Computer analysis of unsteady creeping of construction rod elements

Abstract

The article considers the method and algorithm of the computer analysis of viscoelastic deformation of a beam in a non-stationary temperature field. The data of program realization of the offered method of calculation are presented. The example of calculation of process of unsteady creep of a beam is adduced at thermomechanical influence.

Full Text

Рассматривается вязкоупругое деформирование стержневого элемента в форме бруса с переменным поперечным сечением F = F(z) при нестационарном температурном воздействии. Координатная ось z проходит через центр тяжести бруса, ось y лежит в плоскости изгиба. Брус нагружен распределенной по оси z поперечной нагрузкой , осевой нагрузкой , осевым усилием , поперечным усилием и нагрет до температуры T (z , y). Примерная расчетная схема рассматриваемой конструкции показана на рисунке 1. Рисунок 1. Расчетная схема стержневого элемента Силовые нагрузки достигают заданных значений в начальный момент времени и в дальнейшем при развитии процесса ползучести не изменяются. Температура T (z , y) в общем случае изменяется во времени по ступенчатому закону. Полагаем, что рассматриваемая конструкция является статически определимой и граничные условия на торцах бруса заданы. Влиянием касательных напряжений на изгиб бруса пренебрегаем, - при изгибе поперечные сечения бруса остаются плоскими. В процессе ползучести распределение напряжений и деформаций по высоте поперечного сечения с течением времени изменяется. Разрешающую систему дифференциальных уравнений для бруса в начальный момент времени записываем в виде: , , , (1) , , , где - осевое усилие в брусе; - поперечное усилие в брусе; - изгибающий момент в брусе; - осевое перемещение центра тяжести; - прогиб; - угол поворота поперечного сечения бруса; - упругая составляющая осевой деформации; - температурная составляющая осевой деформации; - упругая составляющая кривизны оси бруса; - температурная составляющая кривизны оси бруса; , ; , ; ; . (2) Уравнения (1) описывают упругую деформацию бруса в начальный момент времени . Выполнив решение системы (1) при заданных граничных условиях на торцах бруса, определяем все компоненты начального напряженно-деформированного состояния бруса в момент времени , в том числе напряжения в брусе, а также параметры , . Рассмотрим процесс развития деформаций ползучести при . Скорость изменения полной деформации в точке бруса , где - скорость изменения упругой деформации; - скорость изменения деформации ползучести. Точкой обозначено дифференцирование по времени . Согласно теории ползучести [1], компоненты скорости ползучести: , где - составляющие девиатора напряжений; ; - интенсивность напряжений; - интенсивность скорости деформаций ползучести. При расчетах на ползучесть используется обобщенная зависимость , которая совпадает с экспериментальной зависимостью . В случае одноосного напряженного состояния , , . Таким образом, скорость деформации ползучести в брусе . (3) В силу гипотезы плоских сечений , (4) где - скорость изменения линейной деформации оси бруса, - скорость изменения кривизны оси бруса. Таким образом, в рассматриваемой точке бруса: . (5) Следовательно, в поперечном сечении z бруса: скорость изменения нормального усилия = = = ; (6) скорость изменения изгибающего момента = = = , (7) где , . (8) Так как по условию задачи рассматриваемая конструкция статически определима, а внешние нагрузки и температура не изменяются на стадии развития деформаций ползучести, заключаем, что внутренние усилия в брусе в процессе ползучести сохраняют свои начальные значения, т.е. , , . Принимая во внимание уравнения (6) и (7), получим = 0, = 0. (9) Решая систему (8) относительно и , находим: , , (10) где определяется формулой (2). Скорость изменения напряжений в брусе вычисляем по формуле (5). Дифференцируя по параметру последние три уравнения системы (1), получим с учетом соотношений (10) систему уравнений для определения скорости перемещений в брусе: , , . (11) Следуя работе [2], вводим в рассмотрение вектор = , который полностью определяет напряженно-деформированное состояние конструкции. Пусть в некоторой точке процесса ползучести, характеризуемой параметром , составляющие вектора известны. Тогда могут быть определены физико-механические параметры конструкционного материала, а затем последовательно вычислены параметры , по формулам (8), скорости деформаций , в узловых сечениях по формулам (10) и скорости напряжений по формуле (5). Далее, выполнив решение краевой задачи (11) при заданных граничных условиях, можно найти скорости перемещений , , . Таким образом, производная вектора состояния при заданной программе температурного воздействия является функцией параметра и вектора : . (12) Зависимость (12) можно рассматривать как математическую модель кинетики процесса вязкоупругого деформирования исследуемой конструкции при переменном температурном воздействии. Полагая, что в начальной точке процесса вектор состояния известен, сводим рассматриваемую задачу к решению задачи Коши для уравнения (12) при начальном условии . (13) При построении алгоритма расчета программу работы конструкции разбиваем на ряд этапов < < … < < <… < , величина которых определяется характером изменения температурного воздействия. Модель изделия представляем в виде совокупности узловых поперечных сечений и узловых точек в узловых сечениях (рисунок 2), количество которых зависит от характерных особенностей конструкции и требуемой точности расчета. Рисунок 2. Геометрическая модель бруса Численное решение задачи Коши (12)-(13) на этапе ползучести выполняем методом Рунге-Кутта. При вычислении правой части системы (12) сначала вычисляем параметры , , , , . Параметры , определяем путем численного интегрирования. Далее выполняем численное решение линейной краевой задачи (11) относительно неизвестных , , в узловых сечениях исследуемой конструкции. В процессе решения учитываем изменение параметров состояния конструкционного материала. Решив задачу Коши (12) - (13), находим значения векторов состояния во всех узловых поперечных сечениях и узловых точках на заданном интервале изменения параметра , получая полное описание кинетики процесса неизотермического вязкоупругого деформирования изделия. Численная реализация разработанного метода компьютерного анализа ползучести рассматриваемых конструкций осуществлена в виде программного обеспечения. Программный комплекс «Creep Rod» имеет модульную структуру, функционирует в операционных системах Windows 2000 / XP / 7, предоставляет пользователю удобный графический интерфейс. В качестве примера рассмотрим процесс ползучести консольного бруса (рисунок 1). Длина бруса L = 1000 мм, поперечное сечение имеет прямоугольную форму: ширина сечения b =10 мм, высота h = 60 мм. Материал бруса - жаропрочная сталь 45Х25Н20С с пределом текучести =240 МПа при 20 ºС. Модуль упругости материала бруса: . Математическая модель ползучести стали 45Х25Н20С получена на основе экспериментальных данных [3]: . Параметры модели ползучести материала: A = 6,3 .1011, n = 1,5, B = 4,8 .104, C = 2,9 .104. В начальный момент времени () брус нагружали поперечной силой = 120 Н, приложенной к свободному торцу, и нагревали равномерно до температуры T = 960 ºC. Компьютерный анализ показывает, что в заданных условиях конструкция работает в упругой стадии. Интенсивность напряжений в наиболее опасных точках не превышает 20 МПа. В процессе развития деформаций на этапе неустановившейся ползучести напряжения и деформации в поперечных сечениях бруса непрерывно изменяются во времени. Длительность этапа неустановившейся ползучести не превышает 600 часов, затем распределение напряжений в брусе стабилизируется. На рисунке 3 показано распределение напряжений по высоте поперечного сечения бруса в начальный момент времени (прямая 1). Кривая 2 показывает распределение напряжений по высоте поперечного сечения в момент времени = 8000 час. Результаты расчета показывает, что в начальный момент времени прогиб в торцевом сечении бруса (z = 1000 мм) составляет 2,1 мм. В процессе развития деформаций ползучести прогиб увеличивается и через 8000 часов составляет 47,4 мм. Программный комплекс «Creeping Rod» применяли для компьютерного анализа работы рассматриваемой конструкции при нестационарном температурном воздействии. В начальный момент времени () брус нагружали равномерно распределенной по оси z поперечной нагрузкой 0,25 Н/мм. Величину нагрузки в дальнейшем не изменяли. На первом этапе брус нагревали до температуры 960 ºC и при этой температуре выдерживали 2000 час. На втором этапе температуру нагрева увеличивали до 1000 ºC . Длительность второго этапа также составляла 2000 час. На третьем этапе температуру бруса снижали до 940 °C и при этой температуре выдерживали 2000 час. Результаты компьютерного анализа показывают, что в начальный момент интенсивность напряжений в брусе не превышает 20,9 МПа. Затем в течение 500 час на первом этапе происходит перераспределение напряжений и деформаций в поперечных сечениях бруса, вследствие чего максимальные напряжения в брусе снижаются до величины 16,3 МПа. Рисунок 3. Напряжения в сечении На рисунке 4 показаны прогибы свободного торца бруса на всех этапах численного эксперимента. Средняя скорость перемещения торца бруса вследствие ползучести на первом этапе равна 7,5 ·10-3 мм/час, перемещение торцевого сечения составляет 17,9 мм. На втором и третьем этапах средняя скорость перемещения торца бруса равна соответственно 1,6 ·10-2 мм/час и 2,5 ·10-3 мм/час, перемещения торцевого сечения составляют соответственно 49,9 мм и 54,9 мм. Предложенный метод компьютерного анализа позволяет получить решение ряда новых задач по расчету и исследованию неустановившейся ползучести стержневых элементов конструкций, работающих в условиях нестационарного термомеханического воздействия. В частности, данный метод открывает путь к решению практических задач оптимизации нестационарных режимов эксплуатации оборудования с целью снижения интенсивности процессов вязкоупругого деформирования и накопления повреждений в материале изделий. Рисунок 4. Прогибы бруса при нестационарном температурном воздействии