Mathematical model of dynamics of highly nonlinear guided mechanical system

Full Text

Примером существенно нелинейной управляемой механической системы является манипулятор промышленного робота. Учет сил сухого трения (трения скольжения) в сочленениях звеньев манипулятора (в кинематических парах) усложняет эту и без того достаточно сложную нелинейную механическую систему. Практически отсутствуют исследования динамики манипуляторов роботов с учетом сухого трения в кинематических парах. Как следует ожидать, уравнения динамики манипуляторов при учете сухого трения будут нелинейными относительно обобщенных ускорений, что значительно усложняет их решения. Кроме того, наличие сил трения в кинетических парах приведет к динамической зависимости тех звеньев манипулятора, движения которых в случае отсутствия сил трения являются динамически независимыми. Данный факт следует учитывать при проектировании системы управления для роботов, требующих по своему технологическому назначению особо высокую точность позиционирования. Таким образом, математическая модель динамики существенно нелинейной управляемой механической систем, построенная на примере манипулятора робота, позволяет не только проводить теоретические исследования в области нелинейной механической системы со многими степенями свободы, но также стать основой при проектировании системы управления робота. Построим математическую модель динамики манипулятора промышленного робота типа «SKILAM» с учетом сухого трения в кинематических парах и с учетом динамических характеристик двигателей. Рисунок 1. Кинематическая схема манипулятора промышленного робота «SKILAM» Рабочими движениями манипулятора данного робота являются вращения первых двух звеньев вокруг вертикальных осей и поступательное перемещение в вертикальном направлении третьего звена, несущего схват (рисунок 1). Первые два звена манипулятора приводятся в движение электродвигателями постоянного тока через волновые редукторы. Электродвигатели и волновые редукторы расположены на осях вращения звеньев (оси вращения роторов двигателей совпадают с осями вращения звеньев). Третье звено приводится в движение пневмоприводом. На этапе транспортировки груза будем считать рабочий орган (схват) жестко связанным с третьим звеном. В этом случае манипулятор робота будет иметь три степени свободы. За обобщенные координаты рассматриваемой механической системы выберем параметры , определяющие перемещение одного звена манипулятора относительно предыдущего (рис.1). В основу определения реакций в кинематических парах, а также построения дифференциальных уравнений движения системы положим соответственно принципы Даламбера и Даламбера-Лагранжа [1]. Напомним, что составление уравнений кинетостатики, в основе которых лежит принцип Даламбера, для механической системы связано введением сил инерции. Силы инерции каждого звена приведем к его центру масс и заменим главным вектором и главным моментом относительно центра масс. Главный вектор сил инерции каждого звена (твердого тела) определяется соотношением [1]: (1) где: абсолютное ускорение центра масс соответствующего звена, - массы звеньев. Главный момент сил инерции каждого из звеньев можно представить в виде [1]: , (2) где: кинетический момент го звена относительно его центра масс, - локальная производная вектора кинетического момента по времени, - абсолютная угловая скорость го звена. При определении реакций в кинематических парах манипулятора применим аппарат матриц преобразования однородных координат [2]. С этой целью свяжем жестко со звеньями манипулятора системы координат , оси которых являются главными осями инерции соответствующих звеньев. Система координат является неподвижной (рисунок 1). Проекции абсолютного ускорения центра масс го звена на неподвижные оси координат могут быть определены по формуле [3]: (3) где: матрица, определяющая положение системы координат, связанной с ым звеном, относительно неподвижной системы координат; - матрица, элементы которой являются вторыми производными по времени элементов матрицы ; - радиус–вектор центра масс го звена в системе координат, связанной с этим звеном. Для построения матриц имеет место следующее рекуррентное соотношение [2]: (4) где: единичная матрица, - матрицы, определяющие положение системы координат, связанной с -ым звеном, в системе координат, связанной с предыдущем ым звеном. Для рассматриваемой механической системы матрицы имеют следующий вид: (5) где: и - длины соответственно первого и второго звеньев манипулятора. Таким образом, на основании (1) с учетом (3)-(5) можно найти проекции главного вектора сил инерции каждого из звеньев манипулятора на оси неподвижной системы координат: (6) (7) (8) где: и - расстояние центров масс соответственно первого и второго звеньев манипулятора от их собственных осей вращения. Следует отметить, что при определении главных векторов сил инерции массы двигателей включены в массы тех звеньев манипулятора, на которых они расположены. Символ звездочки в (6) –(8) обозначает операцию транспортирования вектора. Компоненты главных векторов сил инерции звеньев манипулятора в локальных системах координат, связанных с некоторыми из звеньев, определим на основании следующего соотношения: (9) где: компоненты главного вектора сил инерции го звена в системе координат, связанной с ым звеном, - матрица, обратная матрице . Таким образом, на основании (9) с учетом (6) – (8) получим: (10) (11) (12) (13) (14) . (15) Необходимо также найти компоненты главных моментов сил инерции роторов двигателей и звеньев манипулятора в локальных системах координат, связанных со звеньями. Если взять за центры приведения сил инерции звеньев и роторов двигателей их центры масс, то согласно (2) получим следующие выражения для проекций главного момента сил инерции на главные центральные оси координат, связанные со звеньями: (16) Здесь производные по времени от проекций абсолютной угловой скорости соответствующих звеньев или роторов двигателей на подвижные оси координат, жестко связанные со звеньями; - главные осевые моменты инерции звеньев. Проекции абсолютных угловых скоростей звеньев манипулятора на оси координат, жестко связанные со звеньями, определяются следующими выражениями: . (17) Компоненты абсолютных угловых скоростей роторов электродвигателей в локальных системах координат, связанных с соответствующими звеньями, имеют вид: . (18) где: и - передаточные отношения соответственно первого и второго редуктора. На основании (16) с учетом (17) и (18) получим следующие выражения проекций главных моментов сил инерции звеньев манипулятора и роторов двигателей на центральные локальные оси координат: (19) где: и - моменты инерции роторов соответственно первого и второго двигателя относительно их собственных осей вращения. Следует отметить, что главные центральные оси координат звеньев манипулятора параллельны указанным на рисунке 1 главным осям инерции . Это объясняется тем, что оси и являются осями симметрии соответствующих звеньев манипулятора. Для дальнейшего решения задачи необходимо определить проекции нормальных реакций и сил трения скольжения в кинематических парах манипулятора на соответствующие локальные оси координат. а) вращательного типа б) поступательного типа Рисунок 2. Расчетные схемы кинематических пар В первом приближении рассмотрим упрощенные модели кинематических пар вращательного типа (первой и второй кинематической пары) (рисунок 2а) и поступательного типа (третья кинематическая пара) (рисунок 2б). Показанные на рисунках 2а и 2б модели кинематических пар соответствуют случаю отсутствия перекоса оси симметрии кинематической пары. Для определения реакций в кинематических парах приложим к звеньям манипулятора кроме действующих активных сил силы инерций. Размыкая поочередно кинематическую цепь манипулятора в каждой кинематической паре, начиная с последней, будем составлять уравнения кинетостатики для свободной части. При этом будем использовать локальные системы координат, связанные соответственно с последним звеном части кинематической цепи, ставшей свободной. Составляющие нормальной реакции, действующей в третьей кинематической паре, найдем из следующих уравнений, записанных для третьего звена: (20) На основании (20) с учетом (14) и (15) получим: (21) Следует учитывать, что в массу третьего звена включена масса транспортируемого груза. Сила трения скольжения, действующая в третьей кинематической паре, определится по формуле: . (22) где: коэффициент трения в третьей кинематической паре. Таким образом, учитывая (21) будем иметь: (23) Составляющие нормальной реакции и сил трения , действующих во второй кинематической паре, можно определить на основании уравнений кинетостатики, записанных для свободной механической системы, состоящей из третьего и второго звеньев манипулятора: (24) Учитывая, что сила трения скольжения перпендикулярна соответствующей нормальной реакции и оси кинематической пары , ее можно представить в следующем виде: (25) где: коэффициент трения второй кинематической пары, - орт оси . Следует заметить, что соотношение (25) справедливо в случае, когда система координат имеет правую ориентацию. На основании (25) получим: (26) Таким образом, решая систему двух линейных алгебраических уравнений (24), учитывая при этом (26), найдем выражения компонент нормальной реакции второй кинематической пары в системе координат, связанной со вторым звеном: (27) Пренебрегая в знаменателях (27) квадратом коэффициента трения по сравнению с единицей, получим: (28) Выражения (28) с учетом (13) и (14) примут вид: (29) где: (30) Составляющие нормальной реакции первой кинематической пары можно определить из уравнений кинетостатики механической системы, состоящей из трех звеньев манипулятора: (31) Проекции силы трения скольжения первой кинематической пары на оси координат, связанные с первым звеном, можно представить в виде: (32) где: коэффициент трения скольжения первой кинематической пары. Решая (31) с учетом (32), получим: (33) Как и ранее, пренебрежем в знаменателях (33) квадратом коэффициента трения по сравнению с единицей. В результате компоненты нормальной реакции первой кинематической пары в локальной системе координат, связанной с первым звеном, примут вид: (34) С учетом (10)-(12) соотношения (34) примут вид: (35) где: (36) Полученные выражения (29) и (35) для нормальных реакций соответственно первой и второй вращательной кинематической пары позволяют найти моменты сил трения относительно осей вращения: (37) где: радиусы, определяющие размеры соприкасающихся поверхностей соответственно первой и второй вращательной кинематической пары, (38) Для получения дифференциальных уравнений движения манипулятора робота необходимо составить общее уравнение динамики для каждого из независимых возможных перемещений системы , число которых равно числу степеней свободы системы. (39) где: моменты и усилие, развиваемые соответствующими двигателями, - главные моменты сил инерции электродвигателей и звеньев манипулятора, определяемые соотношениями (19), - моменты главных векторов сил инерции соответствующих звеньев относительно осей вращения первых двух звеньев (рисунок 1), - возможные перемещения соответственно первого и второго роторов электродвигателей. При этом а Моменты главных векторов сил инерции относительно осей вращения можно определить на основании соотношений: (40) где: радиусы-векторы центров масс соответствующих звеньев относительно точек (начала связанных с первыми двумя звеньями систем координат (рисунок 1). В результате, на основании (39) с учетом (10)-(15), (19), (22), (26), (30), (32), (36), (37) и (40) получим (41) где: определяются соответственно соотношениями (35), (29) и (23), - моменты инерции соответствующих звеньев относительно их собственных осей вращения, переход к которым осуществлен на основании теоремы Гюйгенса-Штейнера [1]. Система дифференциальных уравнений движения рассматриваемой механической системы (41) полностью совпадает в случае отсутствия сил трения скольжения в кинематических парах с дифференциальными уравнениями, полученными в работе [3] на основании уравнений Лагранжа II рода. В случае отсутствия сил трения в кинематических парах, как следует из [3], движение третьего звена манипулятора динамически не зависит от движения первых двух звеньев. Анализ системы дифференциальных уравнений движения манипулятора робота (41), полученной при учете сил сухого трения (трения скольжения) в кинематических парах, показывает, что силы трения в кинематических парах приводят к динамической зависимости всех трех звеньев манипулятора. При этом дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы (41) нелинейны относительно обобщенных ускорений. Для упрощения данной задачи рассмотрим наиболее часто встречающийся вариант транспортировки груза, при которой вначале одновременно движутся два первых звена манипулятора, а затем, после их остановки, перемещается третье звено. При этом сила трения в третьей кинематической паре станет равной нулю и в результате может быть найдено аналитическое решение третьего уравнения системы (41). Таким образом, задача сведется к решению системы первых двух уравнений (41). Систему, состоящую из первых двух уравнений (41), необходимо дополнить уравнениями динамических характеристик двух электродвигателей. Уравнения динамических характеристик электродвигателей постоянного тока с независимым возбуждением могут быть представлены в виде [2]: (42) где: электромагнитные постоянные времени двигателей, - крутизна статической характеристики, - некоторые постоянные параметры - вектор программного управления. В этом случае задача определения динамических ошибок – отклонений законов движения от программных, а следовательно, погрешности позиционирования робота – будет сводиться к интегрированию уравнений движения механической системы, состоящей из первых двух уравнений системы (41) совместно с уравнениями динамических характеристик двигателей (42).

About the authors

L. V Bozhkova

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Dr. Eng., Prof.; +7 (495) 223-05-23

G. I Noritsina

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Ph.D.; +7 (495) 223-05-23

V. G Ryabov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
Ph.D., Prof.; +7 (495) 223-05-23

T. V Akulshina

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: tm@mami.ru
+7 (495) 223-05-23

References

Supplementary files