Mathematical modeling of the processes of thermo-viscous plastic deformation of materials

Full Text

Введение Разработка определяющих уравнений описания деформирования материалов в настоящее время идет двумя основными направлениями: разработка вариантов теорий на основе общей математической теории пластичности А.А. Ильюшина [1, 2] и разработка вариантов теорий течения при комбинированном упрочнении на основе концепции микронапряжений В.В. Новожилова [3]. В вариантах теорий первого направления нет разделения деформации на упругую и неупругую, а в теориях второго направления такое разделение есть. В работах [4–6] для пластичности на основе уравнений второго направления получены аппроксимации функционалов пластичности теории упругопластических процессов, в которой нет разделения деформации на упругую и пластическую. Главной особенностью полученного в [4–6] варианта теории является введение упругого и пластического состояний, но без разделения деформации на упругую и пластическую. Математическое моделирование термовязкопластических процессов и нелинейных процессов накопления повреждений при произвольных режимах длительного и (или) циклического нагружения возможно только на основе эволюционных уравнений деформирования и накопления повреждений, т.к. напряженно-деформированное состояние и повреждение являются функционалами процесса нагружения. Вариантами таких уравнений являются эволюционные уравнения, построенные на основе современных моделей термовязкопластичности [7–9]. Эти современные модели относятся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, а в качестве энергии, отвечающей за процесс накопления повреждений, в них принимается энергия, равная работе микронапряжений на поле неупругих деформаций. Вариант теории термовязкопластических процессов В векторном представлении А.А. Ильюшина [1, 2] уравнения теории неупругости [7] будут иметь вид: (1) (2) , (3) (4) где: и — векторы деформаций, упругих и неупругих деформаций; и векторы напряжений и добавочных напряжений (микронапряжений [3]); — длина дуги траектории неупругой деформации; — размер (радиус) поверхности нагружения, характеризующий изотропное упрочнение, — параметры изотропного упрочнения, неизотермического перехода и отжига; — параметры анизотропного упрочнения, неизотермического перехода и рекристаллизации; — время. Следует отметить, что здесь нет разделения деформации на пластическую и деформацию ползучести, а есть единая необратимая неупругая деформация. При развитых неупругих деформациях в условиях неупругого деформирования можно принять, что: (5) Тогда уравнения (1) — (4) примут вид: , (6) (7) . (8) Разрешая (6) относительно и дифференцируя по длине дуги , совместно с уравнениями (7), (8) можно получить следующее уравнение: (9) где: — производные по времени . Используя конкретные значения параметров неупругости [7], можно определить, что последнее слагаемое как минимум на порядок меньше остальных членов, и, значит, этим слагаемым в уравнении (9) можно пренебречь. Тогда уравнение (9) примет вид: (10) (11) (12) (13) Уравнение (10) принадлежит А.А. Ильюшину [1, 2, 10] и получено для случая обобщенных плоских задач. Здесь же уравнение (10) получено из общих соотношений теории неупругости без введения каких-либо ограничений на вид задачи, что позволяет рассматривать возможность его применения не только для обобщенных плоских задач. Для формулировки условий упругого и неупругого состояний вводится поверхность нагружения, которая изотропно расширяется или сужается и смещается в процессе нагружения. Уравнение поверхности нагружения принимается в следующем виде: . (14) Тогда состояние будет упругим, если напряженное состояние находится внутри поверхности нагружения или вектор приращения деформаций направлен внутрь поверхности нагружения. В случае, если напряженное состояние находится на поверхности нагружения и вектор приращения деформаций направлен во внешнюю сторону поверхности нагружения, то состояние будет неупругим. Окончательно уравнения прикладного варианта теории термовязкопластических процессов и кинетические уравнения накопления повреждений примут следующий вид: — упругое состояние (15) , (16) , (17) , (18) , (19) ; (20) — неупругое состояние (21) , (22) , (23) , (24) (25) . (26) Здесь — повреждение; — параметр, характеризующий нелинейность процесса накопления повреждений и зависящий от уровня микронапряжений; — параметр, отвечающий за процесс залечивания повреждений; — энергия разрушения; — параметр, обеспечивающий неизотермический переход; — параметр, отвечающий за процесс охрупчивания. К уравнениям (15)–(26) следует добавить уравнение, связывающее шаровые составляющие тензоров напряжений и деформаций , а также температурную деформацию : . (27) Материальные функции Определяющие функции (параметры), входящие в систему уравнений (15)–(27), выражаются [7] через материальные функции, подлежащие экспериментальному определению, следующим образом: Окончательно прикладной вариант теории термовязкопластических процессов замыкают следующие материальные функции, подлежащие экспериментальному определению: — упругие параметры; — параметры анизотропного упрочнения; — функция изотропного упрочнения; — начальная энергия разрушения; — параметр нелинейности процесса накопления повреждений; — параметры изотропной и анизотропной ползучести; — параметры залечивания и охрупчивания. Базовый эксперимент Для определения материальных функций необходим следующий набор данных базового эксперимента при различных уровнях температуры. Упругие параметры определяются традиционными методами. Для упругопластических процессов необходимы: · диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации ; · диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации после предварительного сжатия до деформации ; · циклические пластические диаграммы при одноосном растяжении-сжатии с постоянным размахом деформации . Для описания процессов накопления повреждений и разрушения дополнительно необходимы: · данные по малоцикловой усталости при одноблочном жестком циклическом нагружении с постоянным размахом деформации ; · данные по малоцикловой усталости при двухблочном жестком циклическом нагружении с размахом деформации на первом блоке и на втором блоке . Или (и) наоборот на первом блоке , а на втором блоке . Для описания упруговязкопластических процессов деформирования и накопления повреждений необходимы: · данные по релаксации напряжения при постоянной деформации растяжения ; · данные по зависимости скорости установившейся ползучести от напряжения растяжения; · диаграмма кратковременной ползучести при постоянном напряжении растяжения вплоть до разрушения. Для описания процессов залечивания и охрупчивания необходимы: · данные по длительной прочности при растяжении и сжатии; · данные по малоцикловой усталости с постоянным размахом деформации (порядка ) после ползучести при наборе различных уровней напряжения растяжения. Расчетно-экспериментальный метод определения (идентификации) материальных функций по данным базового эксперимента изложен в работе [7]. Термовязкопластические процессы сложного нагружения Рассматриваются процессы сложного нагружения образцов из стали 30ХГСА при температуре по двузвенным ломаным траекториям деформации с различными скоростями деформирования от до . При деформировании по программе 5 реализовывалось жесткое нагружение по траекториям (рисунок 1), имеющим одинаковый угол излома, но различные величины предварительной деформации на первом лучевом звене. Траектории программы 6 (рисунок 5) имеют одинаковую предварительную деформацию на первом лучевом звене, но разные углы излома. Деформирование по программам 5 и 6 проводится при одинаковой скорости деформирования, равной . В программе 7 реализуется сложное нагружение по двузвенной ломаной траектории деформации (рисунок 8) с различными скоростями деформирования . Ответные траектории напряжений для программ 5–7 приведены на рисунках 2, 6 и 9, скалярное запаздывание свойств материала для траекторий программ 5 и 7 показано на рисунках 3 и 10 соответственно. Векторные свойства (отклонение вектора напряжений от касательной к траектории деформаций) для траекторий программ 5–7 показаны соответственно на рисунках 4, 7 и 11. Результаты расчетов на основе прикладного варианта теории термовязкопластических процессов на рисунках 1–11 показаны сплошными кривыми, а результаты экспериментов [11] — светлыми и темными кружками и светлыми треугольниками. Рисунок 1. Траектории деформации (программа 5) Рисунок 2. Ответные траектории напряжений (программа 5) Рисунок 3 − Скалярные свойства (программа 5) Рисунок 4 − Векторные свойства (программа 5) Рисунок 5 − Траектории деформации (программа 6) Рисунок 6 − Ответные траектории напряжений (программа 6) Рисунок 7 − Векторные свойства (программа 6) Рисунок 8 − Траектория деформации (программа 7) Рисунок 9 − Ответные траектории напряжений (программа 7) Рисунок 10 − Скалярные свойства (программа 7) Рисунок 11 − Векторные свойства (программа 7) Результаты расчетов и экспериментов [7] говорят о существенной зависимости ответных траекторий, скалярных и векторных свойств от скорости деформирования. Уменьшение скорости деформирования приводит к существенному снижению диаграммы деформирования и заметному снижению следа запаздывания векторных свойств. Наблюдается надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов — отличие не превышает 10% по скалярным свойствам и 10 градусов по векторным свойствам. Заключение Представленный здесь прикладной вариант и аппроксимации функционалов теории термовязкопластических процессов в развитии ранее разработанного варианта [4–6] упругопластических процессов сложного нагружения здесь распространен на неизотермические нагружения и процессы, развивающиеся в реальном времени. Приведенные первые результаты верификации прикладного варианта теории термовязкопластических процессов на траекториях сложного нагружения в виде двузвенных ломаных говорят об адекватном описании предложенной теорией процессов сложного нагружения, развивающихся в реальном времени в условиях высокой температуры.

About the authors

V. S. Bondar

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Dr.Sc., Prof.; +7 (495)2230523 ext. 1318

V. V. Danshin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Ph.D.; +7 (495)2230523 ext. 1318

A. V. Kostin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
+7 (495)2230523 ext. 1318

References

Supplementary files