Study of parametric oscillations of an automobile wheel

Abstract

The paper considers parametric oscillations of an automobile wheel caused by periodically varying radial stiffness as it is rolling down the road. The minimum stiffness modulation in which the movement may cause instability is set.

Full Text

Экспериментальные исследования жесткостных характеристик автомобильных колес свидетельствуют о том, что радиальная жесткость колеса периодически изменяется по мере его перекатывания по дороге [1]. В результате при движении автомобиля даже по абсолютно ровной дороге могут возникнуть неустойчивые параметрические колебания неподрессоренных масс. Рассмотрим двухмассовую расчетную схему подвески автомобиля, показанную на рисунке 1. Подрессоренная масса движется поступательно со скоростью , опираясь через безынерционные элементы подвески с жесткостью и коэффициентом вязкого сопротивления на колесо с переменной во времени радиальной жесткостью , где - среднее значение радиальной жесткости колеса, - амплитуда изменения радиальной жесткости колеса, - циклическая частота (рисунок 2). Модуляция жесткости шины колеса . Считаем, что , а коэффициент вязкого сопротивления колеса в радиальном направлении постоянный. Массу неподрессоренных частей обозначим Рисунок 1. Двухмассовая расчетная схема подвески автомобиля Рисунок 2. Изменение во времени радиальной жесткости колеса Из теории параметрических колебаний известно [2, 3], что основное значение имеет случай, когда частота параметрического возбуждения вдвое больше среднего значения собственной частоты системы. В рассматриваемой задаче за последнюю следует считать парциальную собственную частоту неподрессоренной массы , т.е. для расчета принимаем , где . Поэтому задача исследования состояла в определении на плоскости параметров (где ) границ зоны параметрической неустойчивости, а также в оценке минимальной величины модуляции жесткости , при которой возникнет неустойчивость параметрических колебаний. Собственная частота колебаний подрессоренной массы, как минимум, на порядок меньше по сравнению с собственной частотой колебаний неподрессоренной массы [4, 5]. Это позволяет пренебречь вертикальными смещениями подрессоренной массы при исследовании параметрических колебаний неподрессоренной массы. Введем обобщенную координату для описания вертикальных колебаний массы и запишем соответствующее уравнение движения: или , (1) где: - суммарный коэффициент вязкого сопротивления; - суммарная жесткость вертикальных связей неподрессоренной массы; . Заменой переменной уравнение (1) преобразуется к виду (уравнению Матье): , (2) где: , так как для реальных колебательных систем , то разницей между и будем пренебрегать. Решение уравнения (2) ищем в виде: (3) причем комплексную амплитуду можно считать медленно изменяющейся во времени величиной. Её изменение описывает возможную неустойчивость в системе, а также смещение частоты колебаний относительно собственной частоты . Знак * обозначает комплексно-сопряженные величины. После вычисления первой и второй производных от , в которых величинами и можно пренебречь по сравнению с другими слагаемыми, так как амплитуда медленно меняющаяся, и их подстановки в уравнение (2) получим: Поделим это соотношение на и усредним по времени . Все слагаемые, содержащие быстро меняющиеся экспоненты, обратятся в нуль, кроме содержащего экспоненту , т. к. по условию исследования и этот член не является колебательным. В результате усреднения получим уравнение: (4) Введем обозначение и новую переменную . Для действительных функций и получим систему связанных уравнений: (5) Решение будем искать в виде: где: - константы; - параметр, определяющий устойчивость параметрических колебаний. Из (5) следует условие существования нетривиального решения: или Для того, чтобы в системе возникла неустойчивость, необходимо . При будет граница зоны неустойчивости или: Учитывая, что , получим: На плоскости параметров - это гиперболы, симметрично расположенные относительно оси и имеющие вершины в точках и , что и показано на рисунке 3. Минимальное значение модуляции жесткости, при которой возможно возникновение неустойчивости, достигается при Оно равно Рисунок 3. Зоны параметрической неустойчивости Рассмотрим числовой пример. Если то частота собственных колебаний системы будет равна: относительный коэффициент потерь примет значение: а минимальное значение модуляции жесткости, при которой возможно возникновение неустойчивости равно: Заключение В результате проведенных исследований получены зависимости, позволяющие оценить границы зоны параметрической неустойчивости автомобильного колеса в области частот вблизи главного параметрического резонанса.