Bifurcation of a cylindrical cover during complex subcritical deformation along a curvilinear trajectory

Abstract

The problem of bifurcation of a thin-walled circular cylindrical cover is considered at complex subcritical deformation along a curvilinear trajectory of constant curvature in the Ilyushin deviatoric plane . There is taken into account the complex nature of loading in еру cover at the moment of stability loss.

Full Text

Используются условия несжимаемости материала и однородности напряженного состояния в оболочке до момента потери устойчивости. Решение строится на основе теории неупругих систем В.Г. Зубчанинова [1]. При сложном докритическом деформировании задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации. Уравнения связи напряжений и деформаций как в момент потери устойчивости оболочки, так и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с определяющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [2] , (1) где: ; - компоненты тензора-девиатора напряжений; компоненты тензора-девиатора деформаций. Здесь , - определяющие функции пластичности, - угол сближения (), - длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает дифференцирование по обобщенному параметру времени . Для определяющих функций пластичности и принимаем аппроксимации [1]. (2) где: , , - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответственно. Для определения угла сближения имеем: , (3) где: модуль вектора напряжений, кривизна траектории. Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рунге-Кутта. Зависимость полагаем универсальной для простого нагружения. За параметр обобщенного времени t на криволинейной траектории постоянной кривизны (рисунок 1) принимаем центральный угол α. Рисунок 1. Траектории деформирования образцов из стали 45: R – радиус дуги окружности Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу. Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. Основные уравнения и методика решения задачи устойчивости оболочки с учетом сложного характера нагружения в момент бифуркации изложены в [3], при этом в качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чисто пластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. Расчеты выполнены также на основе теории устойчивости А.А. Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1]. Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн m, n изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки i=3R/h в зависимости от значения модуля вектора напряжений в момент потери устойчивости. Рисунок 2. Диаграмма деформирования образцов из стали 45 при простых процессах Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автоматизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивления материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета [4]. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45. Диаграмма деформирования материала при простом нагружении показана кривой 1 на рисунке 2. В качестве примера рассмотрена двузвенная траектория, представляющая собой растяжение до заданного уровня R на первом звене и дальнейший переход на траекторию деформирования постоянной кривизны радиуса R (рисунок 1). Расчеты выполнены для процесса при R = 1.5 %. Как показывают эксперимент и расчеты, при данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки реализуется на криволинейной части траектории, что не выполнялось ранее [3] на оболочках, изготовленных также из стали 45, но другой партии, имеющей существенно меньшее упрочнение (кривая 2 на рисунке 2). На рисунке 3 представлены графики зависимости критических параметров напряжений от гибкости оболочки, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 3. Графики наименьшей гибкости оболочки Цифрами на рисунке обозначено: 1, 2 – расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина при чисто пластической бифуркации и с учетом разгрузки материала соответственно; 3- расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для функции аппроксимации (2), а для функции соотношения , где – параметр пластичности; 4 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для определяющих функций пластичности аппроксимаций (2) со значениями материальных параметров, входящих в структуру аппроксимаций равными р=q=1.0; 5 - то же, при р=q=0.5. Треугольником на рисунке отмечены экспериментальные результаты. На рисунке 4 показана траектория нагружения оболочки, соответствующая реализованной траектории деформирования. Сплошная линия отражает решение задачи построения образа процесса нагружения. Момент потери устойчивости в эксперименте и расчетный (соответствующий графику 4 на рисунке 3 для оболочки гибкости i=45) указан на рисунке стрелками. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотношения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г.Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования (2), позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении. Рисунок 4. Траектория нагружения На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет уточнить решение, в сопоставлении с расчетами, например, по теории устойчивости А.А. Ильюшина. Полученные результаты в целом согласуются с выполненными ранее расчетами для траекторий сложного докритического деформирования [3, 5].