The study of deformations in reinforced plates

Full Text

Панели, подкреплённые продольными рёбрами жёсткости, используются как основные несущие элементы в авиационных, судостроительных, автомобильных и строительных конструкциях. При этом доминирующей нагрузкой на эти панели является их растяжение и сдвиг. В данной работе разработана простейшая модель подкрепленной панели, которая адекватно учитывает важнейшие особенности её деформации и позволяет провести параметрическое исследование. Естественно, что использовать полную систему уравнений теории упругости сложно и нецелесообразно. Поэтому в предлагаемой модели подкреплённой панели функции растяжения воспринимаются только рёбрами, а сдвиг - только полотном панели. Поэтому основной задачей является получение зависимости между усилиями в рёбрах Nj и усилиями в полотне панели Sj между рёбрами. Такое разделение достигается рядом гипотез. В дальнейшем воспользуемся обозначениями, принятыми в теории упругости линейные и сдвиговые деформации; нормальные и касательные напряжения; модули упругости первого и второго рода; перемещения в направлениях и соответственно. На рисунке 1 представлена схема нагружения пластины. Рисунок 1. Схема нагружения Здесь: - номера рёбер; участок пластины с номером j расположен между j и j+1 ребром;. ширина и толщина пластины на j-ом участке; модуль упругости и площадь поперечного сечения в j-ом ребре; произвольные продольные силы на концах рёбер. Упомянутые выше гипотезы сводятся к следующему. Принимаем, что пластина не деформируется в поперечном направлении (вдоль оси y). В соответствии с этим: (1) В связи с этим предполагаем также, что , т.е. рёбра при деформации не искривляются. Следующим шагом является предположение о том, что деформации сдвига полотна пластины не меняются по ширине на промежутке между двумя соседними рёбрами и являются только функциями продольной координаты , т.е. . Далее предполагается, что модуль упругости первого рода пластины равен нулю. И, наконец, считаем, что рёбра соединены с пластиной по своим центральным линиям. Рисунок 2. Расчётная схема Схема силового взаимодействия пластины и рёбер при их совместной деформации представлена на рисунке 2. На основании принятых гипотез соотношение Коши будет иметь вид: . (2) Отсюда следует линейный закон распределения продольных перемещений и по ширине пластины между соседними рёбрами. Интегрируя формулу (2) при неизменной деформации сдвига в произвольном поперечном сечении на j-том участке пластины, получим (рисунок 2): . (3) Закон Гука для пластины и ребра, с учётом этой формулы, можно записать так: ; (4) , (5) где: Sj – погонные касательные усилия на j-ом участке пластины; Nj – продольные усилия в j-ом ребре; Ej - модуль упругости j-ого ребра; Gj – модуль сдвига на j-ом участке пластины; εxj – линейная деформация в j-ом ребре; γxj – угол сдвига на j-ом участке пластины. Для вывода ключевых уравнений задачи используем принцип возможных перемещений Лагранжа. Согласно этому принципу вариация полной потенциальной энергии П упругой системы должна быть равна нулю: , (6) где: U, A – потенциалы деформации и внешних сил соответственно. Их вариации равны: , (7) , (8) Вычисляя интегралы получаем: , (9) . (10) Подставляя (9) и (10) в соотношение (8), а затем в (6), получаем: (11) где: Nj(0), Nj(l), uj(0), uj(l) – продольные усилия и перемещения на левом (x=0) и правом (x=l) конце j-го ребра. После проведения всех необходимых операций окончательно получаем уравнения равновесия в виде: . (12) Из внеинтегральных слагаемых уравнения (11) получаем граничные условия: , (13) Уравнение совместности деформаций в усилиях может быть записано следующим образом: , . (14) После дифференцирования уравнений равновесия и подстановки в них уравнений совместности деформаций (14) получим ключевую систему уравнений в продольных усилиях: (15) где: j = 2, 3, … n Граничные условия (13), выраженные через эти усилия, можно представить в следующем виде: . (16) В качестве тестовой задачи для апробации предложенной модели исследована простейшая ячейка панели, подкреплённой двумя рёбрами постоянного сечения (рисунок 3). Рисунок 3. Расчётный пример Рисунок 4 В этом простейшем случае усилия во втором ребре выражаются через усилия в первом алгебраически: . (17) С учётом этого система уравнений (15) сводится к единственному уравнению: ; (18) где: . Это уравнение допускает как аналитическое, так и численное решение, причём последнее целесообразней всего применять в случае панели с рёбрами переменного сечения. Это решение позволяет получить нормальные и касательные усилия, а также напряжения от них. Например, аналитическое решение при E1=E2 может быть представлено в виде: (19) Напряжения будут выражаться так: . (20) Для получения численного решения был применён метод конечных разностей. На рисунке 4 представлены найденные функции нормальных напряжений (кривые 1, 2) в рёбрах и касательных напряжений (кривая 3) в пластине. Здесь материалы рёбер и пластины одинаковы, а площади поперечных сечений рёбер равны. Параметрическое исследование этой элементарной ячейки показывает, что при варьировании геометрических размеров и механических характеристик рёбер и пластины принципиальных различий в характере распределения напряжений нет. Например, на рисунке 5 представлен расчётный случай с различными материалами рёбер, а на рисунке 6 – с различными сечениями. Рисунок 5 Рисунок 6 Рассмотрим один важный случай однородной пластины с двумя рёбрами из одинакового материала, площадь поперечного сечения которых изменяется по закону , что соответствует линейному изменению поперечных размеров. В этом случае возможно аналитическое решение. Запишем дифференциальное уравнение усилий в нагруженном стрингере для этого случая. , (21) или , (22) где: . Линейное уравнение (22) с переменными коэффициентами представляет собой уравнение Эйлера. Уравнение такого типа удаётся свести к уравнению с постоянными коэффициентами путём замены независимого переменного: т.е. Учитывая, что после преобразований получим: , (23) где: ; Общее решение уравнения (23) можно записать в виде: ; . После обратной замены получим: . (24) Касательные усилия S в пластине найдём, продифференцировав выражение (24) по x: (25) Неопределённые константы интегрирования определяются из граничных условий. Например, для случая, изображённого на рисунке 7, граничные условия имеют вид: , . Рисунок 7 Рисунок 8 Соответствующее решение задачи представлено на рисунке 8. Выводы 1. Установлены поля напряжений и деформаций в ребрённой панели по разработанной упрощённой модели. Результаты апробированы сравнением с аналогичными результатами из различных источников. 2. Исследованные в работе особенности напряжённо-деформированного состояния подкреплённых панелей способствует более чёткому представлению о распределении силовых функций между несущими элементами, а количественная оценка - правильному назначению жёсткостных параметров. 3. Полученные данные в результате проведенного расчета панели с пятью рёбрами позволяют обобщить характер распределения напряжения в элементарной ячейке на случай пластины со многими рёбрами.

About the authors

A. A. Parakhoni

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: anrypar@yandex.ru
+7 903 593-90-46, +7 909 678-30-63

N. L. Osipov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.; +7 903 593-90-46, +7 909 678-30-63

References

Supplementary files