Единообразный подход к определению и исследованию стратегий Курно, Штакельберга и т.п. в модели Курно

Аннотация

В статье рассмотрен процесс конструирования операторов в моделях Курно и Шкакельберга размерности числа действующих фирм. Исследованные операторы разительно отличаются от известных «классических» операторов Курно и Штакельберга. Экономический смысл этих операторов и их неподвижных точек неясен, т.к. рассматривался единообразный подход к определению и исследованию данных стратегий.

Полный текст

Этот подход уже намечен в серии результатов об этих стратегиях (см., например, [1]-[2]). Подход заключается в конструировании операторов размерности числа действующих фирм в модели, причем операторы имеют нужные свойства. Под оператором понимается просто функция из в , без всяких дополнительных свойств типа линейности. Для двух, трех фирм с целью некоторого упрощения обозначаем выпуск 1-й фирмы , 2-й фирмы - , 3-й - . Для большего числа фирм обозначаем выпуск -й фирмы. Стратегия Курно Основополагающая идея при рассмотрении этой стратегии в том, что фирмы примерно равны по силе, т.е. по объему производства. Сначала рассмотрим случай 2-х фирм. Известен классический пример оператора , приводящий к стратегии Курно. Он определен на двумерных векторах . (1) Основные свойства этого оператора: действие фирмы по нему приводит к максимизации прибыли; он имеет неподвижную точку, к которой приводят его итерации, начиная с любого вектора (доказательства этих свойств см. в статьях [1]-[2]). Определим теперь оператор , который также определен на двумерных векторах: . (2) Уже в этом операторе присутствует идея равенства 2-х фирм - прямо указывается, что . Второе условие оставляет свободным часть рынка, что позволяет поддерживать высокую цену на товар. Этот оператор имеет неподвижную точку, являющуюся решением системы уравнений ,.т.е. , (3) откуда . (4) Итак, неподвижная точка оператора есть стратегия Курно. Оператор не имеет такого ясного экономического смысла, как оператор (в частности, он не связан с максимизацией прибыли). Можно придумать еще операторы, неподвижная точка которых есть стратегия Курно. Вот пример такого оператора . (5) Его неподвижная точка, как легко убедиться, есть стратегия Курно (4) . Определим теперь подобный оператор для любого числа фирм . Он, естественно, определен на -мерных векторах. Итак, положим . (6) В этом операторе также присутствует идея равенства фирм: . Этот оператор имеет неподвижную точку, являющуюся решением системы уравнений , т.е. , (7) откуда . Итак, неподвижная точка оператора есть стратегия Курно для фирм. Однако второе свойство, имеющееся у классического оператора (см. выше), для числа фирм больше 2-х не распространяется (см. [1]). Стратегия Штакельберга Вначале рассмотрим случай 2-х фирм. Классический оператор Штакельберга здесь равен: . (8) Определим теперь другой оператор Штакельберга: . (9) Этот оператор более пригоден для разных по силе фирм, прямо указывается, что 1-я фирма более мощная, чем 2-я: . Этот оператор можно было бы назвать «силовым»: 1-я, мощная фирма заявляет о том, что она собирается захватить в 2 раза большую часть рынка, чем 2-я (наверное, чувствует силы на такое заявление!). Далее находится неподвижная точка: (10) т.е. неподвижная точка дает стратегию Штакельберга. Обобщив этот случай для любого числа фирм, рассуждая по алгоритму для 3-х фирм, получим: . (11) Новый оператор (12) полагает, что 1-я фирма мощнее 2-й, 2-я - мощнее 3-й. Этот оператор также можно было бы назвать «силовым». Но фирмы оставляют свободным часть рынка, что позволяет держать высокую цену на товар. Этот оператор также имеет неподвижную точку: (13) Неподвижная точка совпадает с уже упоминавшейся стратегией Штакельберга для 3-х фирм. Для фирм рассуждения таковы: имеем оператор . (14) Выражая , через получим: (15) и, следовательно, , (16) так что и по индукции . Окончательно: . (17) Итак, в случае фирм неподвижная точка совпадает с уже упоминавшейся стратегией Штакельберга. Далее можно рассмотреть еще один оператор . (18) Этот оператор также может быть отнесен к «силовым». Его неподвижная точка есть . Свободным остается часть рынка , что позволяет держать высокую цену на товар. Этот оператор ранее никогда не встречался в исследованиях модели Курно и упомянут для демонстрации разнообразия исследуемого подхода. Следующий оператор демонстрирует это разнообразие еще разительнее: . (19) Проверяем, имеет ли он неподвижную точку . (20) Более того, пусть , тогда точка также неподвижна. И есть еще 2 вида неподвижных точек и . (21) Аналогичные операторы большей размерности имеют также несколько видов неподвижных точек. Число таких видов равно числу действующих фирм. Экономический смысл этих операторов и их неподвижных точек неясен. Видно, что исследованные операторы разительно отличаются от известных «классических» операторов Курно и Штакельберга. Выводы В данной статье указывается на отсутствие в определенных и исследуемых операторах ясного экономического смысла. Остаются неисследованными математические аспекты. Например: 1. Для функций из в исследовать непустоту и структуру множества неподвижных точек. По экономическим причинам исследуемые функции должны быть непрерывными, не следует брать их совсем уж произвольными. Скорее уж эти функции должны быть сжимающими или чем-то вроде этого и определены на компакте . 2. Придумать и исследовать подходящие операторы для тех или иных стратегий фирм (например для стратегии Бертрана). 3. В новых терминах выразить известные уже понятия дуополии Курно (такие как равновесие по Нэшу или доминирование стратегий или множество Парето в смысле биматричных игр - см. [1]). 4. Дать какие-то математические нюансы новых понятий, например как-то связать их с конкуренцией, сотрудничеством фирм и т.п. Можно сказать несколько фраз по этому поводу. Когда фирма имеет в качестве стратегии неподвижную точку , то в этом большое удобство: не надо в каждом цикле раздумывать над величиной выпуска; можно отшлифовать работу всяких подсобных служб; работа фирмы с такой стратегией прозрачна и предсказуема, что может быть очень удобно для ее партнеров и потребителей т.п. Конечно, в стратегии, определяемой неподвижной точкой, есть и отрицательные моменты, но не будем на них останавливаться.