Incremental geometrically nonlinear axisymmetric finite element model of forming process of thick sheet metals under the action of rigid tools

Full Text

В работах [1, 2] представлены осесимметричная и неосесимметричная безмоментные конечноэлементные модели пластического формоизменения тонких оболочек в процессах листовой штамповки, вычислительная надежность которых обеспечивается использованием неявной инкрементальной схемы решения, учитывающей изменение геометрии оболочки на шаге нагружения. В настоящей статье аналогичный подход используется при построении вычислительной модели, ориентированной на решение задач пластического формоизменения толстостенных оболочек из листовых металлов. Полагаем, что в исходном недеформированном состоянии моделируемая оболочка представляет собой круговую заготовку из однородного изотропного листового металла. Упругими деформациями на фоне больших пластических деформаций (характерных для рассматриваемых процессов формоизменения) пренебрегаем, считая материал оболочки жесткопластическим. В качестве физических соотношений принимаем вариант теории течения (ассоциированный с квадратичным критерием Мизеса) применительно к случаю изотропного материала с изотропным упрочнением. Считаем, что взаимодействие оболочки с инструментом осуществляется в соответствии с кулоновским законом трения. Дискретная модель толстой оболочки как тела вращения образуется путем разбиения прямоугольной области, занимаемой осевым сечением оболочки в исходном недеформированном состоянии, на треугольные элементы с принятием линейного закона изменения перемещений внутри каждого треугольника. Подобное разбиение осуществляется следующим образом. Проводим через указанную прямоугольную область набор прямых, параллельных ее сторонам. В результате приходим к разбиению этой области на элементарные прямоугольники. Проводим затем диагонали в каждом из элементарных прямоугольников, разбивая его тем самым на четыре соответствующих треугольника. Полученная таким образом сетка из треугольников, покрывающая рассматриваемую прямоугольную область, и используется при численном моделировании процессов пластического формоизменения толстых оболочек вращения. Отметим, что в процессе деформирования исследуемого тела вращения элементарные прямоугольники введенной в рассмотрение сетки трансформируются в четырехугольники (состоящие из четырех треугольников). Процесс формоизменения образованной в результате описанного разбиения осесимметричной модели, состоящей из элементарных колец треугольного сечения, рассматриваем как пошаговый, при котором переход из известного состояния в момент времени в новое состояние, относящееся к моменту времени , осуществляется с малыми приращениями деформаций. На указанном малом временном интервале (шаге нагружения) формулировку задачи для принятой дискретной модели тела вращения выполняем в терминах узловых перемещений (перемещений вершин треугольных элементов) с использованием цилиндрической системы координат (). При этом для указанных узловых перемещений в осевом () и радиальном () направлении используем обозначения и , где - общее количество узлов в дискретной модели. Вводим обозначения , , , для соответствующих рассматриваемому осесимметричному случаю компонент тензора конечных деформаций Грина-Лагранжа, вычисляемых относительно конфигурации модели в начале шага нагружения. В рамках принятого предположения о малости приращений деформаций на шаге параметры , , , для каждого элемента с точностью до пренебрежения этими параметрами по сравнению с единицей можно рассматривать как малые относительные удлинения и сдвиги [3]. Используя известные соотношения нелинейной теории упругости [3], связывающие квадратичной зависимостью параметры , , с частными производными перемещений , по переменным , получаем для каждого элемента модели квадратичного типа выражения его деформационных характеристик , , через узловые перемещения , . Малое относительное удлинение на шаге нагружения окружного материального волокна в середине элемента определяем по схеме (1) где величины и , относящиеся к середине элемента, вычисляются с использованием соответствующих узловых значений и (в вершинах элемента) по схеме среднего арифметического. Считаем, что шаг нагружения настолько мал, что бесконечно малые удлинения и сдвиги в уравнениях теории течения для изотропного материала с изотропным упрочнением [4] можно заменить на соответствующие малые, но конечные деформации на шаге. В результате приходим к следующим соотношениям, связывающим напряжения , , , с деформациями , , , в элементах дискретной модели тела вращения на шаге нагружения: (2) (3) (4) (5) Здесь - интенсивность напряжений; - интенсивность приращений деформаций; - напряжение всестороннего растяжения-сжатия (получаемое осреднением по треугольным элементам, входящим в общий для них четырехугольный элемент); и - величины накопленной деформации в моменты времени и ; - экспериментально устанавливаемая функция упрочнения материала. Условие несжимаемости материала в состоянии пластического течения включаем в вычислительную модель по методу штрафных функций, а именно считаем, что связь между указанным напряжением всестороннего растяжения-сжатия и относительным изменением объема элемента на шаге (также получаемым осреднением по треугольным элементам, входящим в общий для них четырехугольный элемент) имеет вид (6) где - фиктивный модуль объемного растяжения-сжатия, подбираемый настолько большой величины, чтобы обеспечить условия, близкие к несжимаемости (в рамках упомянутого четырехугольного элемента). Таким образом, в модели появляется методический параметр , диапазон изменения которого устанавливается численным экспериментом. Отметим, что указанная процедура осреднения объемной деформации по треугольным элементам, составляющим соответствующий четырехугольник, обеспечивает, как показано в работе [5], устойчивый вычислительный процесс при моделировании несжимаемого материала путем введения фиктивного модуля объемного растяжения-сжатия. Принимая во внимание тот факт, что деформации в элементе являются явными функциями перемещений, напряжения, непосредственно определяемые через деформации на шаге согласно физическим соотношениям (2), с учетом связей (3), (5), (6) могут также рассматриваться как явные функции узловых перемещений на шаге нагружения. Считаем, что все нагрузки, действующие на рассматриваемую модель тела вращения, сведены к обобщенным узловым силам и в осевом и радиальном направлениях. Исходим из принципа возможных перемещений, утверждающего, что в состоянии равновесия работа приложенных к деформируемому телу сил на вариациях возможных перемещений равна работе напряжений на соответствующих вариациях деформаций. В результате для рассматриваемой модели тела вращения на шаге нагружения получаем вариационное уравнение вида (7) Суммирование в левой части уравнения (7) осуществляется по всем элементам модели. Величина представляет собой площадь треугольного элемента в начале шага нагружения. С использованием представленных физических и геометрических соотношений вариационное уравнение (7) формулируется исключительно в терминах узловых перемещений. Приравнивая коэффициенты при одноименных вариациях узловых перемещений в левой и правой части такого уравнения, получаем для -ого узла дискретной модели оболочки на шаге нагружения уравнения равновесия вида: (8) где , - нелинейные алгебраические операторы, отражающие геометрическую и физическую нелинейность рассматриваемой задачи на шаге нагружения. Остается теперь обратить внимание на то, что с получением уравнений равновесия для рассматриваемой модели в виде (8) мы приходим к ситуации, аналогичной той, которая имеет место в случае предназначенной для исследования процессов листовой штамповки осесимметричной безмоментной геометрически нелинейной жесткопластической модели [2, 6]. Поэтому все дальнейшие действия по формулировке соответствующей контактной задачи для рассматриваемой модели и построению итерационного процесса ее решения осуществляются аналогично тому, как это сделано при построении указанной безмоментной модели. Перейдем теперь к анализу процессов формоизменения толстых оболочек под действием жестких инструментов с использованием описанной вычислительной модели. Результаты расчетов будем сравнивать с результатами экспериментов по вытяжке толстых оболочек из листовой стали 3кп толщиной , выполненных Е.Н. Шмелевым в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Рисунок 1. Схема вытяжки оболочки через коническую матрицу Рисунок 2. Полученная численным моделированием форма оболочки при вытяжке через коническую матрицу Рассмотрим процесс вытяжки оболочки через коническую матрицу под действием цилиндрического пуансона со скругленной кромкой. Схема вытяжки с указанием размеров инструментов и листовой заготовки представлена на рисунке 1. Характеристика упрочнения листового материала задана зависимостью , где , . Коэффициент трения на пуансоне оценен величиной ; на матрице - . Форма готовой оболочки, полученная на основе численного моделирования процесса вытяжки через коническую матрицу, показана на рисунке 2. Наибольшее утонение оболочки (наиболее опасное на разрыв сечение) имеет место в зоне контакта со скругленной кромкой пуансона. Рисунок 3. Распределение толщины вдоль срединного меридиана оболочки, полученной вытяжкой через коническую матрицу Рисунок 4. График зависимости силы на пуансоне от его перемещения в процессе вытяжки оболочки через коническую матрицу На рисунке 3 представлены результаты расчета (сплошная кривая) и эксперимента (точки) по распределению толщины такой оболочки вдоль ее срединного меридиана (здесь - полная длина срединного меридиана оболочки). Видно, что положение ослабленного сечения и значение толщины в нем, предсказанные численным моделированием, хорошо согласуются с экспериментом. На рисунке 4 представлен полученный расчетным путем (сплошная кривая) и экспериментом (точки) график зависимости силы на пуансоне от его перемещения в процессе вытяжки оболочки через коническую матрицу. Падение силовой характеристики процесса при в данном случае (в условиях отсутствия локализации деформации) означает, что процесс формообразования оболочки вступает в завершающую стадию, когда заканчивается формирование цилиндрического участка оболочки, и она сможет свободно проходить через отверстие матрицы. Здесь также наблюдается хорошее согласование расчета с экспериментом. Рассмотрим теперь процесс вытяжки оболочки из той же листовой стали, что и выше, но уже с использованием цилиндрической матрицы. Этот случай соответствует ситуации, когда угол конуса на схеме, представленной на рисунке 1, вместо принимает значение . Таким образом, вместо конического участка используемая матрица имеет плоскую часть, на которой располагается исходная круговая заготовка. Диаметр матрицы и радиус скругления ее рабочей кромки имеют величины и , соответственно. Аналогичные характеристики пуансона имеют значения и , соответственно. Диаметр заготовки составляет величину . Эксперимент показал, что при перемещении пуансона происходит разрыв вытягиваемой оболочки в зоне контакта со скругленной кромкой пуансона (рисунок 5). Проследим, каким образом подобную ситуацию может предсказывать используемая вычислительная модель. Рисунок 5. Случай разрыва толстой оболочки при вытяжке через цилиндрическую матрицу Рисунок 6. Форма оболочки, полученная численным моделированием процесса вытяжки через цилиндрическую матрицу Рисунок 7. График зависимости толщины оболочки в “шейке” от перемещения пуансона при вытяжке через цилиндрическую матрицу Рисунок 8. График зависимости силы на пуансоне от его перемещения при вытяжке оболочки через цилиндрическую матрицу На рисунке 6 приведена полученная расчетным путем форма вытягиваемой оболочки при перемещении пуансона . Здесь отмечено сечение с наибольшим утонением (т.е. место возможного шейкообразования). На рисунках 7 и 8 приведены графики зависимостей толщины оболочки в "шейке" и силы на пуансоне от перемещения пуансона. Видно, что, начиная с некоторого значения перемещения пуансона, происходит катастрофическое утонение в "шейке" (характерный признак локализации деформации). При значении перемещения пуансона нагрузка на пуансоне начинает падать (потеря несущей способности оболочки вследствие локализации деформации). Это значение перемещения пуансона и может быть принято за критическое, при котором должен следовать разрыв оболочки. Таким образом, ситуация с разрывом толстой оболочки в процессе вытяжки также хорошо предсказывается с помощью представленной дискретной модели. Выводы 1. Представлена инкрементальная конечноэлементная модель пластического формоизменения толстой оболочки вращения под действием жестких инструментов. При построении модели использован плоский треугольный элемент с линейным законом распределения перемещений. На каждом шаге нагружения учтены нелинейности, связанные с изменениями конфигурации оболочки и состояния ее контакта с инструментами. 2. С применением указанной модели выполнены исследования процессов вытяжки толстой оболочки через коническую и цилиндрическую матрицы. Дано сравнение результатов расчетов с экспериментом.

About the authors

L. G Sukhomlinov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Dr. Eng., Prof.; +7 (495) 223-05-23

V. L Mikhaylova

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Ph.D.; +7 (495) 223-05-23

References

Supplementary files