Deformation of a three-layer spherical shell with compressible filler under the influence of acoustic pressure waves

Full Text

Введение Проблемы обеспечения динамической прочности тонкостенных конструкций являются весьма актуальными для многих современных областей техники. В частности, к ним относятся задачи взаимодействия ударных волн с деформируемыми конструкциями, погруженными в жидкость. В строгой постановке связанная контактная задача гидроупругости предполагает совместное решение системы уравнений движения упругих оболочек и волнового уравнения относительно потенциала скоростей в жидкости при соответствующих граничных и начальных условиях, а также условиях непроницаемости и излучения. Ввиду сложности определения гидродинамических сил взаимодействия упругих конструкций с жидкостью обычно задача делится на два этапа. Сначала решается гидродинамическая задача по определению внешней нагрузки, действующей на оболочку, а затем интегрируются уравнения движения упругой конструкции при найденных внешних силах. При действии ударных волн, распространяющихся в жидкости, рассматривается в основном так называемое акустическое приближение. При этом полное гидродинамическое давление, действующее при падении волны на упругую преграду конечных размеров, в силу линейности внешней задачи представляется в виде алгебраической суммы давлений в падающей и отраженной волне, действующей на абсолютно жесткую, неподвижную в пространстве конструкцию, и давления излучения, обусловленного упругими деформациями оболочки и движением ел как твердого тела. Решение задачи о действии акустической волны давления на пологую упругую однослойную сферу, находящуюся в идеальной сжимаемой жидкости, рассмотрено в [1] для частного случая специально подобранной жесткости опорного шпангоута. Различные задачи о действии ударных волн на трехслойные и многослойные сферические оболочки с несжимаемым заполнителем, погруженные в жидкость, решены в работах [2-4]. Ниже в развитии работы [1] рассмотрено деформирование трехслойной пологой сферической оболочки с жестким сжимаемым заполнителем, погруженной в жидкость, при действии ступенчатого импульса давления. Постановка задачи Разрешающие уравнения малых поперечных осесимметричных колебаний трехслойных пологих сферических оболочек несимметричного строения по толщине с изотропными внешними слоями и трансверсально – изотропным жестким заполнителем с учетом поперечных сдвиговых и нормальных деформаций в среднем слое имеют вид [5]: (1) (2) + (3) Эта система уравнений является обобщением известных уравнений Григолюка - Чулкова трехслойных оболочек с несжимаемым заполнителем [6]. При выводе уравнений для несущих слоев полагались справедливыми гипотезы Кирхгофа – Лява, для заполнителя принимался линейный закон распределения нормальных перемещений по толщине: (4) где: (5) В уравнениях (1-3) F – функция усилий, функции перемещений и связаны с прогибами первого и второго несущих слоев оболочки зависимостями: (6) - «функция обжатия», которой учитываются поперечные нормальные деформации и напряжения в заполнителе (если прогибы несущих слоев одинаковы, то ); – внешняя нагрузка, приложенная к k-му несущему слою (, если направлена в положительном направлении оси z); - полная толщина пластины ( - толщина го слоя, (), толщина заполнителя); - осреднлнный модуль упругости трехслойного пакета; - модуль упругости и коэффициент Пуассона -го слоя; - приведенный коэффициент Пуассона; безразмерные жесткостные характеристики и безразмерные толщины слоев (): ; параметры: - изгибная жесткость трлхслойного пакета; - параметр, характеризующий жесткость заполнителя на поперечный сдвиг (модуль поперечного сдвига заполнителя); - параметр, характеризующий относительную изгибную жесткость несущих слоев; (удельная плотность материала k-го слоя); , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . (7) Удельные и обобщенные усилия и моменты в случае осесимметричного деформирования оболочки выражаются через функции усилий и перемещений по формулам: , , (8) моменты, обусловленные поперечным сдвигом в заполнителе , (9) полные изгибающие моменты (10) моменты «второго порядка», обусловленные учетом сжимаемости заполнителя . (11) Моменты получаются из приведенных формул заменой оператора на Граничные условия для свободно опертой по контуру оболочки с учетом (6), (8-11) могут быть приведены к виду [5-7] (12) Начальные условия относительно перемещений и записываются в виде (13) Интегрируя первое уравнение системы (1) - (3), получим (14) где Г- некоторая гармоническая функция: Так как на контуре то и функция Г = 0. Поэтому на основании принципа максимума Г = 0 всюду в рассматриваемой области [8]. Исключая теперь из двух других уравнений системы (2) и (3), получим после приведения к безразмерным координатам (здесь угол полураствора панели, - угол, отсчитываемый от вершины оболочки – рисунок 1), , (скорость звука в среде) систему двух безразмерных уравнений 10-го порядка (15) (16) где оператор Лапласа относительно безразмерной переменной . Здесь и в дальнейшем коэффициенты уравнений имеют очень громоздкий вид и из-за ограниченности размеров статьи не приводятся. Рисунок 1. Трехслойная сферическая панель При действии ступенчатого импульса на пологую сферическую панель на основании решения [1] полное гидродинамическое давление, действующее на сферическую оболочку, в безразмерной форме может быть представлено в виде: (17) где: давление на фронте падающей волны; - плотность среды; скорость звука в среде; единичная функция Хевисайда. В частности, при использовании гипотезы плоского излучения, справедливой для начального этапа взаимодействия оболочки с волной, давление определяется по формуле . (18) Решение системы уравнений движения трехслойной сферической оболочки (15, 16) с учетом (17), граничных и начальных условий строится методом двойных интегральных преобразований. Сначала к уравнениям применяется интегральное преобразование Лапласа по независимой переменной с учетом однородных начальных условий относительно функций и : (19) где , (20) а затем к уравнениям в изображениях - преобразование Ханкеля с конечными пределами нулевого порядка по переменной [8]: (21) где: (22) корни трансцендентного уравнения В результате система изображающих уравнений относительно трансформант Ханкеля [8] приводится к виду: (23) где (24) Разрешая систему (23), получим для трансформант изображений функций перемещений: (25) Здесь многочлены с вещественными коэффициентами: (26) В (24)-(26) - безразмерные коэффициенты, зависящие от геометрических и механических характеристик слоев. Выполняя обратные преобразования Ханкеля и Лапласа, находим оригиналы функций перемещений в виде: (27) где (28) Здесь первая сумма распространяется на все действительные корни многочлена а вторая – на все комплексные корни с положительными мнимыми частями; корни многочлена [9]. С учетом формул (5), (6) окончательные выражения для безразмерных прогибов несущих слоев трехслойной пологой сферической панели представляются в виде: (29) Скорости и ускорения слоев получаются дифференцированием выражений (29). При этом максимальные значения ускорений слоев достигаются в начальный момент времени. Эти значения могут быть определены непосредственно из уравнений движения (15), (16). Действительно, так как при , то, разрешая уравнения относительно и и учитывая, что из выражения для давления в начальный момент времени следует , получим: (30) Так как изображения представляют собой дробно – рациональные функции с простыми полюсами, обращение их производится точно с помощью теории вычетов. При этом значения корней полиномов с вещественными коэффициентами определялись методом Мюллера. Результаты При численных расчетах рассмотрено воздействие ступенчатого импульса на трехслойную пологую панель с параметрами: см, толщины несущих слоев , , при ; параметры среды: , . Оценено влияние различных форм колебаний оболочки. Для предельного случая однослойной сферической панели на рисунке 2 сплошной линией показана зависимость максимального прогиба в полюсе от времени, а пунктирной – зависимость скорости от времени для случая, когда гидродинамическое давление на панель определялось по формуле (17). Практически при определении прогибов можно ограничиться с точностью до 2% десятью членами ряда. Коэффициент динамичности (по прогибу) составляет Рисунок 2. Зависимость прогиба и скорости в полюсе от времени для однослойной сферы Рисунок 3. Зависимость прогибов слоев от времени для трехслойной сферы с сжимаемым заполнителем (гипотеза плоского излучения) Расчеты показывают, что при учете поперечных сдвигов заполнителя сходимость по сравнению с однослойной оболочкой ухудшается: для получения точности в определении прогиба в 1-2% необходимо удерживать до 20 членов ряда. При вычислении ускорения надо удерживать большее число членов ряда, но максимальное ускорение при может быть определено точно, непосредственно из системы уравнений по формулам (30). Наиболее существенное влияние на характеристики реакции трехслойной сферы оказывает пологость панели, характеризуемая отношением (рисунок 3 для трехслойной оболочки с сжимаемым заполнителем). В расчетах варьировался радиус кривизны панели от 300 до 600 см при фиксированном . Сплошные линии на рисунке 3 соответствуют , пунктирные - . Как видно, для более пологих панелей прогибы существенно возрастают. При учете сжимаемости заполнителя (результаты приведены для гипотезы плоского излучения) в начальные моменты времени первый (нагруженный) слой резко смещается в сторону второго (ненагруженного) слоя, то есть происходит сжатие заполнителя, а затем прогибы второго слоя (волнистые кривые) становятся больше прогибов первого слоя. Поэтому в заполнителе возникают растягивающие напряжения (в рамках принятой модели пропорциональные разности прогибов несущих слоев), что может приводить к нарушению сцепления заполнителя с несущими слоями. При этом с увеличением пологости панели различие в прогибах несущих слоев становится существенным, но лишь при малом модуле упругости заполнителя . Всплески при колебаниях ненагруженного слоя объясняются отражением приходящих волн [10]. Выводы Построено точное аналитическое решение задачи о деформировании трехслойной сферической оболочки, погруженной в жидкость, при действии внешнего гидродинамического давления. Оценены влияние сходимости рядов для прогибов, скоростей и ускорений, пологости панели, сжимаемости заполнителя на характеристики реакции оболочки для различных вариантов задания гидродинамического давления.

About the authors

E. A Kogan

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.; +7 (495) 223-05-23

A. A Yurchenko

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.; +7 (495) 223-05-23

References

Supplementary files