Modeling of process of oscillations of a plate in the supersonic gas flow

Abstract

In the paper there are presented the interrelations between the parameters of the model and full-scale processes that occur within the known mathematical models of panel flutter of elastic and viscoelastic plates.

Full Text

Насколько можно судить по известной литературе, вопрос, вынесенный в заголовок статьи, до сих пор не обсуждался, хотя представляет несомненный интерес, поскольку является основой при разработке теории эксперимента. В предлагаемой работе в рамках известных математических моделей флаттера упругих и вязкоупругих пластин устанавливаются параметры подобия и предлагаются некоторые возможные параметры моделирования. 1. Постановка задачи Представим себе тонкую пластину, которая в плоскости занимает некоторую область , ограниченную кусочно-гладким контуром . С одной («верхней») стороны пластина обтекается плоско-параллельным сверхзвуковым потоком газа с невозмущенными параметрами ,, , , – давлением, плотностью, скоростью звука, вектором скорости ; – угол между вектором и осью . Материал пластины – линейный вязкоупругий, связь между напряжением и деформацией имеет вид: (1.1) Здесь – мгновенный модуль, – параметр вязкости. В дальнейшем изложении будем принимать ядро релаксации в простейшем виде: , где – величина, обратная времени релаксации. Уравнение колебаний пластины имеет вид [1]: (1.2) Здесь , , – плотность и постоянный коэффициент Пуассона материала пластины, – ее толщина, – прогиб, – давление аэродинамического взаимодействия между колеблющейся пластиной и потоком (избыточное давление). Варианты выражений для будут приведены ниже. Уравнение (1.2) дополняется однородными граничными условиями на контуре . 2. Упругая пластина Уравнение движения в этом случае следует из (1.2) при . (2.1) Для избыточного давления примем обобщенную формулу поршневой теории [2] . (2.2) Здесь – показатель политропы газа. После подстановки (2.2) в (2.1) получим . (2.3) Приведем это уравнение к безразмерному виду, используя характерные значения параметра процесса. Таковыми являются: – характерный размер области ; – толщина пластины; , , или , , – свойства материла пластины; – характерное время процесса; параметры невозмущенного потока. Введем безразмерные координаты , и время (в дальнейшем индексы опустим); в этих обозначениях уравнение (2.3) примет вид . (2.4) Здесь – число Маха, , . Представим теперь два процесса – натуральный и модельный, будем считать, что в обоих процессах участвуют геометрически подобные пластины с одинаковыми граничными условиями. Если окажется, что для натурного и модельного процессов все безразмерные коэффициенты в уравнении (2.4) и однородных граничных условиях совпадут, то это будет означать, что с математической точки зрения процессы колебаний пластины станут тождественными, а с физической, – что в соответствующие моменты времени в соответствующих точках модели и натуры все безразмерные характеристики совпадут. Такие процессы называют подобными; сформулированные выше условия подобия являются необходимыми. Установим достаточные условия моделирования. Модельный процесс (другими словами, лабораторный или промышленный эксперимент, в котором возможны измерения) удобно проводить, используя материал натурного процесса. Принимая это условие и полагая, что параметры невозмущенного потока в натуре и модели совпадают, нетрудно установить, что достаточным условием полного моделирования будет равенство – здесь и в дальнейшем натурные и модельные параметры снабжены индексами «n» и «m» соответственно. Легко показать, что граничные условия не выявят новых требований и будет выполнено равенство , которое сохранится и для критических значений . Пересчет физического времени (или частоты колебаний ) с модели на натуру проводится по правилу: , , – масштаб моделирования. Рассмотрим теперь случай, когда избыточное давление определяется линеаризованной теорией потенциального сверхзвукового обтекания. Потенциал возмущения удовлетворяет уравнению [3] (2.5) которое дополняется граничным условием (2.6) и условием затухания при . Избыточное давление определяется соотношением (2.7) Положим , и введем, как и ранее, безразмерные координаты, из (2.5)–(2.7) получим , , . Уравнение (2.1) колебаний пластины примет после этого вид Здесь параметры , – те же, что и в предыдущем случае. Из вида последних уравнений следует, что условия моделирования, сформулированные ранее, остаются достаточными для полного моделирования в рассмотренном случае. 3. Вязкоупругая пластина Запишем уравнение колебаний (1.2) вязкоупругой пластины при условии, что задается выражением (2.2) (3.1) Приведем (3.1) к безразмерному виду, принимая для безразмерных координат прежние выражения, а для безразмерного времени – замену . В этих обозначениях из (3.1) получим (3.2) здесь обозначено , . Дальнейший анализ проведем при условии, что параметры потока и одинаковы в модельном и натурном процессах, а скорости потока – различны. Задачу моделирования сформулируем следующим образом: подобрать такой материал модели, чтобы уравнения (3.2), записанные для натуры и модели были тождественными. Введем масштаб моделирования по линейному размеру : , тогда нетрудно показать, что достаточные условия моделирования будут следующими: 1) , 2) , 3) , характеристики модельного материала , могут быть произвольными. При этих условиях скорость потока в модели и, соответственно, критическая скорость флаттера определяется соотношением . 4. Упругая пластина, составляющая часть поверхности тонкого клина Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с большой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси клина (перпендикулярно кромке). Согласно [4, 5] уравнение колебаний пластины, находящейся на поверхности клина, будет иметь вид где: - угол полураствора клина, наклон ударной волны определяется из уравнения Очевидно, достаточным условием полного моделирования будет опять же равенство . Более слабыми условиями будут , . Остальные параметры, в том числе числа Маха, предполагаются одинаковыми. Выводы Установлены критерии подобия процессов и предложены некоторые возможные параметры моделирования. Результаты работы могут оказаться полезными при организации экспериментальных исследований по панельному флаттеру упругих и вязкоупругих пластин.