Analytical method of determining the extreme positions of special mechanisms using software systems

Full Text

На рисунке 1 представлена кинематическая схема исследуемого механизма [1 - 4], у которого определение крайних положений происходит не традиционно. Этот шестизвенный плоский рычажный механизм имеет одну степень свободы, что позволяет сравнительно просто проводить его структурный анализ и исследовать его кинематику. Но при анализе циклического движения необходимо знать крайние положения выходного звена (ползуна E), что вызывает некоторые сложности для студентов, выполняющих кинематический расчет данного механизма.. Чтобы правильно определить крайние положения выходного звена (крайние положения этого механизма) надо дополнительно построить 12 или более положений точки К шатуна и провести через эти точки шатунную кривую. Задаваясь положением точек ползуна на направляющей, раствором циркуля, равным чертежной длине шатуна KE найти такие положения иголки циркуля, чтобы дуга, проведенная циркулем проходила касательно к шатунной кривой. Такой графический метод все ещё находит применение при кинематических расчетах механизмов этого типа. Достоинством такого способа построения следует считать его простоту, а к недостатку нужно отнести его небольшую точность. С целью более точного определения крайних положений ползуна, следует применять аналитические методы. Известно, что в крайних положениях механизма скорость выходного звена равна нулю, а ускорение есть и направлено в сторону другого крайнего положения (в нашем случае, в крайнем нижнем положении ускорение положительно, в крайнем верхнем положении ускорение отрицательно). Исходя из этих общих предпосылок, находим решение задачи о положениях ползуна E как решение экстремальной задачи, т.е. находим аналоги скоростей и приравниваем их к нулю. Решение такой задачи возможно, если известны все положения всех звеньев данной кинематической цепи и их аналоги скоростей и ускорений. Рисунок 1. Кинематическая схема механизма В соответствии с обозначениями на рисунке 1 имеем: Необходимыми условиями для крайнего нижнего положения ползуна будут а необходимые условия для крайнего верхнего положения ползуна находим следующим образом. Для определения вышеприведенных величин воспользуемся разработанным на кафедре программным модулем для исследования кинематики плоских рычажных механизмов Diada. Основной особенностью данного модуля является возможность расчета кинематических характеристик для всех двухповодковых групп Ассура плоских рычажных механизмов. В итоге получаем гибкий и универсальный метод для анализа положений, аналогов скоростей и ускорений всех звеньев группы Ассура в зависимости от положения, аналогов скорости и ускорения ведущего звена. Рассматриваемый механизм состоит из начального звена и групп Ассура первого и второго видов. Движение звеньев механизма может быть организовано следующим образом: задаем циклическое движение кривошипа с угловым шагом и обращаемся к процедуре, вычисляющей кинематику группы Ассура первого вида, затем к процедуре для вычисления кинематики группы Ассура второго вида. Из рисунка 2 следует, что название параметров синтеза в рисунке не соответствуют истинным обозначения (см. рисунок 1). Дело заключается в том, в процедурах для вычисления кинематических характеристик используется т.н. входные формальные параметры, которые должны заменяться входными фактическими при обращении к процедуре. Результаты вычислений в каждой процедуре хранятся в т.н. выходных (возвращаемых) параметрах. Такое построение вычислительного процесса повышает универсальность каждой процедуры. Рассмотрим расчет кинематики для группы Ассура первого вида (2ПГ1В). Определение положений звеньев Положения звеньев данной группы Ассура определим с помощью рисунка 1, на котором представлена схема группы в соответствующей системе координат, обозначения звеньев и кинематических пар. Назовем конфигурацию группы сборкой № 1, когда координата точки B в локальной системе координат x1o1y1 By1 > 0, в противном случае мы имеем сборку № 2. Известны координаты точек A,C в абсолютной системе координат, длины звеньев l2 и l3 и необходимо определить абсолютные координаты точки B, углы f2 и f3. Расстояние AC определим по теореме Пифагора . Угол a определим по формуле , а для определения локальных координат Bx1 и By1 воспользуемся теоремой косинусов и теоремой Пифагора. Учитывая, что Bx1 = l2cosÐBAC, получаем , . Здесь необходимо отметить, что если конфигурация группы Ассура соответствует сборке № 2, то By1 = - By1. Рисунок 2. Расчетная схема группы Ассура 1 вида Теперь можно определить абсолютные координаты точки B, используя метод преобразования координат: . Затем определяем углы наклона звеньев l2,l3 - j2 и j3 . Так как все углы отсчитываются от положительного направления оси X, то в библиотеку процедур включена специальная функция, вычисляющая угол в радианах в любой четверти через арктангенс (Atan2). Более того, все вычисления углов в процедурах осуществляются при помощи этой функции. Определение аналогов скоростей Для определения аналогов скоростей воспользуемся методом замкнутых векторных контуров и напишем проекции векторного уравнения на координатные оси (1) Продифференцируем полученные уравнения по обобщенной координате j1. Учитывая, что нам известны значения аналогов скоростей точек A и C (Vax,Vay,Vcx,Vcy), а также значения углов j2,j3, получим линейную систему двух уравнений (2) где неизвестными являются аналоги скоростей w2,w3. Решение данной системы линейных уравнений проведем методом Крамера. В этом случае представляем уравнения в виде , (3) где коэффициентами a11, a12, a21, a22, b1, b2 представлены следующие постоянные, известные нам по значениям, выражения: Тогда , . (4) или Определение аналогов ускорений Для получения аналогов ускорений дважды продифференцируем уравнения (1) по j1: . Преобразуем полученные выражения к виду (3) где коэффициенты a11, a12, a21, a22 сохраняют свои старые значения, а b1,b2 определяются по следующим зависимостям: . В этом случае, аналоги ускорений e2, e3 будут равны: . (5) или Рассмотрим расчет кинематики для группы Ассура второго вида (2ПГ2В). Схема данной группы Ассура, координатная система и обозначения кинематических пар и звеньев представлены на рисунке 3. Рисунок 3. Расчетная схема группы Ассура второго вида (2ПГ2В) Определение положений звеньев Вычислим координаты точки A в локальной системе координат X1CY1 (6) В выражении (6) нам известны абсолютные координаты точек A,C, а также угол наклона направляющей для поступательной пары группы - j3. К числу неизвестных, подлежащих определению, относятся координаты точки А в локальной системе координат X1CY1. Перенеся Cx и Cy в правую часть, получим линейную систему двух уравнений, решение которой представим в виде: , (7) Здесь b1 = Ax - Cx и b2 = Ay - Cy. Так как определители знаменателей в (7) равны 1, то значения неизвестных равны значениям определителей, расположенных в числителях . Далее определяем x2 - проекцию звена 2 на направляющую , а затем и длину направляющей CB . Абсолютные координаты точки B и угол наклона звена l2 определяем по следующим выражениям: . (8) Определение аналогов скоростей Для определения аналогов скоростей напишем проекции замкнутых векторных контуров на координатные оси X и Y (9) Произведя дифференцирование данной системы уравнений по j1 и простейшие преобразования, получим линейную систему уравнений, в которой неизвестными являются w2 и V4 . (10) Решение данной системы уравнений получим в виде , (11) где (12) Определение аналогов ускорений Дважды продифференцировав (9) и проведя небольшие преобразования, получим значения аналогов ускорений e2 и A4 , (13) где a11,a12,a21,a22 определяются из (12), а b1,b2 вычислим следующим образом: (14) Дан пример обращения к процедуре Diada1v (см. рисунок 2). Diada1v(sb, ax, ay, vax.vay, aax, aay, cx, cy, vcx, vcy, acx, acy, ab, bc, fi2, omega2, epsi2, fi3, omegа3, epsi3); Приведены описания всех параметров данной процедуры. Здесь: sb обозначает сборку группы Ассура. Сборка, изображенная на рисунке 2 является сборкой 1, а сборка, имеющая оординату точки A в локальной системе координат y1Ax1 с минусом - сборкой 2. Bx, by, vbx, vby, abx, aby - координаты входной точки b, ее аналоги скорости и аналоги ускорений точки группы Ассура. Dx, dy, vdx, vdy, adx, ady - координаты выходной точки d, ее аналоги скорости и аналоги ускорений. ab, bc - действительные длины звеньев в метрах. Последние шесть параметров процедуры являются вычисляемыми и возвращающими свои значения в основную программу. Это - угловые положения звеньев ab и bc, их аналоги угловых скоростей и ускорений. Diada2v(ax, ay, vay, vay, aax, aay, C0x, C0y, 0, 0, 0, 0, fi3, 0, 0, L2, 0, fi2, omega2, epsi2, L4, V4, A4). В данном обращении к процедуре первые шесть параметров являются формальными параметрами первой входной точки A (положение, аналоги скоростей и ускорений в абсолютной системе координат YOX) , второй выходной точки C (положение, аналоги скоростей и ускорений в системе координат YOX), положение направляющей ползуна, ее аналоги угловой скорости и углового ускорения для нашего случая равны нулю, длина звена 2 и длина звена 3 (здесь длина звена 3 равна нулю). Последние шесть параметров являются возвращаемыми (угловое положение звена 2, его аналоги скорости и ускорения, а также положение выходной точки В на направляющей, ее аналоги скорости и ускорения. Подставив при вычислении все действительные параметры, получим реальные значения результатов при определении конкретных условий для определения крайних положений ползуна. Результаты расчетов приведены на рисунках 4, 5. Рисунок 4. Нахождение крайнего нижнего положения ползуна E Рисунок 5. Нахождение крайнего верхнего положения ползуна E Как видно из рисунков, метод определения крайних положений механизма действительно работает. Этот факт находит свое подтверждение как при поиске минимального значения положения ползуна (вертикальная скорость ползуна обращается в нуль, а ускорение ползуна по вертикальной направляющей есть и оно направлено в сторону другого крайнего положения), так и при поиске максимального значения положения ползуна (вертикальная скорость ползуна становится равной нулю, а ускорение есть и направлено в сторону минимального крайнего положения). В результате анализа рисунков 4 и 5, можно утверждать, что положения механизма, планы скоростей и ускорений для крайних положений являются найденными.

About the authors

V. A. Ivanov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.; 8(499)267-12-02

V. V Korenovskiy

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: vkorenovskii@mail.ru
Ph.D.; 8(499)267-12-02

A. N. Mamaev

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.; 8(499)267-12-02

References

Supplementary files