Thermo-mechanical processes

Full Text

Работа подготовлена по материалам доклада, прочитанного на XIV международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова. Тула, 17–20 сентября 2013 г. Фундаментальная механика деформируемых твердых тел – это наука о термомеханических процессах (ТМП), происходящих в телах, конструкциях, сооружениях, природных образованиях, биологических структурах при их взаимодействии между собой и с внешними физическими полями различной природы (тяготение, потоки тепла, электромагнитные поля, проникающие излучения). В данном определении ТМП содержится предмет исследования. Метод исследования – это разработка физической модели явления, соответственно ей – математической модели и ее исследование средствами современной математики и вычислительной техники. Неотъемлемой частью исследования на всех его стадиях является макроэксперимент (натурный, производственный, лабораторный). Очевидно, теория ТМП – это феноменологическая наука, активно использующая достижения физики твердого тела, материаловедения, других естественных наук. Под термомеханическим процессом, происходящим в материальной частице сплошной среды, мы понимаем задание одних параметров (как правило, деформаций, их скоростей, температуры и др.) и определение (отклик системы) других (как правило, напряжений). Эта связь представляется в форме функционалов по времени (примеры будут приведены ниже). В рамках этих представлений не бывает упругих, упругопластических или других тел, в разных ТМП тела могут проявлять разные свойства (пример – сталь: в большинстве конструкций и сооружений она проявляет свойства упругости, с ростом нагрузок – упругопластические свойства, в области сверхвысоких давлений и температур – кумулятивная струя – она ведет себя как идеальная несжимаемая жидкость). Теория ТМП включает в себя основные разделы современной механики деформируемого твердого тела · термовязкопластичность, исчерпание запаса пластичности (физико–математические основы технологии обработки материалов давлением); · пластичность при сложных нагружениях и больших деформациях; · процессы накопления поврежденности, длительная и малоцикловая прочность, долговечность; · механика композитов; · механика сверхпластичности и эффект памяти формы; · динамика и устойчивость (в том числе панельный флаттер элементов конструкций). В предлагаемой работе мы сосредоточим внимание на двух проблемах: 1) постановке начально-краевых задач вязкопластического течения в немонотонных процессах; 2) панельном флаттере вязкоупругих пластин и оболочек. Казалось бы, это совершенно различные направления исследований; их роднит, тем не менее, наличие «внутреннего» характерного времени, входящего в определяющие соотношения: в вязкопластичности – это характерная скорость деформации, в вязкоупругости – время релаксации. В обоих случаях это заметно затрудняет возможности физического моделирования. Отчетливое понимание того факта, что теорию пластичности надо разрабатывать в рамках теории процессов, было сформулировано А.А. Ильюшиным в 1942 году в работе [1]. Было введено понятие простого нагружения и построена хорошо всем известная и широко используемая теория малых упругопластических деформаций. По определению все непростые процессы нагружения называются сложными; теория таких процессов изложена в фундаментальной работе А.А. Ильюшина [2] и его монографиях [3, 4]. Введены пятимерные векторные пространства деформаций и напряжений (на основе соответствующих девиаторов), механические свойства материалов разделены на векторные и скалярные, сформулированы постулат изотропии и принцип запаздывания (след запаздывания – новая характеристика материала как мера при классификации процессов по степени их сложности). В предисловии к монографии [4] написано: «Последовательно дана теория процессов деформации и напряжения – рабочий аппарат при построении уравнений состояния и термодинамики сплошной среды на базе постулата макроскопической определенности, который применительно к начально квазиизотропным средам называется постулатом изотропии». Теоретические и экспериментальные исследования, появившиеся после работ [2-4] в течение нескольких десятилетий, практически все относятся к изотермической пластичности при сложных нагружениях и малых деформациях; основная проблема – определение функционалов пластичности, входящих в векторные и скалярные определяющие соотношения. Сложилось так, что в работах последних лет, особенно в монографиях, вышедших из-под пера В.Г. Зубчанинова и его коллег, в словосочетании «теория упругопластических процессов» второе слово вовсе опускалось и речь велась вообще о «теории процессов», в которую определяющий вклад внес В.Г. Зубчанинов. Такие оценки, а в особенности самооценки, в научных исследованиях не сочетаются с принятыми нормами этики и морали (пусть это будет на совести автора!). Следовало бы хорошенько помнить (по словам выдающегося физика Р. Оппенгеймера) о том, что в научных исследованиях полезно обращаться к тому, что было сделано в данной области знаний 50 и даже 100 лет назад; такова логика развития науки. Ниже об этом еще пойдет речь. Обратимся к теории изотермических упругопластических процессов; ее «потребители» – это в основном технологии тонколистовой прокатки и штамповки при малых и больших деформациях и перемещениях с промежуточными разгрузками и догрузками (процессы с переходами). Отсюда вытекает новая проблема: разработка теории упруго-пластических процессов при больших деформациях в телах с начальным напряженно–деформированным состоянием. Проблема лежит в области идей и методологии метода СН-ЭВМ с использованием баз данных (см. работу Р.А. Васина [5], там же приведена дополнительная библиография). «Метод СН-ЭВМ» А.А. Ильюшина – так принято в теории пластичности называть способ решения краевых задач при отсутствии (или при неполной) информации о свойствах материала. В.Г. Зубчанинов и его коллеги в Тверском ГТУ называют свою установку «Экспериментальный комплекс СН-ЭВМ им. А.А. Ильюшина».Нам представляется, что не в правилах научной этики и морали так обращаться с именем нашего Учителя. В качестве тестовой можно предложить задачу о попеременном обжатии по противоположным граням («кантовка») бруса прямоугольного поперечного сечения (с учетом трения на гранях). Полагаю, что в первом приближении (длинный брус, плоская деформация в прямоугольнике, степень обжатия (1015%); эту задачу можно решить в рамках варианта теории В.С. Бондаря [6] и построить образ процесса в некоторых характерных точках области. Термомеханические процессы в условиях развитого формоизменения – это физико-математичкская основа механики и технологии обработки материалов давлением (ОМД). Сложность физических явлений, происходящих в обрабатываемом материале, неизбежно приводит к упрощающим гипотезам при построении физических и соответствующих им математических моделей. Общепринятым на сегодня является представление о том, что монотонные процессы ОМД в сравнительно широком диапазоне изменения температур и скоростей деформаций с достаточной полнотой и точностью описываются теорией процессов малой кривизны. В эйлеровом представлении процесса отсюда следует векторное (или тензорное) определяющее соотношение (ОС): , (1) в котором: – девиатор истинных напряжений, – девиатор скоростей деформаций, , – их интенсивности соответственно. По существу (1) – это математическое выражение Сен-Венана, но существенно более богатое по содержанию, поскольку может быть функционалом по времени от параметров процесса: (2) Математическую модель процесса ОМД составляют, вместе с (1) и (2), уравнения движения, начальные и граничные условия, уравнение сохранения массы, уравнения теплопроводности для пластического потока и тел инструментов и соответствующие условия теплового контакта. В дальнейшем будем полагать, что тепловая задача отделяется – температура считается известной функцией координат и времени. В соотношении (2) – температура, – степень деформации, определяемая из уравнения , . Второе скалярное ОС представляется также в форме функционала ( – плотность): . (3) Для подавляющего большинства процессов принимается условие несжимаемости ; если оно не оправдывается (пористые спеченные материалы, керамика), то можно принять , , и тогда из уравнения сохранения массы последует: , (4) здесь – вектор скорости потока. Сверхпластичность (СП) – термомеханический процесс, в котором материал в довольно узком температурном интервале и при ограничениях на скорость деформации и размер зерна приобретает свойство деформироваться без разрушения до степени деформации порядка сотен процентов при существенно пониженном сопротивлении сдвигу. Заметим, что механические свойства материала в режиме СП существенно зависят от перечисленных выше параметров, в особенности от скорости деформации. Математическую модель процесса СП составляют уравнения (1)–(4), однако они должны быть дополнены условиями существования области СП-состояния: , , , (5) здесь: — размер зерна, который, как правило, определяется из эволюционного уравнения ; они выделяют подобласти, занятые материалом в различных состояниях (СП-материалом и «обычным» вязкопластическим материалом), границы раздела определяются из условий непрерывности векторов скорости и напряжений, теплового потока и температуры. Технологические процессы ОМД происходят через механическое и тепловое взаимодействие пластического потока с рабочими поверхностями тел инструмента. Будем считать, что трение между потоком и поверхностью контакта изотропно, и пренебрежем упругими деформациями инструментов; тогда движение поверхности контакта известно: , и условие непроницания запишется в виде: . (6) Величина контактного касательного напряжения – определяемый из опыта (или теоретически) функционал процесса: , , (7) здесь: – нормальное напряжение, – коэффициент трения, – вектор скорости относительно скольжения. Вектор касательного напряжения задается соотношением: . (8) Определение функционалов и – это фундаментальная проблема в МДТТ; возникающие при этом трудности хорошо известны – достаточно ознакомиться с опытом построения функционалов пластичности в теории упругопластических процессов. В теориях ТВП и СП эти трудности усугубляются существенным влиянием температуры, скорости деформации и других параметров, а также тем, что происходят они при больших деформациях (последнее относится к функционалу ). Поэтому первый и важнейший вопрос (он сформулирован в работе [7]), на который следует получить ответ: существует ли, и если да, то какие, классы термомеханических процессов, в которых функционалы и можно с заданной точностью заменить функциями нескольких переменных. В работе [7] предложена методика проведения двух серий экспериментов, по результатам которых можно было бы ответить на поставленный вопрос; к сожалению, нам неизвестно, были ли эти методики использованы. Приведем описание одного из экспериментов. Представим себе две тонкостенные трубки, выполненные из материалов, составляющих пару трения; внешний радиус трубок , толщина . Трубки прижимаются торцами осевой силой и вращаются одна относительно другой с угловой скоростью , так что относительная скорость скольжения . Поскольку , температура (при одинаковых условиях теплообмена на внешней и внутренней поверхностях) и напряженно-деформированное состояние в области контакта с хорошей точностью однородны. Независимо задаваемыми в опыте параметрами являются давление и скорость ; измеряемыми параметрами – касательное напряжение трения и температура; – крутящий момент. В плоскости параметров , (рисунок 1) зададим точку , где , значения , в момент , начиная с которого (при постоянной заданной скорости ) процесс становится установившимся (рисунок 1а); результат измерений фиксируется на плоскости , (рисунок 1б). В точку можно прийти разными путями (история нагружения); осуществим их последовательно: Рисунок 1. : , ; - точка 1; : , ; - точка 2; : , ; - точка 3. Значения в наборе из опытов при различных путях нагружения, вообще говоря, не совпадут (значения очевидно не совпадут). Выберем из данного набора и и определим разброс . Выберем другие точки , проведем аналогичную серию опытов при той же скорости и найдем разбросы . Выберем допуск ; если хотя бы в одном из опытов заметно превосходит , то – функционал процесса. Предлагаемый эксперимент многопрограммный, то есть, например, можно провести серию опытов при другой скорости и т.д. Программу опытов в условиях однородных по области контакта состояний желательно существенно расширить, усложнив законы изменения по времени основных параметров: скорости скольжения, давления, температуры. Особенно интересны изменения скорости и давления в форме ступеньки («мгновенное» изменение), поскольку в этом случае «отклик» системы – вид функции – может многое сказать о существе явления. Из результатов таких опытов создается база данных, используемая для расчета реальных процессов. (Здесь прослеживается полная аналогия с идеями метода СН-ЭВМ). Замечание. Выше шла речь о функционалах сухого трения; наличие смазок существенно усложнит задачу. С сожалением следует отметить, что исследования в обсуждаемом направлении механиков-теоретиков, механиков-технологов (обработчиков) и трибологов консолидированы в совершенно недостаточной мере. До сих пор мы говорили о монотонных процессах активной деформации; но в технологии ОМД большинство процессов происходит с переходами, т.е. с полными (по внешним воздействиям) разгрузками. В большинстве случаев это происходит кинематически, т.е. поток перестает контактировать с инструментом. Пусть – известный закон движения инструмента при разгрузке, а – закон трения, тогда на границе контакта должны быть выполнены условия (6)–(8), а приращения деформаций и напряжений в точках потока определяются по теореме о разгрузке [8] (пока ограничимся изотермическими процессами). Допустим, что к моменту разгрузки в потоке известны векторы напряжений и деформаций , т.е. в каждой точке потока построен образ процесса в пятимерном пространстве. Следующий шаг – определение параметров внутренней геометрии траектории деформации; если они отвечают условиям теории процессов малой кривизны, то можно приступать к исследованию второго этапа, обратившись к банку данных (метод СН-ЭВМ!). Если нет – теория требует уточнения. Допустим, что поле остаточных напряжений и деформаций известно; на втором этапе процесса (при новых граничных условиях) мы имеем новую задачу на траектории с изломом при заданном начальном НДС. В первом приближении можно принять, что второе звено траектории будет кривой малой кривизны, тогда векторные ОС можно принять в форме закона течения С.-В.; наоборот, о скалярных ОС, даже в области малых деформаций, данных практически нет. Из сказанного вытекает важная в приложениях новая научная проблема: построение теории упругопластических процессов (а в дальнейшем – теории термомеханических процессов) на многозвенных траекториях малых кривизн и при произвольных деформациях. На первом этапе программа исследований могла бы включать эксперименты на двухзвенных траекториях с промежуточными разгрузками в области деформации в пределах (3~5)%. Ознакомиться с исследованиями по проблеме панельного флаттера вязкоупругих пластин мы предлагаем читателю по обстоятельному обзору [9], там же приведена подробная библиография. В данной работе будут конспективно изложены основные идеи и результаты современных исследований по флаттеру вязкоупругих пластин. Предположим, что механические свойства материала пластины описываются линейным функционалом Вольтерры: , (9) здесь: – мгновенный модуль, – параметр вязкости; ядро интегрального оператора содержит еще один параметр – время релаксации . Колебания и устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа будем рассматривать в рамках поршневой теории как начально-краевую задачу для хорошо известной математической модели: , (10) , , , (11) , ; , (12) здесь введены обозначения: , , , – плотность; постоянный коэффициент Пуассона материала пластины и ее толщина, , , – показатель политропы газа, давление и скорость звука в нем, – скорость потока, – его направление; – известный в теории пластин оператор. В первых исследованиях начальное условие (12) отсутствовало, решение имело форму и использовался метод усреднения. Результат всегда вызывал неудовлетворенность: было показано, что критическая скорость флаттера (в частной постановке для прямоугольной шарнирно опертой пластины) равна примерно половине мгновенно-модульной, не зависит от характеристик вязкости и , а зависит от коэффициента Пуассона. Ситуация оставалась неразъясненной до начала нынешнего столетия; о дальнейшем – речь ниже. Идею исследования системы (9)-(12) изложим на примере прямоугольной пластины. Система (9)-(12) переводится в пространство изображений Лапласа по времени, ее решение представляется по Галеркину в виде суперпозиции координатных функций ( – параметр преобразования Лапласа) , и проводится обычная проекционная процедура. В результате получается система линейных уравнений относительно : , в которой правые части зависят только от начальных данных. Решение системы имеет вид: , (13) Исследование асимптотической устойчивости решения (13) основано на известных теоремах операционного исчисления: асимптотическое поведение при определяется полюсами и точками ветвления аналитических функций , т.е. корнями и точками ветвления определителя . Если корни уравнения и точки ветвления лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости , то решение устойчиво. Если ядро – регулярное (сумма экспонент), то – многочлен, и задача упрощается; если ядро – сингулярное (типа Ржаницина – Колтунова), то точка ветвления, будучи отрицательной, вклад в неустойчивость не вносит, и дело сводится к определению корней уравнения . Отмеченный выше парадокс в определении критической скорости флаттера вязкоупругой пластины в рамках теории процессов близок, как нам представляется, к окончательному разъяснению; совсем недавно [10] на примере точного решения тестовой задачи о флаттере полосы при продольном обтекании показано, что критическая скорость флаттера может лежать в диапазоне от мгновенно-модульной до предельно-модульной: в зависимости от того, как соотносится между собой время релаксации и период основного тона собственных колебаний упругой полосы с модулем . Приведенный выше краткий обзор исследований по некоторым научным направлениям в проблеме термомеханических процессов, а также материалы различных научных собраний последних лет свидетельствуют о том, что эти исследования проводятся регулярно и успешно (международные симпозиумы в МГУ, конференции в ТулГУ, школы-семинары в Университете машиностроения и др.). В частности, в последнем сборнике «Упругость и неупругость» (изд. МГУ, 2012) половина статей посвящена различным аспектам теории термомеханических процессов, в том числе перспективам ее развития. Наоборот, бесперспективными мне представляются попытки устанавливать приоритеты в развитии науки – гораздо полезней было бы устанавливать более тесные контакты между научными коллективами различных школ. Здесь я обращусь к нашему учителю А.А. Ильюшину; на своих семинарах он учил нас бескомпромиссно, но в то же время бережно относиться к успехам – своим и своих коллег. Мне приходилось от него слышать: «Неужели в нашей прочности стало тесно от мыслей?»; в его творчестве мыслям действительно было тесно, и он ими не задумываясь делился с коллегами. Эти соображения пришли мне в голову после прочтения статьи В.Г. Зубчанинова «О моих учителях» (См. Вестник Чувашского гос. пед. ун-та; серия Механика предельного состояния. № 1(19), 2011). В этой статье, изобилующей самооценками, которые не сочетаются с принятыми нормами научной этики (пусть это будет на совести автора), содержатся утверждения, искажающие истинное положение вещей. Читаем: «Московский государственный университет существенно ослабил свои исследования в области пластичности и прочности… Смею утверждать, что «ильюшинское» направление в теории пластичности с конца 80-х годов прошлого столетия сместилось в Тверь, в технический университет, а также в ряд других научных центров страны. В Твери продолжают интенсивно вестись фундаментальные теоретические и экспериментальные исследования в области процессов пластического деформирования материалов… Построенную мною общую теорию определяющих соотношений в теории пластичности можно отнести к моему третьему самому крупному достижению мирового уровня в этой области познания». Что же, действительно в Твери стало тесно от новых мыслей? Можно усомниться (см. примеры); от чего действительно там тесно, так это от изобилия публикаций и книг, которые во многом повторяют одна другую. Пример 1. В большой серии публикаций В.И. Гультяева (соавторы почти во всех отец и сын Зубчаниновы) представлены результаты опытов по сложному нагружению, которые названы тестовыми. Для каких реальных процессов (в технологии и машиностроении) они являются тестовыми, не указано; это производит впечатление случайного набора экспериментов, не объединенных какой-либо общей идеей. И это называется фундаментальными исследованиями? Пример 2. В том же журнале (2011, № 2(10)) опубликованы две статьи В.Г. Зубчанинова и В.И. Гультяева об экспериментах по устойчивости цилиндрической оболочки при сжатии после предварительного нагружения по двум различным траекториям. Первый вопрос – тот же: из каких соображений выбраны траектории предварительного нагружения? Как и в первом случае, ответа нет. Второй вопрос – какой принят экспериментальный критерий потери устойчивости – также оставлен без ответа. Эти эксперименты тоже из разряда фундаментальных? * * * А.А. Ильюшин довольно скромно написал о своем вкладе в науку: «В 60-е годы я снова оказался на своей кафедре теории упругости МГУ. Начался этап оформления идей, создания теории упругопластических процессов, общей математической теории термовязкопластичности и термодинамики сплошных сред». Помня об этом, нам надлежит в свободных дискуссиях, бережно относясь к научному наследию Алексея Антоновича, преумножать и развивать его. Проходило заседание семинара, на котором делал доклад один из коллег Алексея Антоновича. Шло стандартное обсуждение научных проблем, и вот в момент, когда докладчик дошел до основного тезиса в своем сообщении, раздался возглас А.А. Ильюшина: «А вот тут-то, дорогой мой, я Вам и скажу: «Ха-ха!». Докладчик изумленно замолчал, а А.А. повторил «Да-да, мой дорогой, ха-ха!». Кое-как доклад был завершен; в обсуждении А.А. все поставил на свои места. Прежде чем заниматься оценками достижений коллег и особенно своих, полезно мысленно обратиться к Учителю и подумать, не скажет ли он свое знаменитое «Ха-ха!».

About the authors

I. A Kiyko

Lomonosov Moscow State University

Email: elast5539@mail.ru
Dr. Sc.

References

Supplementary files