Iterative procedure for the synthesis of an optimal robust PID controller

Abstract

The article describes the method of calculation of robust controller in automatic control system with the internal model, that allows to significantly simplify the calculation of the regulator settings.

Full Text

К робастным системам регулирования относятся такие системы, которые сохраняют устойчивость и показатели качества при конечных отклонениях параметров объекта от номинальных значений. Номинальные параметры объекта являются параметрами, полученными в результате экспериментов или рассчитанными аналитически на основе литературных или справочных материалов. Кроме этого, номинальные параметры могут изменяться во времени в период эксплуатации объекта, например при изменении нагрузки в определенном ограниченном диапазоне или образовании накипи в теплообменниках, что приводит к изменению постоянных времени объекта и т.д. В таких условиях АСР должна сохранять устойчивость и качество функционирования. В теории робастных систем существует понятие робастной устойчивости и робастного качества. Кроме этого имеются понятия номинального качества и робастной устойчивости, определенные в пространстве комплексных функций H2 и H∞ [1]: . (1) В пространстве H∞ норма комплексной функции определяется следующим образом: . (2) В теории робастных систем управления вместо функции чувствительности используется понятие модели неопределенности. Точно так же как в функциях чувствительности есть параметрические функции чувствительности и структурные функции чувствительности, в теории робастных систем вводятся понятия параметрической модели неопределенностей и частотные модели неопределенностей. Пусть задана передаточная функция объекта в виде: , (3) где Ко – коэффициент передачи; τ – время запаздывания; Т – постоянная времени, т.е. объект зависит от 3-х параметров. Введем обозначения , где V – вектор параметров. Параметрическую модель неопределенности зададим двумя способами: 1) ; 2) , где: – номинальные параметры объекта, полученные экспериментально или вычисленные теоретически; – размах неопределенности; – масштаб изменения параметров . В этой записи , , , что похоже на определение интервальной оценки точности параметров закона распределения вероятностей в математической статистике, где – квантиль закона распределения, – среднеквадратическое отклонение параметра от среднего значения. Частотная модель неопределенности В тех случаях, когда исходным является описание объекта с помощью частотных характеристик, естественно описывать модель неопределенности в тех же терминах. Существует аддитивная и мультипликативная модель неопределенности. Аддитивная модель неопределенности выражается так: , где П – означает обозначение семейства (т.е. множества) передаточных функций системы (объектов); – реальная ПФ; – частотная характеристика номинальной модели объекта или системы; la(w) – частотная характеристика (задания) определяет допустимый диапазон отклонений текущей частотной характеристки от номинальной. Мультипликативная модель неопределенности представлена следующим образом: . Тогда семейство П может быть представлено: , (3а) где устанавливает ограничение на максимальное допустимое рассогласование между номинальной моделью и любой из моделей семейства П. Рисунок 1. Схема АСР: yз – задание; ошибка регулирования; Z(p) – возмущение; y(p) – регулируемая величина; u(p) – управляющее воздействие; R(p) – ПФ регулятора; Wv(p) = ПФ объекта; n(p) – шум измерения y(p) Имеется несколько причин рассогласования : 1) ошибка аппроксимации временной характеристики, например, кривой разгона; в этом случае возрастает с увеличением частоты и в конечном счете станет превышать единицу. Причина этого заключается в том, что используемая модель описывает объект достаточно точно только в области низких частот, но становится неточной для высокочастотной области. Это связано с тем, что наихудшая аппроксимация кривой разгона осуществляется при малых значениях времени; 2) математическая модель определяется на стадии проектирования объекта по справочным данным или таблицам, но и здесь сохраняется тенденция увеличения ошибки в области малых значений времени (т.е. при увеличении частоты); 3) рассогласование связано с нестационарностью частотных характеристик, т.е. рассогласования объясняются изменением параметров объекта во времени, причем для робастных АСР это изменение ограничено, а при неограниченном изменении необходимо применять адаптивные системы управления. Далее приведем структурные функции чувствительности. Структурная функция чувствительности определяется как производная от ПФ замкнутой АСР по каналу возмущения – по бесконечно малой вариации ПФ объекта. . (3) Если исходя из структуры на рисунке 1 определим ПФ АСР по каналу управления, то получим: . (4) Подставляя (4) в (3) найдем функцию чувствительности: . (5) Дополнительная функция чувствительности определяется следующим образом: . (6) С учетом (5) и (6) имеем очевидное равенство: . (7) Функция чувствительности выражает эффект влияния возмущения на выход . Чувствительность особо важна в оценке качества АСР. Желательно сделать как можно меньше. Если является строго правильной, т.е. удовлетворяет условию: что ведет к тому, что: . Таким образом, может быть сделан малым на ограниченной области частот. Типичная кривая показана на рисунке 2. Рисунок 2 Частоту ws на рисунке 2 при которой ожидается равной будем называть полосой пропускания АСР: . Граница ws может служить простой мерой качества замкнутой АСР. Поведение дополнительной функции чувствительности при условии определяется следующими выражениями: и равна 1 только в ограниченной области частот. Дополнительная функция чувствительности также выражает эффект влияния шума измерения n(t) выхода y(p) (см. рисунок 2). С этой точки зрения должна быть сделана маленькой. Асимметрические свойства АСР (типовые системы) Возмущения, встречающиеся в химической индустрии, часто медленно варьируются и могут быть аппроксимированы скачком или Z(t)=at. Для необходимое и достаточное условие: . Это дает возможность определить типовые системы, чтобы классифицировать аналитическое поведение: система типа m имеет m полюсов в начале координат. Для того, чтобы выполнялось условие при при возмущении типа скачка разомкнутая система должна иметь 1 полюс в начале координат (тип 1). Если возмущение Z(t)=at, то должна иметь 2 полюса в начале координат (тип 2). Описание входа Символ х будем использовать для определения входов, которые могут быть заданием или возмущением . Будем предполагать, что любой вход x на входе замкнутой системы генерируется прохождениям нормализованного входа x` через ПФ весовую функцию Wвес(p), который отнесем к взвешенному входу. Множество ограниченных входов (все входы с 2-нормой ограниченной 1): (8) Схема формирующего фильтра: Рисунок 3 Если x ожидается как скачок, например, для возмущения, тогда конструктор определяет Wвес(p) как генератор (1/р). , где . Импульс на входе . Однако иногда качество замкнутой системы может быть достаточно чувствительно к выбору входа. Если вход, предполагаемый конструктором, не равен входу реальному, качество может быть значительно нарушено. Тогда более существенно рассмотреть множество входов, содержащих вход, который часто встречается вместе с другими «похожими» входами. Согласно (8) мы будем рассматривать множество ограниченных входов. . (9) Интеграл здесь равен интегралу во временной области в соответствии с теоремой Parsevol. Выражение (9) может быть интерпретировано следующим образом: еЕсли спектр входа х узкий и концентрируется около wA (т.е. вход похож на sin wA t), тогда амплитуда входа ограничивается . Типичный взвешенный вход показанный на рисунке 4 указывает, что высоко-частотный вход должен иметь маленькую амплитуду. Рисунок 4 Предположим, что мы ожидаем единичный скачок х. Тогда мы можем определить Wвес так, что скачок принадлежит множеству (9). Например, вес . (10) Имеет желаемые характеристики: вход , удовлетворяемый , (11) и дает скачок х, когда проходит через вес (10). Однако характеристика (9) с весом (10) содержит также много других сигналов х, которые «похожи» на скачок. Например, рассмотрим вход который также удовлетворяет (11). После прохождения через вес сигнал становится: (11а) который является модифицированным скачком с отставанием (a log(α<β)) и опережением (by lead (для 2>β)) (см. рисунок 5) Рисунок 5 Таким образом, если регулятор конструируется для множества (9) с весом (10), то он будет хорошо работать не только для скачков, но также для «модифицированных скачков», например в форме (11). Оптимальное управление в пространстве H2. Регулятор R(p) определяется так, чтобы интегрально квадратическая ошибка: (12) принимала минимальное значение для частного вход х. Заметим, что измерение малости есть 2-норма ошибки и множества входов. (13) или для . Окончательно получим . (13а) Формула (13) представляет собой интегральную функцию чувствительности взвешенной Wфор, где Wфор зависит от входа х минимизирующего 2-норму функции чувствительности Sw0 взвешенной Wфор. Если Wфор выбрано таким образом, чтобы представить частный вход, тогда, регулятор, решающий задачу (13), редко удовлетворяет практическим требованиям конструктора. Поэтому для конструктора практически Wвес есть «настраиваемый параметр». Вес Wфор варьируется до тех пор, пока характеристика переходного процесса замкнутой системы не станет удовлетворительной. – оптимальное управление Здесь предполагается что входы х принадлежат множеству Х нормировано-ограниченных функций, зависящих от веса Wфор. . (14) Класс входов, определенных этим неравенством, содержит большую варьируемость спектров, включающих, возможно, скачок, пульсации и узкоограниченные сигналы различных частот. В проблеме Н2 – оптимизации мы предлагали фиксированный вход. Каждый приводит к ошибке . -оптимальный регулятор конструируется так, чтобы минимизировать наихудшую ошибку, которая может быть для любого : . Наихудшая ошибка ограничивается следующим образом: . (15) С учетом неравенства (8) . Отсюда найдем: . (16) Определим w-норму взвешенной функции чувствительности: и (17) получаем проблему оптимального управления. (18) Таким образом, – оптимальное управление минимизирует максимальное значение или ∞ – норму функции чувствительности, взвешенной Wвес. Согласно интерпретации в частичной области H2 – оптимальное управление минимизирующей среднюю величину и – оптимальное управление минимизирует пиковую величину значения взвешенной функции чувствительности. Как и в H2 – оптимальном управлении, так и в – оптимальное управлении более практично думать о Wфор как о настраиваемом параметре. Пусть предположим, что для частного Wфор оптимальная величина целевой функции (17) есть k. Тогда (18) определяет, что Это означает, что конструктор может задать ограничение на функцию чувствительности (19) которая в – оптимальном контролере должна удовлетворяться. Если контролер находится так, что (20) тогда ограничение (19) выполняется. Поэтому требование качества обычно записывается в форме (20). Типовое задание ограничения на функцию чувствительности представлена на рисунке 6. Естественные типы входов будут управляться выбором веса Wвес. Это указывает, что ожидаемые выводы являются медленно варьируемые и что высокочастотные сигналы имеют малые амплитуды. Рисунок 6 Ограничения приводят к тому, что функция чувствительности будет малой в высокочастотной области, где ожидается большая амплитуда входов. Часто конструктор желает выделить минимальную полосу и ограничить максимальный пик функции чувствительности, чтобы избежать усиления возмущений. Напомним, что для высоких частот является малой величиной и поэтому , при больших w. (21) Таким образом, показатель качества будет незначительным в низкочастотной области, где велико и . Тогда показатель качества (20) сводится к: (22) Робастная устойчивость Мы хотим вывести условия для робастной устойчивости семейства П объектов, определенных выше. Для этой цели будем использовать критерий устойчивости Найквиста. На рисунке 7 представлен годограф Найквиста для номинальной разомкнутой системы Размер частотной модели неопределенности представим в виде окружности с радиусом . некоторые Рисунок 7 Окружность моделирующая область неопределенности замкнутой АСР с радиусом, увеличивающимся с увеличением частоты т.к. с частотой растет, образует полосу Найквиста, которая включает все . Условие устойчивости: если полоса Найквиста не охватывает точки с (-1, jo), то замкнутая АСР будет робастно устойчива. Это будет, если расстояние от точки (-1, jo) т.е. , превосходит диск радиусом : , ˅ w (23) или по-другому ˅ w (23а) или . (24а) Предположим, что все объекты w0 в семействе П (24) имеют также число правых полюсов и что частный контролер R стабилизирует номинальный объект . Тогда система является робастно устойчивой с контроллером R, если и только если дополнительная функция чувствительности (p) для номинального объекта удовлетворяет следующему ограничению: (25) где Это необходимое и достаточное условие. Если условие (25) нарушается, то в семействе П существует W0 – неустойчивый объект. Однако если истинная неопределенность апроксимируется диском, то условие (25) является только достаточным. Робастная устойчивость требует ограничения в w-норме дополнительной функции чувствительности взвешенной lm(w). С другой стороны для Н2 – оптимального управления показатель качество выражается в терминах 2-нормы функции чувствительности взвешенной Wфор. Различие норм указывает, что качество и робастная устойчивость не могут быть предметом компромисса, когда интегрально квадратический критерий употребляется как целевая функция. Одной из причин введения оптимизации управления является то, что условие робастной устойчивости и показатель номинального качества выражаются в терминах одинаковой нормы. Так же заметим, что для высоких частот мало и поэтому: Тогда для больших w (25) сводится к выражению Все это означает, что коэффициент передачи контроллера на высоких частотах ограничен неопределенностью. Коэффициент обратной связи должен быть меньше . Наконец, заметим, что в рамках оптимального управления мы хотим минимизировать номинальное качество робастную устойчивость . Компромисс между качеством и робастной устойчивостью может быть достигнут из-за того, что и не являются независимыми и делая один показатель меньше увеличиваем другой. Робастное качество Робастная устойчивость – минимальное требование для практического использования системы управления, когда модель не определена – является важным исходным положением. Однако робастная устойчивость недостаточна. Если ограничение (25) удовлетворяется для семейства П, тогда существует особый объект , для которого замкнутая система находится на границе неустойчивости и для которой качество является произвольно плохим. Мы выводим условие робастного качества, когда качество измеряется в терминах 2-нормы и ∞нормы. Н2 – целевая функция качества В теории автоматического регулирования при синтезе регулятора имеют дело с единственным объектом W0. Здесь мы рассмотрим семейство объектов П, определяемых через частотную модель неопределенности мультипликативной формы (3а). Сформируем нашу цель: cконструировать такой контролер, что,s результирующая ошибка от определенного вида «Х» минимизировалась для наихудшего объекта в семействе П. Наихудший объект является одним из объектов, который дает наибольшую ошибку: . (26) Интеграл максимизируется, максимизируя подинтегральное выражение на каждой частоте. Из геометрических соображений (рис.7) мы находим: , , (27) или , (28) или , (28) где . Заметим, что, когда робастная устойчивость выполняется, (23а) знаменатель в (28) положительный. Таким образом (26) может быть записано как . (29) Из-за того, что контроллер R является в очень сложной манере в (29) имеется мало надежды найти простое решение этой проблемы. Первый фактор в интеграле содержит ошибку модели. Из-за условия робастной устойчивости (25) интеграл всегда ограничен. Как ожидалось, наблюдаемая ошибка увеличивается по отношению к номинальной ошибке, когда достигается граница устойчивости. целевая функция качества. Если показатель качества устанавливается в рамках , тогда мы будем требовать, чтобы (20) выполнялось для «наихудшего» объекта: (30) или . (31) Используя (28а), соотношение (31) можно переписать как (32) или . (33) Соотношение (33) представляет собой определение робастного качества. Как следует из (33), робастное качество включает робастную устойчивость (24а) и номинальное качество (20). Улучшая номинальное качество (уменьшая ), ухудшаем робастную устойчивость (увеличение ) и толкаем систему к границе устойчивости для некоторых . Контроллер, который оптимизирует робастное качество, имеет следующий критерий качества: . (34) Мы видим из (33), что можно связать робастное качество, просто удовлетворяя робастную устойчивость (24а) и номинальное качество (20). Если и , где , тогда робастное качество автоматически гарантируется. Синтез оптимальной робастной системы управления В предыдущих разделах было дано определение робастности систем управления, которая характеризуется двумя понятиями: робастной устойчивостью и робастным качеством. Робастная устойчивость определяется в пространстве (25). Робастное качество зависит от пространства функций H2 или . Робастное качество определяется в пространстве H2 по соотношению (29), а робастное качество в пространстве выражением (34) . Сформулируем задачу параметрического оптимального робастного регулятора. Здесь необходимо минимизировать критерий робастного качества в (31) при условии соблюдения робастной устойчивости (25). Решение этой задачи довольно трудно. В связи с этим в работе [3] предлагается двухэтапная процедура. На первом этапе минимизируют критерий оптимальности номинального качества: , (35) без учета робастности и ограничений на втором этапе вводится фильтр последовательно с регулятором с ПФ: , (36) т.е. в виде соотношения , (37) где q – регулятор в системе управления с внутренней моделью. Рассмотрим задачу оптимального параметрического синтеза оптимального робастного ПИД-регулятора. В качестве критерия оптимальности возьмем номинальный критерий в пространстве H2: , (38) где Если мы предполагаем на входе единичную ступенчатую функцию, тогда и (39) Это идеальный случай. В реальности будем иметь: ; (40) Модифицированный ступенчатый вход. Будем использовать номинальный критерий (38) с входом в виде идеальной единичной ступенчатой функции: . В качестве ограничений берем запас по модулю и фазе с ограничением по настройке ПИД-регулятора: , где , , – коэффициент пропорциональности; – постоянная времени интегрирования, – постоянная времени дифференцирования. Определим запас по модулю и фазе. Запас по модулю: (41) . (42) Запас по фазе: (43) . (44) Графически запас по модулю и фазе выглядит таким образом (рисунок 8) Рисунок 8 Здесь расстояние до точки пересечения годографа Найквиста с действительной осью Re. Точка пересечения единичной окружности с годографом. Итак, запас по модулю и фазе соответствует системе четырех уравнений (41), (42), (43), (44). Запас по модулю Am указывает, на сколько надо умножить вектор , чтобы он попал в точку (-1, jo): (45) Из работы [2] известно, что значению запаса устойчивости по модулю и фазе соответствует допустимые отклонения постоянных времени Tj от допустимых значений, задаваемых неравенствами , (46) которые соответствуют параметрической модели неопределенности для работоспособности системы. Если рассматривать частотную модель неопределенности то, можно представить частотно-зависимую функцию как функцию граничных значений параметров . Другими словами, запас устойчивости по модулю и фазе тесно связан с допустимыми отклонениями параметров. Таким образом, задавая запас устойчивости мы характеризуем робастную устойчивость, определяемую неравенством (25). Сформируем задачу оптимизации регулятора в замкнутой системе управления. Необходимо минимизировать критерий оптимальности: (47) при ограничениях (48) (49) (50) Ограничение (50) характеризует параметрическую модель неопределенности, которая тесно связана с робастной устойчивостью и качеством. Рассмотрим пример задачи оптимизации при условии, что объектом управления является звено первого порядка с запаздыванием (3), а в качестве регулятора используется ПИД-регулятор. . (51) Запишем критерий оптимальности (47) в развернутом виде с учетом схемы на рисунке 1: , вход в АСР Представим интеграл в следующем виде: . (52) Используя понятие факторизованного вида, запишем (52) в другой форме: . (53) Возьмем интеграл (53) специальным таблицам для чего под интегралом используем только ПФ от jw: , (54) что эквивалентно выражению: . (55) Примем, что вход изменяется в форме единичной ступенчатой функции , где Для того чтобы привести подынтегральное выражение в (55) к табличному виду аппроксимируем . Учитывая эту аппроксимацию, представим подынтегральное выражение в виде: – значение табличного интеграла. Запас устойчивости по модулю и фазе Определим значения модуля АФХ на частоте : . (56) Учитывая эту аппроксимацию, представим подынтегральное выражение в виде: – значение табличного интеграла. Запас устойчивости по модулю и фазе Определим значение модуля АФХ на частоте и найдем в (56) минимум действительной части: откуда получим: . (57) Представим уравнение фазовой характеристики для определенной частоты : (58) Далее возьмем аппроксимацию функции arctg x, в виде: . (59) Такая аппроксимация приводит уравнение (58) к другому виду: . (60) Решим уравнение (60) относительно частоты . В результате получим: (61) при условии . (62) Перейдем к определению частоты для фазочастотной характеристики: . (63) Подставляя в (63) значения , получим (64) Примем условие в (64) отсюда получим: (65) С учетом аппроксимации (59) запишем фазочастотную характеристику в другом виде: . (66) Сформулируем задачу оптимизации: (67) при условии: (68) (69) (70) (71) (72) (73) при условии, что Далее, используя понятие штрафных функций сформулируем критерий, который надо минимизировать относительно параметров настроек ПИД – регулятора при номинальных значениях параметров объекта с учетом ограничений на запас устойчивости по модулю и фазе: (74) при , (75) , (76) , (77) . (78) В результате получим оптимальные значения настроек ПИД – регулятора при k=1, 2, 3, 4…. при значении параметров объекта ; Варьируемый объект, как противник, всегда стремится увеличить критерий оптимальности J, уменьшить запас устойчивости по модулю и фазе. При фиксированном S задача ухудшения параметров объекта имеет вид: ; , при условии параметрической модели неопределенности , которые образуют штрафные функции: , (79) где . Сформулируем задачу ухудшения объекта: (80) . В результате минимизации (80) определяются наихудшие параметры объекта , которые дают минимум критерия. После чего можно найти разность , если , то можно принять за решение задачи и за наихудшие параметры объекта k=1, 2, 3, 4…. Полученные – параметры настройки ПИД – регулятора на к-м шаге итерации. Таким образом, будут найдены оптимальные робастные настройки ПИД – регулятора рассчитанные на наихудший объект.