых дополнительных ограничениях. В качестве ограничений, следуя [12], возьмем вышеуказанные условия и , . Первые условия означают постоянство перпендикулярного сечения пластины при фиксированной другой координате, вторые - что решение задачи ищется в классе гладких функций. Функция Лагранжа рассматриваемой задачи имеет вид: где: - неопределенные множители. Из условий стационарности получаем систему уравнений: , из которой находим: , . Обозначим , и примем условия нормировки , . Тогда: , . Параметры и находятся из граничных условий и вышеуказанных ограничений. Учитывая симметричность функций и , положим: , . Из равенства нулю интегралов получаем: . Окончательно будем иметь: , . При этом для достижения эффекта оптимизации знак нужно выбирать в зависимости от коэффициентов . В качестве примера рассмотрим стальную пластину, находящуюся в потоке воздуха, при следующих значениях параметров: , , . Функцию f возьмем в виде: . Результаты вычислений содержатся в таблицах. Из таблиц видно, что критическая скорость достигает экстремальных значений для функций f полученного выше вида (значения коэффициентов , и могут варьироваться и выбираются с учетом требования достаточно малого изменения толщины). Наибольшую и наименьшую величину критическая скорость во всех случаях достигает при одинаковых минимальных и максимальных значениях параметров. Как и отмечалось ранее [11] , утолщение к центру увеличивает критическую скорость, а к краям - понижает устойчивость. Концентрация материала пластины вдоль стороны, параллельной потоку, играет большую роль, чем вдоль перпендикулярной к нему. Наличие ненулевых коэффициентов и , добавляющих волнообразность изменения толщины вдоль одной из кромок, проявляется противоположным образом. Удлинение пластины поперек потока усиливает эффект изменения толщины, а вдоль - смягчает. Неравномерное распределение материала вдоль одной стороны не оказывает заметного влияния на зависимость критической скорости от изменения толщины вдоль другой стороны. Таблица 1. Значения критической скорости для квадратной пластины при Таблица 2. Значения критической скорости при Таблица 3. Значения критической скорости при Таблица 4. Значения критической скорости при Таблица 5. Значения критической скорости при Таблица 6. Значения критической скорости при Выводы В работе исследован флаттер конечной пластины переменной толщины. Найдена критическая скорость потока при различных значениях параметров, выявлены общие закономерности. Решена задача оптимизации распределения материала пластины при некоторых дополнительных ограничениях. Результаты могут быть использованы при расчетах надежности летательных аппаратов.