Simplex method for determining the response function extremum in the planning of the experiment

Abstract

The paper provides the results of implementation to the laboratory course the simplex method for determining the response function extremum after finding the optimal conditions of the experiment.

Full Text

Особенность разработанного в начале шестидесятых годов метода симплексного планирования заключается в том, что экспериментальные точки задаются положением правильного симплекса [1]. Как известно, у регулярного симплекса все расстояния между вершинами равны. Примером симплекса нулевой размерности является точка. Одномерный симплекс - отрезок прямой, двумерный - треугольник, трёхмерный - тетраэдр («пирамида»). Правильный k-мерный симплекс - это правильный выпуклый многоугольник с k+1 вершинами, расположенный в k-мерном пространстве. Симплекс в k-мерном пространстве позволяет представить совокупность k, действующих на исследуемый объект или процесс независимых факторов [1]. Из любого симплекса можно получить новый симплекс, если одну из вершин переместить в точку, зеркально симметричную относительно противолежащей грани. Так, симплекс ABC преобразуется в симплекс CBA' отражением вершины A в «грани» BC (рисунок 1). Рисунок 1. Пример симплекса 2-го порядка Рисунок 2. Определение вершин симплекса 2-го порядка Идея применения симплексного метода базируется на последовательном преобразовании симплекса при его «движении» к экстремуму. Это свойство находит широкое применение в процедуре оптимизации и определяет особое значение метода для определения условий производства. Точка, с которой начинается процесс оптимизации, выбирается из априорных соображений, например, на основе существующих регламентирующих положений. В случае электронных или микроэлектронных, в том числе и твердотельных приборов и устройств, необходимо учитывать особенности построения и конкретные принципы их функционирования [2]. Выбранная точка служит центром начального положения симплекса. В распространенных методах оптимизации [3] можно выделить пробные эксперименты, предназначенные для выявления направления движения, и рабочие шаги, выполняющие продвижение к экстремуму. Особенностью симплексного метода оптимизации является совмещение изучения поверхности отклика с продвижением по ней к экстремуму. Это достигается тем, что эксперименты ставятся в точках факторного пространства, соответствующим вершинам симплексов. Чтобы двигаться к экстремуму, необходимо от исходного симплекса перейти к симплексу, находящемуся в области повышенных (если ищется максимум) значений отклика. Это достигается сравнением значений отклика в вершинах треугольника. Изначально находится вершина, в которой отклик минимален. Следующий опыт ставится в точке, зеркально симметричной этой вершине. Тем самым симплекс перемещается «подальше» от неблагоприятной точки. Для нового положения симплекса опять сравниваются значения откликов, находится минимальный, и процесс движения симплекса повторяется. Так происходит до тех пор, пока симплекс не начнёт вращаться вокруг некоторой точки, которую и следует принять за оптимальную - ту, где достигается экстремум. Вращение симплекса вокруг некоторой точки говорит о локализации области экстремума. Для уточнения координат последнего следует продолжить опыты, предварительно уменьшив шаги по независимым переменным. Координаты вершин правильного k-мерного симплекса с центром, расположенным в начале координат, можно определить из следующей матрицы: -r1 -r2 -r3 … -rk-1 -rk R1 -r2 -r3 … -rk-1 -rk 0 R2 -r3 … -rk-1 -rk ... 0 0 0 … Rk-1 -rk 0 0 0 … 0 Rk где: ri и Ri - радиусы сфер, соответственно вписанных и описанных около i-мерного симплекса [1]. Если принять длину ребра i-мерного симплекса равной единице, то радиусы ri и Ri вычисляются по формулам: (1) В приведенной выше матрице координаты вершин задаются строками матрицы. Первой вершине соответствует первая строка, второй - вторая и т.д. Отчёркнутая слева сверху часть матрицы задаёт координаты трёх вершин треугольника. Предварительно найдём: . Итак, первая вершина имеет координаты , вторая , третья . Справедливость полученных результатов можно проверить, исследуя симплекс, приведенный на рисунке 2. Приведём также формулу, позволяющую вычислить координаты новой вершины симплекса, являющейся зеркальным отражением прежней вершины: , (2) где: - среднее значение координат всех точек симплекса, кроме прежней, отбрасываемой; - координата прежней вершины. Таким образом, симплексный метод обладает рядом положительных качеств, позволяющих использовать его в производственных условиях для решения задач оптимизации. Простота, возможность включения дополнительных факторов на любом этапе исследования, автоматическое исправление грубых ошибок являются важнейшими свойствами метода. Условия проведения опыта в отражённой точке определяются выражением (3): Х (k+2)i = 2Х0i±Xнi, (3) где: i = 1,2,…, k; Xнi - i-я координата точки с наихудшими результатами; Х (k+2)i - i-я координата новой точки, получаемой в результате зеркального отражения точки с наихудшими результатами. X0i - i-я координата центра противоположной грани, которая определяется по формуле (4): В числителе суммируются координаты всех точек симплекса с (k+1)-й вершиной, кроме координаты точки с наихудшими результатами (i=н). Новый k-мерный симплекс получается из оставшейся грани добавлением к ней отражённой точки. Следует подчеркнуть, что это перемещение к экстремуму происходит с каждым экспериментом. Рисунок 3. Блок-схема алгоритма программы поиска экстремума функции отклика симплексным методом Показателем выхода в район экстремума служит прекращение поступательного движения симплекса и начало его вращения вокруг одной из вершин. При этом одна и та же точка последовательно встречается более чем в (k+1) симплексах. Следует отметить, что направление движения к оптимуму, определяемое с помощью симплекса, является в общем случае крутым, траектория движения в этом случае представляет собой ломаную линию, колеблющуюся вокруг линии наиболее крутого восхождения. Интерактивный характер методического обеспечения учебного процесса при изучении данной темы предполагает возможность вариативного задания исходных данных. Данное требование успешно реализуется в разработанном с привлечением методов линейного программирования лабораторном практикуме по курсу «Планирование и организация эксперимента». Лабораторная работа «Симплексный метод при определении экстремума функции отклика» базируется на программном обеспечении, разработанном в ходе выполнения дипломного проектирования. В практической части лабораторного занятия предлагается выполнить два задания (I) и (II), каждое из которых включает в себя расчетную часть и экспериментальную. Блок-схема алгоритма программы представлена на рисунке 3. Практическая часть I. Провести исследование математической функции отклика где параметры X1 и X2 задаются в пределах от 1 до 23 безразмерных единиц. Расчетная часть. Результат математического анализа алгебраического выражения (5) представляет собой теоретическое значение экстремума. Экспериментальная часть. Для экспериментального исследования функции, заданной выражением (5), следует выбрать в разделе «Исследование функций отклика» пункт «неизвестная» (рис.4 а). При этом нам необходимо задать первоначальные параметры проведения исследования и шаги варьирования параметров. Нахождение экстремума (максимума или минимума) производится при выборе соответствующей кнопки в окне программы. Результаты расчётов приводятся в виде таблицы. Для просмотра результатов в графической форме следует нажать соответствующую кнопку в окне программы. В появившемся окне программы будет прорисовываться симплекс. Для повторной прорисовки симплекса следует дважды щелкнуть левой кнопкой мыши по окну, где прорисовывается симплекс. II. Провести исследование функции, определяющей диаметр d электронного пучка при электронно-лучевом экспонировании. Расчетная часть. Теоретическая зависимость для параметра d может быть представлена в виде: где: С - коэффициент сферической аберрации (для различных конструкций электронно-оптической систем лежит в пределах 5-102); Iп - ток пучка, А; J - плотность тока эмиссии катода, А/см2; Т - абсолютная температура катода, К; Е - энергия электрона, эВ; k - постоянная Больцмана 1,3807∙10-23 Дж/К. При исследовании функции диаметра d пучка электронов в случае электронно-лучевого экспонирования изменяются два параметра: ток пучка электронов (Iп, ось Х) и плотность тока эмиссии катода (J, ось Y). Ток пучка электронов задается в пределах 1·10-7¸1·10-6 А с шагом варьирования в пределах 0,5·10-7¸0,5·10-6. Параметр «плотность тока эмиссии катода» задаётся в пределах 0,5¸1 А/см2 при шаге 0,2 А/см2 . Для исследования функции «диаметр пучка электронов» следует задать первоначальные значения параметров проведения исследования и шаги варьирования параметров (рисунок 4 б). а) б) Рисунок 4. Исследование функций отклика (а), первоначальные значения параметров (б) Данная функция исследуется только на минимум, поэтому, нажав кнопку окна программы, следует выбрать «Поиск минимума». Результаты расчётов приводятся в таблице. Для просмотра результатов в графической форме следует нажать кнопку в окне программы. В появившемся окне программы будет прорисовываться симплекс. Для повторной прорисовки симплекса следует дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши» по окну, где прорисовывался симплекс. На рисунке 5 приводится графическое отображение интерфейса пользователя при выполнении одного из вариантов работы. Результаты вычислительных операций при построении симплекса приводятся в виде таблицы. Наглядность представления результатов расчетов обеспечивается отображением на плоскости последовательного перемещения экспериментальных точек, соответствующих вершинам симплекса. Рисунок 4. Пример успешной реализации задания при построении симплекса Следует отметить, что симплексный метод планирования позволяет локализовать лишь область экстремума. Определение непосредственной точки экстремума требует привлечения иных методов, широко представленных в литературе [1, 3]. Одним из возможных направлений решения задачи является продолжение исследований при последовательном уменьшении шага варьирования переменных. Возможное расхождение теоретических оценок от практических результатов даже при минимальном значении шага может являться следствием погрешностей при задании переменных и измерении отклика. Непосредственное определение условий экстремума в опыте дает возможность найти правильное решение при использовании искаженных исходных данных или при неполной или неточной информации об объекте. Это необходимо учитывать в производственной деятельности, где цена ошибки может быть особенно велика. Использование в учебном процессе лабораторной работы «Симплексный метод при определении экстремума функции отклика» позволяет студентам приобрести практические навыки проведения экспериментальных исследований с использованием самых передовых научных технологий и открывает перед ними, как молодыми специалистами, еще более широкие возможности в деле их творческой реализации.