Uniform approach to a definition and study of Cournot and Stackelberg competitons in Cournot model

Abstract

The article describes the process of constructing of operators in Cournot and Stackelberg models taking into account the number of active companies. Investigated operators are very different from the known "classic" Cournot and Stackelberg operators. Economic meaning of these operators and their fixed points is unclear because of a uniform approach to the identification and study of these strategies.

Full Text

Этот подход уже намечен в серии результатов об этих стратегиях (см., например, [1]-[2]). Подход заключается в конструировании операторов размерности числа действующих фирм в модели, причем операторы имеют нужные свойства. Под оператором понимается просто функция из в , без всяких дополнительных свойств типа линейности. Для двух, трех фирм с целью некоторого упрощения обозначаем выпуск 1-й фирмы , 2-й фирмы - , 3-й - . Для большего числа фирм обозначаем выпуск -й фирмы. Стратегия Курно Основополагающая идея при рассмотрении этой стратегии в том, что фирмы примерно равны по силе, т.е. по объему производства. Сначала рассмотрим случай 2-х фирм. Известен классический пример оператора , приводящий к стратегии Курно. Он определен на двумерных векторах . (1) Основные свойства этого оператора: действие фирмы по нему приводит к максимизации прибыли; он имеет неподвижную точку, к которой приводят его итерации, начиная с любого вектора (доказательства этих свойств см. в статьях [1]-[2]). Определим теперь оператор , который также определен на двумерных векторах: . (2) Уже в этом операторе присутствует идея равенства 2-х фирм - прямо указывается, что . Второе условие оставляет свободным часть рынка, что позволяет поддерживать высокую цену на товар. Этот оператор имеет неподвижную точку, являющуюся решением системы уравнений ,.т.е. , (3) откуда . (4) Итак, неподвижная точка оператора есть стратегия Курно. Оператор не имеет такого ясного экономического смысла, как оператор (в частности, он не связан с максимизацией прибыли). Можно придумать еще операторы, неподвижная точка которых есть стратегия Курно. Вот пример такого оператора . (5) Его неподвижная точка, как легко убедиться, есть стратегия Курно (4) . Определим теперь подобный оператор для любого числа фирм . Он, естественно, определен на -мерных векторах. Итак, положим . (6) В этом операторе также присутствует идея равенства фирм: . Этот оператор имеет неподвижную точку, являющуюся решением системы уравнений , т.е. , (7) откуда . Итак, неподвижная точка оператора есть стратегия Курно для фирм. Однако второе свойство, имеющееся у классического оператора (см. выше), для числа фирм больше 2-х не распространяется (см. [1]). Стратегия Штакельберга Вначале рассмотрим случай 2-х фирм. Классический оператор Штакельберга здесь равен: . (8) Определим теперь другой оператор Штакельберга: . (9) Этот оператор более пригоден для разных по силе фирм, прямо указывается, что 1-я фирма более мощная, чем 2-я: . Этот оператор можно было бы назвать «силовым»: 1-я, мощная фирма заявляет о том, что она собирается захватить в 2 раза большую часть рынка, чем 2-я (наверное, чувствует силы на такое заявление!). Далее находится неподвижная точка: (10) т.е. неподвижная точка дает стратегию Штакельберга. Обобщив этот случай для любого числа фирм, рассуждая по алгоритму для 3-х фирм, получим: . (11) Новый оператор (12) полагает, что 1-я фирма мощнее 2-й, 2-я - мощнее 3-й. Этот оператор также можно было бы назвать «силовым». Но фирмы оставляют свободным часть рынка, что позволяет держать высокую цену на товар. Этот оператор также имеет неподвижную точку: (13) Неподвижная точка совпадает с уже упоминавшейся стратегией Штакельберга для 3-х фирм. Для фирм рассуждения таковы: имеем оператор . (14) Выражая , через получим: (15) и, следовательно, , (16) так что и по индукции . Окончательно: . (17) Итак, в случае фирм неподвижная точка совпадает с уже упоминавшейся стратегией Штакельберга. Далее можно рассмотреть еще один оператор . (18) Этот оператор также может быть отнесен к «силовым». Его неподвижная точка есть . Свободным остается часть рынка , что позволяет держать высокую цену на товар. Этот оператор ранее никогда не встречался в исследованиях модели Курно и упомянут для демонстрации разнообразия исследуемого подхода. Следующий оператор демонстрирует это разнообразие еще разительнее: . (19) Проверяем, имеет ли он неподвижную точку . (20) Более того, пусть , тогда точка также неподвижна. И есть еще 2 вида неподвижных точек и . (21) Аналогичные операторы большей размерности имеют также несколько видов неподвижных точек. Число таких видов равно числу действующих фирм. Экономический смысл этих операторов и их неподвижных точек неясен. Видно, что исследованные операторы разительно отличаются от известных «классических» операторов Курно и Штакельберга. Выводы В данной статье указывается на отсутствие в определенных и исследуемых операторах ясного экономического смысла. Остаются неисследованными математические аспекты. Например: 1. Для функций из в исследовать непустоту и структуру множества неподвижных точек. По экономическим причинам исследуемые функции должны быть непрерывными, не следует брать их совсем уж произвольными. Скорее уж эти функции должны быть сжимающими или чем-то вроде этого и определены на компакте . 2. Придумать и исследовать подходящие операторы для тех или иных стратегий фирм (например для стратегии Бертрана). 3. В новых терминах выразить известные уже понятия дуополии Курно (такие как равновесие по Нэшу или доминирование стратегий или множество Парето в смысле биматричных игр - см. [1]). 4. Дать какие-то математические нюансы новых понятий, например как-то связать их с конкуренцией, сотрудничеством фирм и т.п. Можно сказать несколько фраз по этому поводу. Когда фирма имеет в качестве стратегии неподвижную точку , то в этом большое удобство: не надо в каждом цикле раздумывать над величиной выпуска; можно отшлифовать работу всяких подсобных служб; работа фирмы с такой стратегией прозрачна и предсказуема, что может быть очень удобно для ее партнеров и потребителей т.п. Конечно, в стратегии, определяемой неподвижной точкой, есть и отрицательные моменты, но не будем на них останавливаться.