Modeling of rheonomous properties of solid deformable media

Full Text

1. Потенциалы для реономных систем 1.1. Обобщенные силы и обобщённые потоки в реальном времени Для реономных систем действие обобщеных сил сопровождается явлением затухания (или релаксации мгновенного значения), а реакция на внешние воздействия сопровождается явлением нарастания потока (или ползучести мгновенного значения) и их значения со временем стремятся в сторону термординамически устойчивых равновесных значений. Считается [1-6, 10-13], что обобщенная сила пропорциональна скорости релаксации и пропорциональна отклонению силы от равновесного значения , а обобщенный поток - пропорционален ускорению , скорости ползучести и отклонению потока от равновесного значения, указанные выше обобщённые силы и потоки представляются так (1) (2) Здесь - коэффициенты релаксации обобщенной силы и ползучести обобщенного потока соответственно; коэффициенты пропорциональности обобщенной силы и обобщенного потока соответственно; - коэффициент динамичности обобщенного потока;производные первого и второго порядков указанных функций по времени; - времена релаксации. 1.2. Обобщенные силы и обобщённые потоки в «собственном» времени Часто вместо реального времени используют «собственное» или внутреннее «термодинамическое» время или , где - временная функция релаксации ползучести. В этом случае «вязкость» и «жёсткость» - функции времени; если они таковы, что: (3) (4) где: - функция релаксации (внутреннее время релаксации - время последействия); - функция ползучести (внутреннее время ползучести - время последействия), то и исходные дифференциальные операторы Эйлера с переменными коэффициентами приводятся к операторам Эйлера с постоянными коэффициентами (что представлено ниже). 2. Операторный метод обращения (решения) обобщённых Эйлеровых уравнений ()-ого порядка [9] 2.1. Операторы с постоянными коэффициентами Обобщённые простейшие линейные дифференциальные модели, содержащие производные высших порядков, представляются в виде операторных полиномов: (5) записанных в форме многочленов с постоянными коэффициентами (6) или в виде соответствующих эйлеровых дифференциальных операторов (7) выраженных произведениями элементарных эйлеровых дифференциальных операторов первого (с действительными характеристическими показателями ) и второго (с комплексными характеристическими показателями ) порядков (8) где характеристические показатели – суть корни характеристических (вековых) уравнений (9) Решения (обращения) операторных уравнений эйлерова типа высших порядков представляются по «новому методу операторного интегрирования обобщённых эйлеровых уравнений -ого порядка» [9], не используя широко применяемые метод Лагранжа-Эйлера (вариации произвольных постоянных) и метод интегральных преобразований Лапласа или Фурье. При этом используются обращения (решения) Бернулли-Эйлера элементарных операторных уравнений первого порядка (10) и второго порядка (11) А далее путём кратных обращений (кратного интегрирования) имеем решения соответствующих эйлеровых уравнений с простыми (некратными) характеристическими действительными показателями (12) и с простыми комплексно-сопряжёнными покаэателями (13) В общем случае, когда операторы содержат как действительные, так и комплексно-сопряжённые характеристические показатели, имеем представление решений (обращений) (14) Представленное обращений в такой (конечной суммы, а не ряда) форме удобно тем, что в случае кратных характеристических показателей как действительных, так и комплексно – сопряжённых, даётся в универсальной общеё форме; в случае кратных показателей (корней), например, при или и достаточно перейти к пределу в указанных представлениях, в результате чего появятся степени - кратность характеристического показателя (15) Общие (14-15) представления (приведенные выше) содержат интегралы двух видов , где функции или содержат производные высших порядков или так, что (16) и, таким образом, сводится к элементарным интегралам. В широко применяемых методиках моделирования реологических свойств материалов (см., например, публикации Работнова Ю.Н. [1, 2]) используются в качестве ядер подынтегральных выражений экспоненциально-дробные функции: где содержатся интегралы по контуру функций комплексной переменной. 2.2. Операторы с переменными коэффициентами Если коэффициенты дифференциальных операторов (5-8) переменные с одной «координатной функцией» так , (17) то путём использования обобщённой эйлеровой переменной (18) исходные дифференциальные операторы с переменными коэффициентами приводятся к операторам с постоянными коэффициентами: (19) где связь между коэффициентами «жёсткости» операторов такова: и, таким образом, обращения операторов определены формулами (14-15). 3. Полная система потнециалов [8] Полная система потенциалов представляет обобщённую цепочку Гиббса-Гельмгольца, связанных между собой преобразованиями Лежандра-Эйлера. Ниже представлены общие выражения потенциалов с перемеными, а для частных случаев – с двумя переменными. 3.1. Цепочка Гиббса-Гельмгольца Потенциалы - это функии соответствующих переменных, связывающие обощённые термодинамические координаты (потоки) и термодинамические силы , равноприсутствующих (по принципу Кюри), скалярной, векторной или тензорной структуры, дифференциальными соотношениями: (20) (21) при этом «жёсткости» и «податливости» удовлетворяют соотношениям взаимности Максвелла (или Гиббса-Гельмголца): (22) 3.2. Преобразования Лежандра-Эйлера.Обобщённая мнемоническая схема Борна Рисунок 1. Обобщённая мнемоническая схема Борна для преобразований Лежандра-Эйлера полной цепочки Гиббса-Гельмгольца потенциальных функций одной (a), двух (b) и трёх переменных (c) Цепочка Гиббса-Гельмгольца (подобно мнемонической диаграмме Борна рисунок 1) для функций одной и двух переменных представляется в виде соответственно: · одной переменной , (23) где термодинамические координаты (потоки) и силы даны выражениями: ; (24) · двух переменных (25) здесь термодинамические координаты (потоки) и силы даются выражениями: . (26) Здесь нижние индексы указывают перечень переменных , а верхние – переменных - аргуменов функций , и при следовании слева направо в цепочке Гиббса-Гельмгольца используется правило: при поднятии индекса производная берётся по , а при опускании – по . Знаки производных определяются так: при поднятии индекса –«плюс», а при опускании-«минус». 3.3. Соотношеня взаимности Максвелла. Система неравенств; условия равновесия и устойчивости системы По свойству преобразований Лежандра-Эйлера детерминанты производных потенциалов отличны от нуля, положительны их дифференциалы второго порядка и главные миноры гессианов; это, как и условия экстремума первого и второго порядков изопараметрических коэффициентов «жёсткости» и «податливости» (при или ), даёт ряд неравенств типа (таких неравенств ): (27) Система неравенств и соотношений взаимности Максвелла обеспечивает взаимнооднозначную определимость (разрешимость) потоков и сил, положитнльную определённость дифференциалов второго и высших порядков, интегрируемость дифференциальных формц первого и второго порядков, а в целом –равновесие и устойчивость системы. 3.4. Определяющие соотношения. Дифференциалы сил и потоков Согласно (9) и (11) дифференциалы термодинамических потоков и сил соответственно представляются соотношениями (28) (29) Наглядным примером потенциалов являются широко используемые в механике твёрдых деформируемых сред, а именно: внутренняя энергия , свободная энергия , потенциал Гиббса и свободная энтальпия 4. Вариационные принципы [2, 5, 10-13] В термодинамике существуют обобщенные силы, которые пропорциональны сопротивлениям и обобщенным скоростям (потокам). Если заданы термодинамические силы и условия принуждения, то в любой термодинамической системе возможны лишь такие необратимые процессы, для которых принуждение минимально. Универсальный локальный потенциал: Вариационные принципы: Даламбера (дифференциальный), наименьшего принуждения Гаусса (дифферениальный), наименьшего действия (Мопертьеинтегральный), (Гамильтона -интегральный), наименьшего рассеяния энергии (Онзагера), наименьшего производства энтропии (Пригожина), (Дьярмати). Ниже приведён достаточно широкий набор формулировок вариационных принципов, рекомендуемых для анализа реологических механических систем (с рассеиванием), приведенных в [2, 5, 10-13]. 4.1. Принцип наименьшего рассеяния энергии (Онзагера,1931) Процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и линейными определяющими (конститутивными) соотношениями, коэффициенты которых удовлетворяют соотношениям взаимности и потенциальности ; потенциалы удовлетворяют принципу (30) Принцип наименьшего рассеяния энергии Онзагера в дифференциальной, локальной форме: · представление через потоки · представление через силы 4.2. Принцип наименьшего производства энтропии (Пригожин, 1959, Дьярмати Gyarmati I., 1963) Неравновесная термодинамика и обобщенный принцип, объединяющий принципы наименьшего рассеяния энергии и наименьшего рассеяния энтропии. (31) квазилинейные конститутивные соотношения. Представление конститутивных соотношений в виде разложения: (32) компоненты которого удовлетворяют соотношениям взаимности. Вариация суммы потенциалов равна нулю (теорема Дьярмати): (33) в случае квазилинейных соотношений справедливы равенства (34) Теорема Дьярмати справедлива (Фаркаш и Ностициус) и для нелинейных конститутивных соотношений: . (35) Соотношения взаимности Онзагера выполняются. 4.3. Принцип (Глансдорф – Пригожин) (36) 4.4. Универсальная форма (Пригожин, Онзагер - Махлуп) (37) 4.5. Функции рассеяния Рэллея (локальные потенциалы рассеяния) (38) 4.6. Гауссова форма (наименьшего принуждения, наименьших скоростей, наименьших квадратов) (39) 4.7. Интегральный принцип. Уравнения Лагранжа-Эйлера (40) 4.8. Общий случай (41) 4.9. Вариационный принцип А.А.Ильюшина [5]. Однородный процесс деформации в твёрдом деформируемом теле, задаваемый обобщённой функцией (потоками) в интервале времени , в результате чего реакция тела проявляется в обобщённых параметрах-функциях таких, что для любой точки тела и в любой момент имеют место законы сохранения энергии, баланса энтропии, сохранения массы и импульса. Для функционала внутренней энергии справедливо тождество , (42) где функционал внутренней энергии определён выражением . Существует билинейная форма (например, приток тепла) – скалярный функционал такой, что при ненулевом процессе существуют первые вариации (первые линейные функционалы) и : , , при заданной норме , удовлетворяет тождеству: (43) Согласно принципу минимума рассеяния следует: (44) Если процесс необратимый, т.е. - неубывающий функционал, то величина (функционал необратимости): может служить мерой необратимости процесса. 4.10. Канонические полевые уравнения (Верхаша Ж.- Verhas J. ,1967 и Войта Г.-Vojta G.,1967) Варьируется плотность потенциала рассеяния – плотность лагранжиана: (45) где время не рассматривается как независимая переменная и потому оператор – производная по времени – может быть заменен оператором : и, кроме того, предполагая существование «потенциалов скорости» , которые не имеют непосредственного физического смысла (не измеряемые в эксперименте), а их градиенты, определяющие плотность потока: (46) и служат для записи уравнений переноса. Следуя принципу Гамильтона (стационарности временного интеграла, равносильному термодинамическому принципу Лагранжа стационарности объемного интеграла): (47) и считая полевые величины - обобщенными термодинамическими координатами, обобщенные термодинамические импульсы определяются соотношениями: (48) откуда вытекают представления через потенциал диссипации и, в конечном счете, через диссипативные силы (46) и тогда полевые термодинамические уравнения Эйлера – Лагранжа записываются в виде: (49) Используя плотность термодинамического потенциала рассеяния Гамильтона: (50) нетрудно убедиться, что потенциалы рассеяния Лагранжа и Гамильтона связаны между собой преобразованиями Лежандра: (51) при этом между производными по «пассивным» переменным справедливы соотношения: (52) Это значит: если пассивные переменные лагранжиана – обобщенные координаты , а активные переменные – обобщенные скорости , то они (активные переменные) переходят в обобщенные импульсы , а плотность лагранжиана (53) переходит в плотность гамильтониана: (54) связанные между собой преобразованиями Лежандра (55) для которых справедливы уравнения Эйлера-Лагранжа . (56) Неравновесные потенциальные функции (производство энтропии), соотношения взаимности . 5. Доопределение функционала рассеяния Если в конечном объеме среды возможен стационарный периодический процесс с частотой , то рассеяние и энтропия для произвольного момента и любого объема с границей удовлетворяют условиям (условиям доопределения): (57) Допущение: тензор напряжения в точке сплошной среды, в которой отсутствует влияние истории деформирования, зависит только от координаты , градиента и его производных по времени (смещений, деформаций, скорости деформаций и производных высшего порядка): тензор скорости напряжения в точке сплошной среды, в которой отсутствует влияние истории деформирования, зависит только от координаты , градиента и его производных по времени (смещений, деформаций, скорости деформаций и производных высшего порядка): тензорно-линейные соотношения напряжений-скоростей деформации изотропных сред: потенциал рассеяния и характеристики «жесткости » и «податливости»: эффекты второго порядка (Кельвина – давление пропорционально квадрату скорости сдвига или скорость изменения объема пропорциональна квадрату касательного напряжения; Пойнтинга – нормальное напряжение в плоскости движения пропорционально квадрату скорости сдвига или скорость нормального удлинения в плоскости пропорционально квадрату касательного напряжения) отсутствуют явление затухания со временем (релаксации) однородной немеханической «обобщенной» силы в направлении устойчивого нулевого значения и пропорционально отклонению этой силы от положения равновесия и деформации тела (с заданным временем релаксации и коэффициентом взаимодействия ) линейные соотношения «стандартного тела» (Zener C., 1948): сопротивление среды действию периодических сил и периодической деформации - коэффициент вязкости при сдвиге. 6. Полная механическая энергия (кинетическая и потенциальная) Первый интеграл уравнения движения (58) полная энергия (механическая и тепловая внутренняя) – закон сохранения полной энергии (удельная теплота и удельная работа) (59) баланс энтропии (60) Второй закон термодинамики (закон возрастания энтропии) – теорема Карно-Клаузиуса (61) Сохранение энергии и баланс внутренней энергии: (62) баланс энтропии и производство энтропии: (63) 7. Модели вязкоупругих элементов. Дифференциальные полиномы. 7.1. Двухэлементная схема Максвелла Последовательное соединение элемента Гука и Ньютона 7.2. Двухэлементная схема Фойгта-Кельвина Параллельное соединение элемента Гука и Ньютона 7.3. Трехэлементные стандартные схемы Состоят из последовательно соединенных элемента Гука и схемы Фойгта-Кельвина или параллельно соединенных элемента Гука и схемы Максвелла 7.4. Трехэлементные нестандартные схемы Состоят из последовательно соединенных элемента Ньютона и схемы Максвелла или параллельно соединённых элемента Гука и схемы Фойгта-Кельвина 7.5. Четырехэлементные эквивалентные схемы 7.6. Обобщенная схема Фойгта Состоит их последовательно соединенных схемы Максвелла и множества схем Фойгта 7.7. Обобщенная схема Максвелла Состоит из последовательно соединенных схемы Фойгта и множества схем Максвелла 7.8. Модель Пойтинга-Томсона (нормальное тело) Параллельное соединение модели Максвелла и элемента Гука 7.9. Модель Кельвина Последовательное соединение элемента Гука и модели Фойгта Периодическая нагрузка Периодическому процессу деформации соответствует напряжение при этом работа: (64) состоит из двух частей: первая – периодическая функция времени, т.е. полностью обратимая, а вторая – пропорциональна времени, следовательно необратимая. Величина необратимой работы в единицу времени – мощность диссипации равна: Вынужденные колебания смещения при этом есть: а составляющие комлексного модуля, зависящие от частоты даются выражениями: Накопление энергии Все материальные функции и константы определяются экспериментально из «стандартной» системы опытов, которая включает: опыт на релаксацию , опыт на ползучесть , опыт линейные деформирование и нагружение , циклическое деформирование и циклическое нагружение .

About the authors

E. Z Korol

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: ez_korol@mail.ru
Ph.D., Prof.; +7 495 939-31-50, +7 916 852-30-09

References

Supplementary files