Mathematical modeling of measuring transducers

Abstract

The paper presents mathematical models, a process of selection of an optimal structure and parameters of a pulse measuring transducer.

Full Text

Известно, что импульсный сигнал при прохождении через электрическую цепь подвергается искажению и меняет свою форму, амплитуду, длительность и т.п. Характер этих искажений и их величина связаны с параметрами исходного импульсного сигнала и электрической цепи. Тогда при фиксированной форме и величине импульсного сигнала его искажения будут связаны только с параметрами электрической цепи. Следовательно, можно создать такую цепь в виде первичного измерительного преобразователя (ПИП), включённого в измерительную цепь, чтобы величина и характер искажений исходного импульсного сигнала была бы связана с каким-либо информативным параметром. Целью настоящей работы является построение математических моделей измерительных преобразователей (ИП), реализующих описанный выше способ, построенных по различным схемам и использующих различные импульсные сигналы. Пусть дана последовательность импульсных сигналов различной формы (см. рисунок 1), которая, конечно же, не описывает всего многообразия импульсных сигналов. Для этих сигналов изображение по Лапласу x(p) выглядит следующим образом [1]: (1) (2) (3) где A - амплитуда сигнала; t - длительность импульса; q - период сигнала. В качестве базовых схем ИП предложено использовать типовые звенья, эффективно применяемые на практике. Пусть импульсный сигнал прямоугольной формы (см. рисунок 1а) проходит через апериодическое звено первого порядка, передаточная функция которого равна: (4) где - коэффициент усиления звена; - постоянная времени. В этом случае при : (5) а при : (6) где - текущее время. Вообще, для имеем: . (7) Введём переменную , (8) тогда (9) При , т.е. при установившемся режиме, выражение (9) для случая имеет вид: (10) а для случая : (11) Рисунок 1. Виды импульсных сигналов: а - прямоугольной формы; б - пилообразной формы; в - треугольной формы На рисунке 2 показан один период установившегося импульсного сигнала прямоугольной формы, прошедшего через апериодическое звено первого порядка. При этом нарастающая экспонента описывается уравнением (10), а убывающая - уравнением (11). Для того чтобы определить длительность искажённого импульса, проведём на уровне прямую, параллельную оси абсцисс. Тогда текущая ордината будет иметь вид y = xвых, а интеграл от xвых по относительно этой прямой будет равен: (12) Откуда: . (13) Тогда из выражения (10) с учётом (13) найдём время нарастания импульса (от уровня до уровня ): (14) а время спада импульса (от уровня до уровня ) равно: . (15) Откуда легко найдём длительность выходного импульса: . (16) Из выражения (16) следует, что [2]: - длительность прямоугольного импульса, прошедшего через апериодическое звено первого порядка τвых, отличается от исходной длительности импульса τвх; - при θ = 2τ → τвых = θ - τ = τ и не зависит от T; - при фиксированных θ и τ, а также длительность τвых является функцией только постоянной времени звена и, следовательно, определяется только элементами, составляющими это звено; - длительность выходного импульса τвых не зависит от амплитуды входного импульса и коэффициента усиления апериодического звена, что свидетельствует о нечувствительности к этим параметрам и амплитудным помехам; - возможно построить ИП, питаемый прямоугольным импульсным сигналом с , входным параметром которого будет сопротивление R (кондуктометрический ИП) или ёмкость C (диэлькометрический ИП) ПИП, включённая в апериодическое звено первого порядка, а выходным - длительность импульса, прошедшего через это звено. Изменение длительности исходного прямоугольного импульса при его прохождении через апериодическое звено первого порядка связано с его искажением, т.е. процессам заряда-разряда ёмкости этого звена. В случае представления прямоугольного импульса как суммы гармоник ряда Фурье, это искажение будет связано с амплитудно-частотной характеристикой звена первого порядка, пропускающего по разному гармоники с различными частотами, в результате чего результирующая этих гармоник будет отличаться от исходного сигнала. По аналогии с вышеизложенным для импульсного сигнала пилообразной формы (см. рисунок 1б) время нарастания и спада импульса запишем в виде: , (17) . (18) Рисунок 2. Выходной сигнал апериодического звена первого порядка при прямоугольном входном сигнале Из уравнения (17) следует, что оно неразрешимо относительно параметра , поэтому выразить в явном виде τвых невозможно. Величина τвых может быть найдена только численным методом. Для сигнала с треугольной формой время нарастания и спада импульса: , (19) , (20) (21) Из уравнений (19 - 21) видно, что они также неразрешимы относительно параметра , поэтому система этих уравнений может быть решена только численным методом. Для дифференцирующего звена без статизма, передаточная функция которого описывается уравнением: (22) при импульсном входном сигнале прямоугольной формы (рисунок 1а) выходной сигнал имеет вид: - для : (23) - для : . (24) После дифференцирующего звена без статизма импульсный сигнал прямоугольной формы не имеет постоянной составляющей, в точках и т.д. мы имеем разрывы первого рода, а длительность положительного и отрицательного импульсов, соответственно, равна и , что исключает возможность использования дифференцирующего звена без статизма в ИП, основанном на измерении длительности выходного импульса по отношению к входному. Использование дифференцирующего звена с астатизмом с передаточной функцией: (25) является частным случаем выражения (22), при T = T0. Выходной сигнал для этого звена будет иметь вид (26) Интегрирующее звено имеет следующую передаточную функцию: . (27) При использовании интегрирующего звена можно применять только двуполярный импульсный сигнал, для которого выполняется условие , а не однополярный, как на рисунке 1. Тогда длительность выходного сигнала равна: (28) Из выражения (40) следует, что τвых не зависит от параметра Т, следовательно, интегрирующее звено не может быть использовано в ИП. Дифференцирующее звено со статизмом имеет следующую передаточную функцию: . (29) При входном импульсном сигнале прямоугольной формы выходной сигнал будет иметь вид: (30) Для импульса пилообразной формы (рисунок 1б) выходной сигнал описывается следующими выражениями: , (31) . (32) Из выражения (43) следует, что оно может быть решено только численным методом. Инерционное звено второго порядка имеет следующую передаточную функцию: . (33) В зависимости от вида корней характеристического уравнения инерционное звено второго порядка может иметь различные переходные характеристики, в результате чего различают апериодическое звено второго порядка и колебательное звено. Рассмотрим апериодическое звено второго порядка, для которого σ1 и σ1 - действительные корни характеристического уравнения. Обозначив (34) определим изменение выходной величины при прямоугольном входном импульсном сигнале. Время нарастания и спада сигнала: (35) . (36) Из выражений (47, 48) следует, что они могут быть разрешены относительно параметра только численным методом. Передаточная функция неминимально-фазового звена имеет следующий вид: . (37) Длительность прямоугольного импульса, прошедшего неминимально-фазовое звено, равна: (38) Таблица 1 Математические модели выходных сигналов различных типовых звеньев при входном импульсном сигнале прямоугольной формы № Типовое звено Математическая модель 1 Апериодическое звено 1-го порядка 2 Дифференцирующее звено с астатизмом 3 Дифференцирующее со статизмом 4 Неминимально-фазовое звено В результате проведённых исследований были рассмотрены следующие звенья: апериодическое первого и второго порядка, дифференцирующее с астатизмом, дифференцирующее без статизма, интегрирующее, дифференцирующее со статизмом и неминимально-фазовое. В таблице 1 приведены математические модели ИП для различных типовых звеньев при входном импульсном сигнале прямоугольной формы. При анализе этих звеньев на предмет зависимости длительности сигнала прямоугольной, треугольной и пилообразной формы от постоянной времени звена было выявлено, что не все звенья могут быть использованы в качестве ИП. Выводы 1. Найдены математические модели ИП на основе типовых звеньев. 2. Исследована возможность использования импульсных сигналов различной формы для питания ИП. 3. В ходе анализа выявлены возможные сочетания ИП и типовых сигналов для их дальнейшего практического использования.