The study of deformations in reinforced plates
- Authors: Parakhoni A.A.1, Osipov N.L.1
-
Affiliations:
- Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
- Issue: Vol 7, No 3-1 (2013)
- Pages: 118-123
- Section: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/68046
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-68046
- ID: 68046
Cite item
Full Text
Abstract
This paper presents the numerical and analytical solutions of the problem of plane deformation of rectangular panels reinforced by ribs. There is conducted a parametric study of the influence of the ribs incorporation degree, mechanical properties of materials and geometrical sizes of the plate on the distribution of stresses. Fields of stresses and deformations in reinforced plate were specified using the developed simplified method.
Full Text
Панели, подкреплённые продольными рёбрами жёсткости, используются как основные несущие элементы в авиационных, судостроительных, автомобильных и строительных конструкциях. При этом доминирующей нагрузкой на эти панели является их растяжение и сдвиг. В данной работе разработана простейшая модель подкрепленной панели, которая адекватно учитывает важнейшие особенности её деформации и позволяет провести параметрическое исследование. Естественно, что использовать полную систему уравнений теории упругости сложно и нецелесообразно. Поэтому в предлагаемой модели подкреплённой панели функции растяжения воспринимаются только рёбрами, а сдвиг - только полотном панели. Поэтому основной задачей является получение зависимости между усилиями в рёбрах Nj и усилиями в полотне панели Sj между рёбрами. Такое разделение достигается рядом гипотез. В дальнейшем воспользуемся обозначениями, принятыми в теории упругости линейные и сдвиговые деформации; нормальные и касательные напряжения; модули упругости первого и второго рода; перемещения в направлениях и соответственно. На рисунке 1 представлена схема нагружения пластины. Рисунок 1. Схема нагружения Здесь: - номера рёбер; участок пластины с номером j расположен между j и j+1 ребром;. ширина и толщина пластины на j-ом участке; модуль упругости и площадь поперечного сечения в j-ом ребре; произвольные продольные силы на концах рёбер. Упомянутые выше гипотезы сводятся к следующему. Принимаем, что пластина не деформируется в поперечном направлении (вдоль оси y). В соответствии с этим: (1) В связи с этим предполагаем также, что , т.е. рёбра при деформации не искривляются. Следующим шагом является предположение о том, что деформации сдвига полотна пластины не меняются по ширине на промежутке между двумя соседними рёбрами и являются только функциями продольной координаты , т.е. . Далее предполагается, что модуль упругости первого рода пластины равен нулю. И, наконец, считаем, что рёбра соединены с пластиной по своим центральным линиям. Рисунок 2. Расчётная схема Схема силового взаимодействия пластины и рёбер при их совместной деформации представлена на рисунке 2. На основании принятых гипотез соотношение Коши будет иметь вид: . (2) Отсюда следует линейный закон распределения продольных перемещений и по ширине пластины между соседними рёбрами. Интегрируя формулу (2) при неизменной деформации сдвига в произвольном поперечном сечении на j-том участке пластины, получим (рисунок 2): . (3) Закон Гука для пластины и ребра, с учётом этой формулы, можно записать так: ; (4) , (5) где: Sj – погонные касательные усилия на j-ом участке пластины; Nj – продольные усилия в j-ом ребре; Ej - модуль упругости j-ого ребра; Gj – модуль сдвига на j-ом участке пластины; εxj – линейная деформация в j-ом ребре; γxj – угол сдвига на j-ом участке пластины. Для вывода ключевых уравнений задачи используем принцип возможных перемещений Лагранжа. Согласно этому принципу вариация полной потенциальной энергии П упругой системы должна быть равна нулю: , (6) где: U, A – потенциалы деформации и внешних сил соответственно. Их вариации равны: , (7) , (8) Вычисляя интегралы получаем: , (9) . (10) Подставляя (9) и (10) в соотношение (8), а затем в (6), получаем: (11) где: Nj(0), Nj(l), uj(0), uj(l) – продольные усилия и перемещения на левом (x=0) и правом (x=l) конце j-го ребра. После проведения всех необходимых операций окончательно получаем уравнения равновесия в виде: . (12) Из внеинтегральных слагаемых уравнения (11) получаем граничные условия: , (13) Уравнение совместности деформаций в усилиях может быть записано следующим образом: , . (14) После дифференцирования уравнений равновесия и подстановки в них уравнений совместности деформаций (14) получим ключевую систему уравнений в продольных усилиях: (15) где: j = 2, 3, … n Граничные условия (13), выраженные через эти усилия, можно представить в следующем виде: . (16) В качестве тестовой задачи для апробации предложенной модели исследована простейшая ячейка панели, подкреплённой двумя рёбрами постоянного сечения (рисунок 3). Рисунок 3. Расчётный пример Рисунок 4 В этом простейшем случае усилия во втором ребре выражаются через усилия в первом алгебраически: . (17) С учётом этого система уравнений (15) сводится к единственному уравнению: ; (18) где: . Это уравнение допускает как аналитическое, так и численное решение, причём последнее целесообразней всего применять в случае панели с рёбрами переменного сечения. Это решение позволяет получить нормальные и касательные усилия, а также напряжения от них. Например, аналитическое решение при E1=E2 может быть представлено в виде: (19) Напряжения будут выражаться так: . (20) Для получения численного решения был применён метод конечных разностей. На рисунке 4 представлены найденные функции нормальных напряжений (кривые 1, 2) в рёбрах и касательных напряжений (кривая 3) в пластине. Здесь материалы рёбер и пластины одинаковы, а площади поперечных сечений рёбер равны. Параметрическое исследование этой элементарной ячейки показывает, что при варьировании геометрических размеров и механических характеристик рёбер и пластины принципиальных различий в характере распределения напряжений нет. Например, на рисунке 5 представлен расчётный случай с различными материалами рёбер, а на рисунке 6 – с различными сечениями. Рисунок 5 Рисунок 6 Рассмотрим один важный случай однородной пластины с двумя рёбрами из одинакового материала, площадь поперечного сечения которых изменяется по закону , что соответствует линейному изменению поперечных размеров. В этом случае возможно аналитическое решение. Запишем дифференциальное уравнение усилий в нагруженном стрингере для этого случая. , (21) или , (22) где: . Линейное уравнение (22) с переменными коэффициентами представляет собой уравнение Эйлера. Уравнение такого типа удаётся свести к уравнению с постоянными коэффициентами путём замены независимого переменного: т.е. Учитывая, что после преобразований получим: , (23) где: ; Общее решение уравнения (23) можно записать в виде: ; . После обратной замены получим: . (24) Касательные усилия S в пластине найдём, продифференцировав выражение (24) по x: (25) Неопределённые константы интегрирования определяются из граничных условий. Например, для случая, изображённого на рисунке 7, граничные условия имеют вид: , . Рисунок 7 Рисунок 8 Соответствующее решение задачи представлено на рисунке 8. Выводы 1. Установлены поля напряжений и деформаций в ребрённой панели по разработанной упрощённой модели. Результаты апробированы сравнением с аналогичными результатами из различных источников. 2. Исследованные в работе особенности напряжённо-деформированного состояния подкреплённых панелей способствует более чёткому представлению о распределении силовых функций между несущими элементами, а количественная оценка - правильному назначению жёсткостных параметров. 3. Полученные данные в результате проведенного расчета панели с пятью рёбрами позволяют обобщить характер распределения напряжения в элементарной ячейке на случай пластины со многими рёбрами.×
About the authors
A. A. Parakhoni
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
Email: anrypar@yandex.ru
+7 903 593-90-46, +7 909 678-30-63
N. L. Osipov
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)Ph.D.; +7 903 593-90-46, +7 909 678-30-63
References
- Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. - М.: Машиностроение 1980.
- Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - М.: Наука 1967.
Supplementary files
![](/img/style/loading.gif)