Analysis of the evolution of the natural forms of multivariable mechanical systems (circular plates and domes of revolution)

Abstract

There is given a new generic formulation of boundary value problems of the analysis of their own forms of multivariable system on the example of the anisotropic linear elastic (according to Hooke) and small (according to Cauchy) strain of thin circular plates, circular cylindrical and straight conical domes of revolution. The stress-strain state is described by a linear ordinary differential multivariable equations (Linear Ordinary Differential Equations) of higher-order generalized Euler and Bessel types.

Full Text

Введение На примере анизотропных линейно-упругих (по Гуку) и малых (по Коши) деформаций тонких круговой пластины, круговых цилиндрической и прямой конической оболочки вращения даётся новая обобщённая постановка краевых задач анализа собственных форм многопараметрических систем, напряжённо-деформированное состояние которых описывается обыкновенными линейными дифференциальными многопараметрическими уравнениями (ЛОДУ) высшего порядка обобщённого эйлерова и бесселева типов. Многопараметричность таких систем отражается с одной стороны в так называемых «коэффициентах жёсткости» (КЖ) ЛОДУ, параметрически зависящих от мембранных усилий, значения которых в свою очередь зависят от внешней краевой нагрузки и условий закрепления, а с другой – в структурных параметрах собственных осцилляционных изгибных форм механических систем - решениях соответствующих краевых задач. Обобщённая формулировка включает задание в пространстве «коэффициентов жёсткости» траектории нагружения (ТН) и критических состояний (КС). Критические состояния связываются с достижением траекторией нагружения характеристических линий (КЛ) и точек (КТ). К числу характеристических относятся линии раздела видов модуляций (ЛРВМ), линии уровней квадратов собственных частот (ЛУЧ), длин волн (ЛУДВ) и сдвига фаз (ЛУСФ). Вид этих линий и их положение в пространстве «коэффициентов жёсткости» соответствует видам модуляции (ВМ) и определяется соотношениями связности (СС) «коэффициентов жёсткости» и структурных параметров. К числу критических точек относятся точки пересечения критических линий (бинарности и полинарности), среди которых выделяются точки изогональности (изоклинности), в частности ортогональности. Положение критических (собственных) линий и точек на них определяется соответствующей системой детерминантно – краевых определяющих (ДКУ) уравнений (тригонометрических или трансцендентных), составленной по заданным линейным краевым условиям дифференциального типа. Отмечается, что в общем случае аналитические выражения собственных форм таких систем относятся к установленному ранее классу «изогональных» функций (ИФ), собственный интеграл на заданном интервале от скалярного произведения их нормированных функций равен единице при одинаковых индексах и постоянному числу, не равному единице, при различных индексах, в частности, в случае ортогональности – нулю. Задача отыскания собственных чисел и собственных форм в предлагаемой данной постановке сводится к решению системы детерминантно-краевых уравнений, соответствующих всем возможным видам собственных форм, принимаемых системой на введенной в постановку «траектории нагружения» в пространстве «коэффициентов жёсткости» и дополненных выражениями «соотношений связности». При непрерывном параметрическом нагружении оболочки [1-6] наблюдается, прежде всего, появление новых осцилляций при одном и том же виде модуляции. Для их описания используются [5-9], линейные или квазилинейные дифференциальные уравнения четвёртого и выше порядков с параметрическими независящими от координат естественными коэффициентами жёсткости, при решении которых применяются методы продолжения по параметру [5, 6]. Устойчивость и критические состояния оболочки связываются [7] с характерными точками (ветвления, перескока и пр.) на так называемой кривой жёсткости («внешняя нагрузка ~ прогиб характерной точки»). Точность такого «локального» критерия зависит не только от выбора характерной точки. Ниже даётся обобщённая постановка [11] и решение задачи анализа собственных форм, основанная на введении понятий траектории нагружения механической системы, изопараметрических траекторий - линий уровня собственных частот (длин волн) и сдвига фаз, кратных числу полуволн, и установления бинарных критических точек, параметры которых удовлетворяют условиям ортогональности и изогональности или изоклинности. Постановка краевой задачи о собственных формах цилиндрической круговой оболочки Дифференциальное уравнения форм. Собственные осесимметрические формы ортотропной линейно упругой (по Гуку) круговой цилиндрической оболочки радиуса , постоянной толщины и плотности при малых (по Коши) деформациях описываются уравнением [1] типа «краевого эффекта» изгиба оболочки (по Кирхгоффу-Ляву) - линейным обыкновенным дифференциальным уравнением четвёртого порядка относительно функции прогиба с постоянными, зависящими от внешних параметров коэффициентами: (1) «Коэффициенты жёсткости» выражаются через мембранные осевые и кольцевые усилия. При однородном напряжённо-деформированном состоянии они не зависят от координат , а зависят от внешней нагрузки – параметров . В частности, для рассматриваемой оболочки «коэффициенты жёсткости» - функции вида и . Где: осевое усилие и радиальное давление, а - инерционные силы. Здесь принято следующее: - отнесённый к толщине прогиб; цилиндрическая жёсткость; модуль упругости (Юнга) по образующей; коэффициент ортотропии (главные оси ортотропии совпадают с направлениями главных кривизн оболочки); - коэффициенты поперечной деформации (Пуассона); - круговая частота; ускорение силы тяжести. Двухпараметрическое уравнение (1) с постоянными, не зависящими от координат коэффициентами учитывает неоднородность напряжённо-деформированного состояния с начала нагружения, обусловленную поперечной деформацией при действии продольного усилия (так называемым эффектом Пуассона), и начальную (возникающую уже при малых нагрузках) погибь. При анализе собственных форм используем введенные в [13-16] понятия траектории нагружения в пространстве «коэффициентов жёсткости». Пространство «коэффициентов жёсткости» и траектория нагружения. «Коэффициенты жёсткости» как функции параметров , являющиеся в свою очередь функциями одного независимого параметра -«условного времени», определяющего очерёдность приложения внешних нагрузок, задают в пространстве «коэффициентов жёсткости» () «траекторию нагружения» соотношениями (2) Каждой точке траектории (1.2) соответствует определённая собственная сложная (модулированная) форма, геометрические параметры которой удовлетворяют характеристическому показательному «вековому» биквадратному определяющему уравнению (3) Здесь дискриминант подкоренного выражения. При значениях имеем простые, а при и кратные, действительные или комлексно - сопряжённые корни. Им соответствуют различные основные или переходные виды модуляции. В пространстве будем различать области К-разбиения, подобные областям D-разбиения, применяемым в теории устойчивости колебаний механических многопараметрических систем. Области К-разбиения. Отличие их от указанных состоит в том, что среди возможных значений характеристических показателей допускаются не только мнимые, но и комплексно-сопряжённые и действительные: область К (комплексно-сопряжённых показателей ) - бесконечная , ограниченная снизу параболой , с одним осцилляционным структурным параметром полуплоскость; область Z (мнимых показателей )правая угловая часть , ограниченная сверху правой частью параболы , а снизу – полуосью , с двумя осцилляционными структурными параметрами; область T (мнимых и действительных показателей) - нижняя полуплоскость , ограниченная сверху осью абсцисс , с одним осцилляционным параметром ; область E (действительных показателей )левая угловая часть , ограниченная сверху правой частью параболы , а снизу – полуосью , с двумя не осцилляционными структурными параметрами (рисунок 1). Рисунок 1. Области К-разбиения различных видов модуляций для ЛОДУ четвёртого порядка и траектория нагружения в задаче Лоренца-Тимошенко Используя значения характеристических показателей, уравнение (1) записывается в форме операторного произведения: (4) из которого в соответствии с (1) устанавливаются соотношения «коэффициентов жёсткости» и характеристических показателей – соотношения связности. Соотношения связности. Общие выражения этих соотношений имеют вид; (5) и для указанных выше областей К-разбиения, в частности для областей и границ раздела областей с осциллирущими формами (6) , и для областей и границ раздела областей с не осциллирующими формами (7) . Осцилляционные собственные формы ЛОДУ четвёртого порядка. Виды модуляций и линии раздела (ЛРВМ) модуляций. К осциллирующим видам модуляций относятся три основных в указанных областях К-разбиения: 1) амплитудно-фазовая (К) гиперболическая модуляции, у которой амплитуда и сдвиг фазы, переменные (гиперболически) по координате, и одна частота; 2) амплитудно-фазовая бигармоническая (Z) наложение двух гармоник разных частот; 3) гиперболическая (T) одночастотная модуляция с гиперболической несущей; и две разделительных на линиях-ЛРВМ раздела границ областей: 1) амплитудно - фазовая () полиномиальная модуляция, у которой амплитуда и сдвиг фазы, переменные (полиномиально) по координате; 2) полиномиальная () , одночастотная модуляция с несущей – полиномом первой степени. При этом остаются с не осциллирущими формами модуляции: одна (E) область и две линии () и () ЛРВМ и . Здесь постоянные интегрирования, определяемые из граничных (краевых условий). Таблица 1 Виды модуляций ЛОДУ четвёртого порядка № Виды модуляции, уравнение в операторной форме Коэффициенты уравнения, соотношения связности, области К-разбиения Характеристические показатели форм K амплитудно-фазовая гиперболическая амплитудная полиномиальная Z бигармоническая полиномиальная T гиперболическая E Виды модуляций механических систем, описываемых ЛОДУ четвёртого порядка представлены в таблице 1. Модуляции Z, T и аддитивные и представимы суммой двух гармонической функции или гармонической и гиперболической или полинома соответственно. Аддитивные составляющие с постоянными параметрами - несущие, а переменными - модулирующие. Линии раздела видов модуляции (ЛРВМ) и критические точки первого рода. Указанные выше линии раздела видов модуляций, одна из которых парабола, ветви которой, правая () (8) и левая (), разделяют пары областей модуляций: амплитудно-фазовой гиперболической (K) и бигармонической (Z) и бигиперболической (E) и гиперболической (K). Вторая - прямая (ось абсцисс ), левая () и правая () ветви, которой разделяют пары областей К-разбиения: (9) бигармонической (Z) и гиперболической (T) и соответственно гиперболической (T) и бигиперболической (E). При пересечении траекторией нагружения (2) этих линий происходит смена видов модуляции, и поэтому они отнесены к критическим линиям раздела видов модуляции (ЛРВМ), а точки пересечения их траекторией нагружения – критическими точками первого рода. Линии раздела видов модуляции (ЛВРМ), области К – разбиения, траектория Лоренца-Тимошенко и критические точки первого рода в пространстве «коэффициентов жёсткости» изображены на рисунке 1. Изопараметрические линии уровней частот (ЛУЧ) и сдвига фаз (ЛУСФ). Из соотношений связности (6) следуют выражения изопараметрических линий, в частности линий уровня (ЛУЧ) частот в каждой из областей К-разбиения видов модуляции: 1) для амплитудно-фазовой (К) гиперболической модуляции - семейство левых ветвей непересекающихся между собой парабол со смещённой по оси абсцисс на вершиной, подобных ЛВРМ (8), и с правой граничной точкой, лежащей на правой ветви параболы (1.8) (10) 2) для бигармонической (Z) модуляции – семейство взаимно пересекающихся между собой в этой области прямых с угловым коэффициентом наклона к оси абсцисс , касательных к правой ветви параболы ЛВРМ (8) и пересекающей ось абсцисс в точке ; точки взаимного пересечения прямых лежат выше точек касания их линии ЛВРМ (8) (11) 3) для гиперболической (T) модуляции – семейство прямых (11). Аналогичные выражения следуют для изопараметрических линий сдвига фаз ЛУСФ. Из всего семейства ЛУЧ выделяется первая – основная, соответствующая минимальной частоте. Эта линия состоит из двух частей: правой части параболы (10) и прямой (11). Вершина параболы смещена вправо на величину , а её конечная правая точка является точкой касания линии (8), наклонённой к оси абсцисс под углом и пересекающей абсцисс в точке . Угол изоклинности между параболами (8) и (10) равен . На рисунке 2 изображены изопараметрические семейства линий частот ЛУЧ и сдвига фаз ЛУСФ в каждой из областей К-разбиения. При достижении траектории нагружения (пересечении) изопараметрических линий собственные формы принимают соответствующий вид; при этом, попадая в точку пересечения линий ЛРВМ и ЛУЧ или ЛУСФ или пересечения линий ЛУЧ в области бигармоничности Z, формы (и соответственно, параметры форм) неоднозначны. Такие точки относятся к разряду критических точек второго рода и среди них точки бинарности и полинарности (критические точки высших родов). Рисунок 2. Изопараметрические линии ЛРВМ (разделов видов - сплошные жирные), ЛУЧ и ЛУСФ (частот - тонкие), траектория Л-Т и точки пересечения их Точки бинарности и полинарности. К критическим точкам второго рода относятся точки пересечения траекторией нагружения изопараметрических линий, среди которых выделяются точки бинарности, т.е. точки взаимного пересечения линий разного типа (ЛУЧ и ЛУСФ) или одного типа (ЛУЧ). Если траектория проходит через такую точку или в ней касается, то состояние системы, по крайней мере, двойственно, особенно это относится к точкам пересечения линий ЛУЧ в бигармонической области. Здесь пересекаются прямые (11) с различными частотами и малые изменения направления траектории приводят к смене несущей формы (частоты) на модулированную (частоту) и наоборот. Изображённые на рисунке 2 линии ЛУЧ сгущаются вблизи вершины клиновидной области Z. При этом следует отметить важное свойство – линия ЛУЧ с минимальной частотой (основная ОЛУЧ) - первая основная линия пересекает все остальные с упорядоченной системой точек пересечения (упорядоченными – возрастающими значениями частоты) – линий с большими частотами; остальные (с частотами )пересекаются с неупорядоченной системой точек пересечения (с частотами ) – сначала линий с меньшей частотой, а затем – с большей. Механические системы, следуя по таким траекториям нагужения, при этом могут «перескакивать» с одной критической частоты на другую. На этих линиях в точках бинарности собственные функции обладают свойством изоклинности и поэтому их относят к так называемым точкам изогональности (изоклинности). Траектория Е в задачах о статической устойчивости стержня Эйлера и цилиндрической ортотропной оболочки (с нулевым коэффициентом ортотропии) [1, 3] - прямая линия, совпадающая с осью абсцисс – линия , линия раздела бигармонической и гармонически-гиперболической видов модуляций, на которой реализуется одночастотная модуляция (1.12) Траектория , соответствующая минимальной частоте , главная, отделяющая подобласть устойчивых некритических состояний. Условия изогональности (изоклинности). Условия изогональности (изоклинности) и ортогональности связано со значением интеграла - скалярного произведения ортонормированных собственных функций, соответствующих разным значениям собственных чисел определённого семейства; в общем - изогональности (13) когда при несовпадающих индексах скалярное произведение равно постоянному, отличному от нуля и единице, числу, одинаковому для данного семейства, а в частном случае - ортогональности . Свойство изогональности присуще двум и более частотным осцилляционным функциям, например, бигармоническим , ортогональности – одночастотным (). Таким образом, при анализе процесса эволюции осесимметрических форм образующей тонкой упругой цилиндрической оболочки средней длины в качестве критериев критичности состояний используются указанные выше критические линии и точки, при пересечении которых или прохождении через которые траекторией нагружения могут наступить критические состояния, что, в частности, может быть связано с потерей устойчивости. Фундаментальная система решений. Краевые условия. Детерминантно-краевое частотное (или волновое) определяющее уравнение. Общее решение однородного уравнения (1.1) четвёртого порядка и полное решение содержат четыре линейно независимых функции фундаментальных решений , четыре частных решений и четыре постоянных интегрирования (14) Система фундаментальных решений (ФСР) должна быть представлена в виде, пригодном для непрерывного продолжения (предельного перехода) по параметрам. Краевые условия линейные дифференциального типа на концах интервала с однородной правой частью представляются в общем виде выражением (15) где: коэффициенты постоянные числа. Соответствующая (15) система уравнений относительно постоянных интегрирования (16) имеет множество не тривиальных ограниченных и множество неограниченных решений при условии, что детерминант системы (1.16) равен нулю, т.е. (17) В общем случае левая часть выражения (17) детерминантно–краевая функция (ДТФ) детерминантно - краевого определяющего уравнения (ДКУ) это трансцендентная полиномиальная функция, содержащая тригонометрические функции и полиномы, общий порядок которой четвёртый. Траектория нагружения (2), соотношения связности (6), (7) вместе с детерминантно - краевым уравнением (17) образуют полную (расширенную, дополненную) систему уравнений на собственные значения (УСЗ) и тем самым на структурные параметры эволюционирующих собственных форм. Обобщённая (расширенная) постановка задачи анализа эволюции изгибных форм. Таким образом, расширенная постановка задач анализа включает: линейное обыкновенное дифференциальное уравнение состояния (1); задание траектории нагружения (2); классификации видов модуляций (таблица 1); классификации областей видов модуляции и их границ (таблица 2); соотношения связности (6), (7) «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и структурных параметров –«коэффициентов бесселевых добавок»; классификации критических (8)-(11) линий - изопараметричеких ИПЛ и точек (12), (13); линейные краевые условия дифференциального типа (15); детерминантно – краевые уравнения (ДКУ) (17). Таблица 2 Система фундаментальных решений ЛОДУ 4-ого порядка модуляция Основная особенность и трудность этих задач состоит в том, что для указанных многопараметрических (по значениям «коэффициентов жёсткости») механических систем высшего (четвёртого и выше) порядка структурных параметров (значений частот и сдвигов фазы) всегда два и более, а осцилляционных составляющих – фундаментальных (ФСР) решений четыре и более. Трудность, в первую очередь, заключается в наличии «неопределённости», т.е. параметрической зависимости «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ (они же коэффициенты характеристических показательных полиномов эйлеровых). Во вторую очередь - отсутствие аналитических решений для трансцендентных или тригонометрических детерминантно - краевых уравнений высокого (четвёртого и выше) порядков. И, в третью очередь, форма представления фундаментальной системы (ФСР) решений ЛОДУ эйлерова типа должна быть универсальной. В частности, непрерывной по структурным параметрам и обладать свойством непрерывного перехода от одного вида модуляции к другому как в случае простых (некратных параметров), так и в случае кратных. Эволюция собственных форм в задаче устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии по траектории Тимошенко-Лоренца (Л-Т). Рассмотрим в качестве примера задачу об осесимметрических собственных формах при потере устойчивости тонкой линейно упругой круговой цилиндрической оболочки средней длины (задача Лоренца - Тимошенко). Для случая осевого сжатия цилиндрической оболочки «коэффициенты жёсткости , как функции монотонного параметра нагружения , положительно полуопределённые или полностью определённые, на плоскости образуют траекторию нагружения Тимошенко-Лоренца (Л-Т) [9, 10] – прямую параллельную оси абсцисс линию (18) На ней реализуются два вида основных модуляций: одночастотная амплитудно-фазовая и двухчастотная фазовая и одна переходная амплитудно-фазовая . Она проходит через две области К-разбиения: область крыловскую (К) и область бигармоническую (Z) и пересекает линию раздела в некоторой точке и семейство ЛУЧ в точках (). Часть точек пересечения траектории с линиями ЛУЧ лежит в области (К), а другая - в области (Z). Траектории Т-Л, у которых (минимальная частота) пересекает линии ЛУЧ в порядке возрастания значений частот, называются упорядоченными, а при неупорядоченными. Траектория задана как функция параметров и как функция коэффициентов (19) которые в свою очередь есть функции параметра нагружения , определённых соотношениями (20) где - функции параметра нагружения , а - её начальные координаты - значения коэффициентов жёсткости при значениях в начальном (исходном) состоянии. Система фундаментальных решений уравнения (таблица 1) в указанных областях К-разбиения, в которых пролегает траектория Л-Т, содержит одночастотные осцилляции (модуляция амплитудно-фазовая гиперболическая) в области К и на линиях ЛРВМ (амплитудно-фазовая полиномиальная) и (полиномиальная) и двухчастотную осцилляцию в области (амплитудно-фазовая гармоническая модуляция). Краевые условия типа (15) приняты для жёсткого защемления торцов оболочки: (19) При расчётах приняты следующие значения: геометрических и механических характеристик - коэффициента Пуассона. Диапазон изменения частот ; значение коэффициента жёсткости ; коэффициент принят на траектории Т-Л зависимостью от параметра , где - «Лоренцова сила» (). Детерминантно-краевые трансцендентные и тригонометрические уравнения (17) четвёртого порядка в соответствующих областях К-разбиения решались графическим способом, путём построения функции – ДКУФ типа (17), при этом учитывалось то, что основные частоты могут быть определены на «траектории Эйлера» , т.е. на оси абсцисс («балочная» траектория) по «усечённому-частотному» уравнению вида: (20) При подходе к граничным линиям раздела видов модуляции осуществляются предельные переходы: из области К на линии (8) по структурному параметру , а из области бигармонической Z в область гармонически-гиперболическую K на линии (8) - по параметру ; из области Z бигармонической модуляции в область T гармонически-гиперболической модуляции на линии (9) осуществляется предельный переход по структурному параметру . Значения первых девяти частот, приведенных ниже, получены с удержания стольких знаков после запятой, чтобы отклонение от нуля в ДКУ типа (17) было одинаковым и составляло . Характер ДКУФ в окрестности нулей (корней - частот) таков, что требовалось до десяти итераций по методу «половинного деления»: (21) Точность определения координат точки нуля существенно зависит от угла подхода ДКФ к оси абсцисс (или, что то же, производной ДКФ) в окрестности нуля; в точке касания особенно. Детерминантно-краевая функция которой (ДКФ) при значениях параметра в окрестности оси абсцисс имеет точки касания и точки пересечения, поэтому при определении нулей требуется применять соответствующие процедуры для повышения соответствующей точности (разрядности). На это обстоятельство следует обращать особое внимание и учитывать при решении задач на собственные значения многопараметрических механических систем. При практических расчётах в таких случаях приходится учитывать до седьмого знака после запятой при вычислительном «нуле» ДКФ на уровне . Приведенные на рисунке 3 значения относительного прогиба отнесены к величине прогиба от равномерной (реактивной) распределённой нагрузки . На графиках, представляющих модулированные осесимметрические формы цилиндрической оболочки при осевом сжатии по траектории Т-Л выше порога упорядочения, видно резкое возрастание на два-три порядка величины прогиба. Форма прогиба сложная с участками немонотонности, и, таким образом, на начальном участке наблюдается переход формы от высшей частоты к низшей. а б Рисунок 3. Гиперболо–гармонические (а) и бигармонические (б) осесимметрические изгибные формы цилиндрической оболочки с жёстко заделанными торцами при осевом сжатии по траектории Т (при нагрузках и ) Из приведенных на рисунке 3а в области К форм видно, что число точек пересечения траекторией критических линий конечно, т.е. число осцилляций конечно: равно трём при и равно пяти при . В области Z (рисунок 3б) число осцилляций бесчисленное множество. Отметим одну важную особенность решений на траектории Е-Л при пересечении с траекторией Z: собственные значения (которые соответствуют решению Тимошенко-Лоренца) определяют численно связь геометрических и механических величин, а именно (22) Из этих соотношений следует эффект «пи - энности», состоящий в том, что указанные характеристики жёстко связаны с иррациональным числом «пи». Решения подобного типа приведены в монографии [1]. Указанным в предыдущем пункте собственным числам соответствуют собственные функции: · на траектории Е, свойство изогональности чётных и нечётных и ортогональности перекрёстных функций отражено в значения скалярных произведений, приведенных ниже , , · на траектории K, свойство изогональности чётных и нечётных и ортогональности перекрёстных функций отражено в значениях скалярных произведений, приведенных ниже , , . Свойство ортогональности для скалярного произведения собственных функций разных семейств (чётных и нечётных) очевидно, т.к. интеграл на интервале от нечётной относительно середины интервала функции равен нулю, а произведение чётной относительно середины интервала функции на нечётную есть функция нечётная. Обобщённый ряд Фурье по изогональной системе собственных функций. Свойство изогональности и ортогональности двух семейств собственных функций даёт возможность представления произвольной интегрируемой функции обобщённым рядом Фурье (24) Коэффициенты ряда представляются конечной и рекуррентной формулами (26) (27) где соответствующие нормирующие коэффициенты - интегралы равны . Выводы В области амплитудно-фазовой K-модуляции «наблюдается расчётно» смена частот (числа осцилляций) при значениях продольного усилия равных , т.е. ниже «лоренцовой» и более соответствующих экспериментально определённым. При этом в диапазоне нагрузок происходит «скачок» сдвига фазы . В области бигармонических модулированных форм существует подобласть в виде криволинейного треугольника, ограниченного снизу отрезком (ЛРМ-Е) оси абсцисс до первой критической частоты , сверху - частью параболы (ЛРМ-Т) и справа – отрезком касательной ЛУЧ-К к параболе ЛРМ-Т, проходящей через конец отрезка ЛРМ-Е. Модулированные собственные функции бинарных критических точек изогональны (изоклины) в каждом из множеств (чётных или нечётных) и ортогональны между собой. Обобщённая постановка задач анализа форм в полярной и конической системах координат Уравнение состояния. Уравнение состояния – линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) -ого порядка бесселева типа относительно действительной функции нормированной действительной переменной (2.1) включает: «обобщённо - эйлерову часть», представляемую суммой произведений линейных дифференциальных (ЛДО) операторов Эйлера до -ого порядка на степени координатной переменной (2.2) и «бесселев добавок» - произведение степени координатной переменной на искомую функцию с действительными параметрическими «коэффициентами (КЖ) жёсткости» и «коэффициентом бесселева (КДБ) добавка» ЛОДУ функциями «комбинированной внешней нагрузки», например, изменяющихся в процессе нагружения мембранных усилий, и показателем степени бесселева добавка – неизменного параметра . Траектория нагружения. Операторы однотипные, специального вида: (2.3) представимы некоммутативным произведением эйлеровыми ЛДО специального типа второго порядка (2.4) имеющими характеристические показатели, зависящие от трёх структурных неизменных параметров и номера – корнями вековых характеристических полиномов степени (2.5) Характеристические ЛДО показатели удовлетворяют условиям: разности значений характеристических показателей для пар одного номера, начиная с меньшего номера, одинаковы; разности характеристических показателей для каждых последовательных пар постоянны (2.6) Обобщённое преобразование Ломмеля-Томсона. Линейный дифференциальный беселев оператор (2.1), эйлерова часть и бесселев добавок которого удовлетворяют условиям (2.2)-(2.6), представим суммой: (2.7) и коммутативным произведением (2.8) Здесь введены «обобщённые эйлеровы» степенно-дифференциальные операторы второго порядка, аналогичные операторам Лапласа [12-17] (2.9) и «обобщённые бесселевы» дифференциальные операторы высшего порядка специального типа [13-18] (2.10) представляющие собой «степени» обобщённого степенно-дифференциального эйлерова оператора второго порядка (аналог преобразования Ломмеля – Томсона [19-20]) (2.11) Соотношения связности «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и характеристических структурных параметров форм. Здесь «коэффициенты бесселевых добавок» в разложении (2.11) есть корни характеристического полинома (2.12) и являются основными структурными параметрами решений, связанные с «коэффициентами жёсткости» соответствующими соотношениями [17-21] (2.13) Представление бесселева оператора высшего порядка коммутативным произведением бесселевых операторов второго порядка. Используя элементарные операторные соотношения и преобразования Ломмеля - Томсона искомой функции с учётом соответствующих выражений – операторов сдвига и координатной переменной выражений – операторов умножения обобщенные операторы Эйлера и Бесселя примут «каноническую» форму (2.14) где и при этом справедливы операторные соотношения Представление (2.14) позволяет переписать уравнение (2.1) в форме, левая часть которого есть коммутативное произведение «обобщённых бесселевых» дифференциальных операторов, где эйлеров оператор представлен в форме лапласа (2.15) Вследствие коммутативности операторной части (2.15) исходное уравнение высшего -ого порядка с однородной (нулевой) правой частью равносильно системе независимых уравнений Бесселя второго порядка (2.16) где: индекс (или порядок) цилиндрических функций; коэффициенты бесселевых добавок – корни характеристического уравнения (2.12) для КДБ (2.17) Основные типы собственных форм и критических линий раздела характерных областей. Среди корней КДБ уравнения (2.17) возможны четыре типа: единичные действительные положительные , отрицательные и нулевые и парные комплексно-сопряжённые соответствующих кратностей и , так что . Решения любого ЛОДУ второго порядка из системы (2.16) для единичных простых (некратных) и не целых КДБ есть пара цилиндрических функций, представленная обобщённо- степенными рядами вида: (2.18) Для простых (некратных) значений беселевых добавок весь набор ФСР определяется по форме (2.18), а для кратных (в зависимости от кратности) – по схеме Лопиталя: для двукратных (2.19) и для многократных (2.20) При действительных положительных значениях КБД единичных корней цилиндрические функции (2.18) называются функциями Бесселя (Вебера, Неймана, Ханкеля) первого рода действительного аргумента индекса . При действительных отрицательных значениях КДБ – функциями Бесселя (Макдональда) второго рода мнимого аргумента индекса , при нулевых значениях Эйлеровы (степенные) действительного аргумента и для парных комплексно- сопряжённых - функции Бесселя – Кельвина коплексного аргумента. Их явные выражения редко встречаются в публикациях, поэтому они представлены ниже , (2.21) где параметры комплексно-сопряжённых коэффициентов бесселевых добавок следующие (2.22) Таблица 2.1 Виды простых осцилляций и монотонностей цилиндрических функций второго и четвёртого порядков № Названия видов осцилляции или монотонности Значения коэффициента бесселева добавка Аргументы функций Написание функций 1 Бесселевы I –го рода. (Неймана, Вебера, Ханкеля) индекса (порядка) действительного аргумента положительные действительные действительные осциллирующие 2 Бесселевы II-го рода (Макдональда) (модифицированные функции Бесселя индекса (порядка) ) мнимого аргумента отрицательные мнимые действительные монотонные 3 Эйлера действительного аргумента действительные нулевые действительные нулевые действительные степенные монотонные 4 Кельвина-Ханкеля индекса (порядка) комплексного аргумента комплексно- сопряжённые комплексно- сопряжённые действительные осциллирующие 5 Бесселя- Кельвина (Томсона) индекса (порядка) комплексного аргумента мнимые комплексные действительные части комплексных осциллирующих Каждому типу элементарных простых (некратных) решений соответствуют простые формы осцилляций и монотонностей, перечень которых приведен в таблице 2.1. В число простых модуляций цилиндрических функций четвёртого порядка входят четыре вида двухпараметрических и четыре – однопараметрических (таблица 2.2), где при классификации видов используются обобщённые дифференциальные операторы Лапласа второго и четвёртого порядка и пространство «коэффициентов жёсткости» для определения областей видов модуляции и их границ. В этом же пространстве задаётся «траектория нагружения» (2.23) На рисунке 2.1 представлены области видов модуляции для ЛОДУ четвёртого порядка. Аналогичные области указываются и для ЛОДУ высшего (шестого и выше) порядка. Граничные линии или линии раздела видов модуляции (ЛРВМ) – квадратичная парабола и прямая (ось ординат) и при (2.24) это критические линии первого рода, которые определяют множества точек ветвления – точек перехода от одного вида модуляции к другому. В каждой из областей существуют семейства изопараметрических () взаимнопересекающихся линий (ИПЛ), выражения которых следуют из соотношений связности (2.13) , в частности, для ЛОДУ четвёртого порядка: линий уровня частот (ЛУЧ) – семейства парабол, смещённых по оси абсцисс на величину , и линии уровня длин волн (ЛУВ) - прямые, параллельные оси абсцисс и смещённые на величину и (2.25) в области «кельвиновских »модуляций (). В областях «бимакдональдских» модуляций (), Рисунок 2.1. Области видов модуляции в пространстве «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ бесселева типа четвёртого порядка «бибесселевых» модуляций() и в области модуляций «бесслево-макдональских () » линии частот ЛУЧ и длин волн ЛУВ - это прямые, смещённые на величину и касательные линии раздела видов модуляции ЛРВМ. (2.26) Точки пересечений линий этих семейств образуют множества критических точек второго рода. Следует обратить внимание на сгущенность семейства прямых в окрестности линии раздела видов модуляции (параболы (2.24)): здесь возможны переходы к трём видам модуляции и переходы от одной частоты несущей и модулирующей к другой. Система краевых условий. Значения параметров сдвига и наклона изопараметрических линий определяются из линейных граничных условий дифференциального типа общего вида записанные в форме: (2.26) Таблица 2.2 Виды модуляций и монотонностей ОДУ четвёртого порядка Вид и обозначения модуляции Параметры структуры Коэффициент «жёсткости» Коэффициент «жёсткости» Дифференциальный оператор вида модуляции Кельвина-Томсона (Ханкеля) KT в области Макдональда+ (Макдональда* Эйлера) M(ME) на границе раздела областей Макдональда+ Макдональда MM в области Макдональда+ Эйлера ME на границе раздела областей Макдональда+ Бесселя MB+BM в области Бесселя+ Эйлера BE на границе раздела областей Бесселя+ Бесселя BB в области Бесселя+ (Бесселя*Эйлера) B(BE) на границе раздела областей Рисунок 2.2. Семейства изопараметрических (ИПЛ) линий: семейства парабол и наклонных прямых – линии уровня частот (ЛУЧ) и семейство вертикальных прямых – линии уровня длин волн (ЛУВ) в различных областях двухпараметрических видов модуляции ЛОДУ четвёртого порядка бесселева типа Относительно искомой функции , которая представляется суммой произведений произвольных постоянных и фундаментальных (ФСР) решений (2.27) разного типа в каждой из областей видов модуляций. ФСР представляются в форме, пригодной для предельного перехода от одного вида модуляции к другому. Среди задач анализа собственных форм выделим четыре типа: 1) задача спектрального анализа минимальной несущей и модулирующей частот (или длин волн) и всего спектра частот (или длин волн) осцилляций определённого (заданного) вида модуляции при заданной траектории нагружения; 2) задача анализа собственных форм осцилляций определённого (заданного) вида модуляции при заданной траектории нагружения; 3) задача комбинаторного анализа спектра частот и собственных форм осцилляций различных (не заданных) видов модуляции и произвольных (допустимых) траекториях нагружения и 4) задачи анализа оптимальных траекторий нагружения при заданных (допустимых) видах модуляции, собственных формах и спектре частот (длин волн) осцилляций. К этому следует добавить, что вследствие указанной выше сгущенности изопараметрических линий в окрестности линии раздела видов модуляции возникают вычислительные трудности при определении форм и частот, например, по методу продолжения по параметру, где основным является вопрос о выборе такого параметра и выборе вида модуляции (в окрестности граничной критической линии может быть три вида модуляции и несколько значений частот). Обобщенная постановка анализа собственных форм. Таким образом, расширенная постановка задач анализа включает: линейное обыкновенное дифференциальное уравнение состояния (1) специального вида (по условиям (2.2)-(2.6)), приводимого с помощью преобразований (2.7)-(2.9) и с учётом значений корней характеристического уравнения (2.12) к каноническому виду (2.14) и к несвязной системе ЛОДУ бесселева типа второго порядка; задание траектории нагружения (2.23); классификации видов модуляций (таблица 2.1); классификации областей видов модуляции и их границ (таблица 2.2); соотношения связности (2.13) «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и структурных параметров –«коэффициентов бесселевых добавок»; классификации критических (2.23)-(2.26) линий - изопараметричеких ИПЛ и точек; линейные краевые условия дифференциального типа (2.26); детерминантно – краевые уравнения (ДКУ). Основная особенность и трудность этих задач состоит в том, что для указанных многопараметрических (по значениям «коэффициентов жёсткости») механических систем высшего (четвёртого и выше) порядка структурных параметров (значений «коэффициентов бесселевых добавок») всегда два и более, а осцилляционных составляющих – фундаментальных решений четыре и более (по паре бесселевых функций на каждый структурный параметр). Трудность, в первую очередь, заключается в «неопределённости», т.е. параметрической зависимости «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ (они же коэффициенты характеристических показательных полиномов эйлеровых частей и «коэффициентов бесселевых добавок»). Во вторую очередь, отсутствие аналитических решений для алгебраических полиномов степени выше четвёртой. В третью очередь, отсутствие аналитических решений для трансцендентных детерминантно - краевых уравнений, содержащих бесселевы, тригонометрические и алгебраические функции. И, в четвёртую очередь, форма представления фундаментальной системы (ФСР) решений ЛОДУ бесселева типа должна быть универсальной. В частности, непрерывной по структурным параметрам и обладать свойством непрерывного перехода от одного вида модуляции к другому как в случае простых (некратных параметров), так и в случае кратных. Детерминантно-краевое уравнение и система краевых условий. Используя представления общего решения краевой задачи (2.16) и (2.26) с учётом представлений (2.18)-(2.21), задача определения собственных чисел сводится к решению детерминантно – краевого (ДКУ) уравнения для однородной (с нулевой правой частью) системы трансцендентных уравнений с цилиндрическими функциями относительно структурных параметров - коэффициентов КБД (2.28) Здесь следует иметь в виду, что в каждой строке (28) длиной операторы относятся к паре цилиндрических функций , а в целом ДКУ (28) содержит неизвестных искомых структурных параметров . К уравнению (28) добавляются соотношений связности (2.13), содержащих параметр внешнюю комбинированную нагрузку, задающую «траекторию нагружения» функцией вида (2.23). Таким образом, разрешающая система (2.13), (2.28) и (2.23) даёт возможность решать задачу определения критических точек на заданной траектории нагружения и соответственно задачу об эволюции собственных форм системы. При решении задач оптимизации по выбору «оптимальной траектории нагружения» приходится прибегать с структурно-комбинаторному анализу собственных форм и собственных чисел для «допустимых» видов модуляции. Ниже в качестве примера рассматривается задача об эволюции собственных форм малых колебаний тонкой линейно упругой (по Гуку) трансверсально-изотропной сплошной круговой пластины при малых колебаниях и малых (по Коши) деформациях. Задача о собственных осесимметрических формах усечённой круговой тонкой анизотропной усечённой конической оболочки. Геометрические параметры для круговой конической оболочки (коэффициенты Ламэ , главные радиусы кривизн) в системе координат , связанной с образующей конуса , исходящей из вершины конуса и наклонённой к оси вращения под углом , даются следующими выражениями: Главные оси анизотропии упругих свойств совпадают с направлениями главных кривизн (по образующей и в окружном направлении). Уравнения осесимметричных форм свободных колебаний. При свободных установившихся малых колебаниях с постоянной круговой частотой система уравнений включает: · продольных () и поперечных () отличных от нуля усилий · изгибающих моментов () · соотношения ортотропных линейно упругих (по Гуку) оболочек Кирхгоффа-Лява – изменения кривизн и изгибающих моментов при осесимметричной деформации для радиального и кольцевого моментов здесь: -цилиндрическая жёсткость оболочки толщиной , модуля Юнга по образующей , коэффициента анизотропии и коэффициентов Пуассона . Уравнение равновесия изгибающих моментов при отсутствии продольных усилий, записанное в перемещениях, имеет вид, подобный разрешающему уравнению для круговой пластинки (2.28) (2.29) Используя выражения для дифференциальных операторов Эйлера и производных это уравнение принимает форму (2.30) или эквивалентную её, распадающуюся на два независимых уравнения Бесселя второго порядка (2.31) Уравнения «краевого эффекта» конической оболочки. К уравнению такого типа также приводятся, следуя [], уравнения «краевого эффекта» при и - (учитывается связь их с продольными усилиями и первого интеграла системы) (2.32) здесь использованы подстановки и Система после умножения на и использования эйлеровых операторов первого и второго порядков сводится к несвязной системе бесселевых уравнений четвёртого порядка (2.33) (2.34) или в развёрнутом виде через характеристические показатели (2.35) (2.40) Характеристические показатели эйлеровых частей бесселевых операторов разности пар характеристических показателей не удовлетворяют указанному выше условию поэтому решение этих уравнений уже не может быть выражено через функции Бесселя второго порядка, для его представления используются [27] цилиндрические функции высших порядков. Уравнения устойчивости усечённой конической оболочки при осевом сжатии и боковом давлении. Полагая в (2.29) изменения кривизн в процессе деформации равными и соответственно и учитывая при этом зависимость мембранных меридинальных усилий (где концевое меридианальное усилие на границе большем торце усечённого конуса), имеем (2.41) Собственные осесимметрические формы малых колебаний круговой пластины. Уравнения малых колебаний в традиционной форме (Софии Жермен) имеет вид (2.42) после умножения левой части на это уравнение принимает каноническую (Эйлерову) форму (2.43) Здесь использованы следующие обозначения : относительный прогиб круговой пластинки постоянной толщины (далее черточка над символом опускается); - относительная радиальная координата полярной системы координат, нормированная величиной радиуса внешнего контура пластинки; - модуль упругости Юнга материала пластинки в радиальном направлении; - коэффициент ортотропии упругих свойств пластинки как отношение модуля Юнга в кольцевом направлении к модулю или соответствующих коэффициентов поперечной деформации Пуассона; плотность материала пластинки; ускорение силы тяжести; круговая частота собственных установившихся колебаний. Используя соотношения и , эйлерова часть уравнения преобразуется в операторную сумму Как видно из структуры ЛОДУ, траекторией нагружения здесь является прямая – ось абсцисс , а структурных параметров два: и , и потому соотношения связности выглядит просто . Определив для зйлеровой части характеристические показатели как корни векового характеристического уравнения, (2.44) запишем эйлерову часть уравнение состояния в форме операторного произведения (2.45) Учитывая, что разности соответствующих пар () показателей, а также разности () в каждой паре есть величины постоянные, и суммы этих пар ( и ) отличаются на величину, пропорциональную номеру пары (), эйлерову часть как произведение представим в форме: (2.46) Свойство сдвига каждой пары характеристических показателей даёт возможность представить эйлерову часть в виде «степени» или порядка дифференциального оператора со сдвигом (введенное выше обобщённое преобразование Ломмеля - Ватсона), а именно поэтому в этом случае справедлива следующая операторная форма исходного уравнения четвёртого порядка бесселева типа Представление исходного уравнения в виде операторной «разности квадратов» позволяет перейти к соответствующему операторному произведению суммы и разности операторов { а затем и к эквивалентной системе двух несвязных операторных уравнений так что общее решение есть сумма двух независимых решений , каждое из которых (после умножения и преобразований) – уравнение Бесселя в общей форме (2.47) Преобразуя по Ломмелю компоненты (по свойству смещения операторов на величину ), имеем в канонической форме относительно функций Бесселя () и Макдональда () индекса соответственно при (2.48) Решения (пары соответствующих цилиндрических функций) даются при не целых порядках (индексах) обобщёнными степенными рядами · осциллирующие функции Бесселя - Вебера - Неймана первого рода действительного аргумента индекса (2.49) · не осциллирующие функции Макдональда – Бесселя второго рода мнимого аргумента индекса (2.50) Общее решение есть сумма произведений частных фундаментальных решений (2.51) и произвольных постоянных интегрирования , определяемых из краевых условий рассмотренных ниже двух видов в центре пластины · центр защемлён: прогиб в центре равен нулю и изгибающий радиальный момент и перерезывающее усилие ограничены и отличны от нуля , и при этом перерезывающее усилие в центре и на внешнем контуре связаны соотношениями , вытекающими из уравнений равновесия в целом, (угол поворота равен нулю тождественно) (2.52) при этом следует, что (при выводе этого соотношения используется представление системы фундаментальных решений в форме обобщённого степенного ряда, где учитываются первые два – три слагаемых, а остальные при обращаются в нуль); · центр свободен: перерезывающее усилие в центре и на внешнем контуре равно нулю (2.53) в этом случае первого условия следует, что , а из второго - равновесие пластины в целом; · и одного вида на внешнем контуре – жёсткого защемления внешней границы (2.54) Соответствующие трансцендентные детерминантно - краевые уравнения графически в окрестности оси ординат представлялись отрезками кривых, корни которых определялись методом половинного деления по заданной погрешности отклонения от нуля, равной . По вычисленным значениям частот определены при различных значениях коэффициента анизотропии (на рис. 2.3-2.4 приведены формы для четырёх значений частот при ) Рисунок 2.3. Собственные формы малых колебаний сплошной круговой анизотропной пластинки с жёстко закреплённым внешним контуром и свободным центром при различных значениях собственных частот и значении с=0.5 Рисунок 2.4. Собственные формы малых колебаний сплошной круговой анизотропной пластинки с жёстко закреплённым внешним контуром и защемлённым центром при различных значениях собственных частот и значении с=0.5 Выводы Введенное обобщение преобразования Ломмеля-Томсона позволяет выделить (классифицировать тип) коммутативные ЛОДУ высшего порядка бесселева типа, которые сводятся несвязной системе «стандартных» ЛОДУ бесселева типа второго порядка. В новой (обобщённой) постановке, дополненной выражениями «соотношений связности» между «коэффициентами бесселевых добавок » или «коэффициентами жёсткости» и «структурными параметрами» и указанием «траектории нагружения», позволяют учесть все возможные осцилляционные собственные формы круговых анизотропных тонких пластин при малых собственных колебаниях и устойчивости при действии радиальных усилий. Практика вычислений собственных форм показала, что при определении частот достаточно ограничиться двумя-тремя знаками после запятой. При значении c=1 (изотропная пластина) полученное решение совпадает с известным (см., например, [1, 8, 9]).