Analysis of stress and strain state in the elementary volume at the example of the upseting process

Abstract

The paper contains general positions and the results of the analysis of the stress state in the elementary volume, as well as the impact of such technological parameters as a factor of frictional coefficient and value of the relative deformation on the results of the upset process.

Full Text

Существующие теоретические представления о напряженном и деформированном состоянии (по крайней мере, в области пластических деформаций, а точнее – упругопластических деформаций) и математические модели по своему уровню не отвечают задачам современности, тормозят возможности и снижают эффективность использования компьютерных технологий в области обработки металлов давлением, следовательно, нуждаются в совершенствовании. Обзоры существующих аналитических методов анализа процессов пластической деформации, выполненные как отечественными, так и зарубежными исследователями, показывают, что эти методы наряду с теми или иными достоинствами обладают рядом характерных недостатков. В основном трудности вызывают такие взаимосвязанные вопросы и задачи, как условие пластичности, выбор и назначение граничных условий, адекватный учет сил контактного трения, определение границ раздела течения металла и границ между застойными областями и областями с интенсивным пластическим течением и ряд других. Таким образом, на основании приведенного выше, основными задачами проводимых исследований являются анализ напряженного и деформированного состояния при пластической деформации элементарного объема тела, связи линейных напряжений с линейными деформациями и математическое моделирование. Конечной целью проводимой работы является разработка основ и совершенствование метода анализа процессов пластической деформации, по возможности свободного от недостатков указанных выше, создание его математической модели и программного продута на его базе. Анализ напряженного и деформированного состояния тела находящегося в пластическом состоянии и (или) выделяемого в нем элементарного объема (точки или конечного элемента) показывает, что, прежде всего, следует обратить особое внимание на то, что они обладают как общими свойствами, так и различающими их особенностями. Поэтому некоторые понятия, приемы, схемы, упрощения и допущения, используемые при рассмотрении напряженного состояния тела, могут оказаться некорректными при его анализе в элементарном объеме и наоборот. Твердое тело может быть представлено в виде совокупности некоторных элементарных объемов, обеспечивающих сплошность тела и имеющих малые, но конечные размеры. Эти размеры в зависимости от условий и особенностей решаемой задачи могут находиться в довольно широком диапазоне, то есть от размеров отдельных геометрических элементов составляющих тело, моно- или поликристалла, зерен, до размеров, которыми оперируют в нанотехнологиях, по крайней мере, в качестве входных граничных условий. Величина размеров если и может являться необходимым признаком, но еще не является достаточными условием, определяющим сущность и границы применимости этого понятия. Достаточное условие вытекает из того, что напряженное и деформированное состояние точки математически описывается уравнением поверхностей второго порядка, которое в данном случае представляет математическую модель поверхности действительного эллипсоида. Следовательно, например, как показано на рисунке 1, все три главные нормальные напряжения: σ1, σ2, σ3, которые являются полуосями эллипсоида, должны быть или положительными, или отрицательными, то есть одного знака, иначе будет иметь место любая другая поверхность, отличная от поверхности действительного эллипсоида. Прежде чем перейти к изложению материалов исследований и полученных в данной работе результатов, следует обратить внимание на ряд положений, которые были не просто использованы в данной работе, но и получили более широкое понимание и использование, чем это принято традиционно. Например, понятие инвариантности подразумевает независимость напряженного состояния от выбора системы координат не только в трехмерном пространстве. Так, напряженное состояние может быть описано не только с помощью главных нормальных напряжений – σ1, σ2, σ3, а также нормальных напряжений – σZ, σY, σX и соответствующих им касательных напряжений. При некотором повороте системы координат напряженное состояние может быть описано в линейном виде, то есть в виде полного напряжения – рО. Также, используя кроме понятия главных направлений такое понятие, как главная плоскость, напряженное состояние может быть представлено и в двумерном виде – σ1, σΣ23 или – σ1, σЭ23. Рисунок 1. Эллипсоид напряжений и его сечение главной плоскостью: pО – полное напряжение; φ – угол между полным напряжением pО и осью Z; φ1 – угол между осью Z и напряжением σ1; γР1 – угол между полным напряжением pО и напряжением σ1; σΣ23, σЭ23 – геометрическая сумма главных нормальных напряжений σ2 и σ3 и эквивалентное им напряжение При анализе напряженного и деформированного состояния при пластической деформации в элементарном объеме тела узловую роль играет условие пластичности. Результаты выполненных исследований позволяют согласиться с мнением Мизеса о том, что условие пластичности Треска – Сен-Венана является точным, а следовательно, его можно и нужно использовать без всяких поправок, независимо от величины среднего главного напряжения – σ2, то есть в виде: . (1) Иначе говоря, среднее главное напряжение σ2 при условии, что полное напряжение в точке рО – const, не влияет на условие пластичности. При решении практических задач условие пластичности, как правило, принимается приближенным, что существенно снижает нго адекватность. Поэтому в этом случае для них с учетом используемой системы координат и обозначений, принятых на рисунке 1, условие пластичности (1) может быть использовано в следующем параметрическом виде: (2) где (3) (4) где γσs13 – угол соответствующий сопротивлению деформирования – σS; φ – угол трения; µА – коэффициент трения по Г. Амонтону. Таким образом, используя условие пластичности (2) и адаптируя его сначала к свободной, а затем и к контактной поверхности для характерных точек, была сформирована упорядоченная система, состоящая из целого ряда взаимосвязанных граничных условий. Теоретическое обоснование и методика расчета контура свободной поверхности в процессах осадки [1] показало, что эта поверхность является геометрическим местом точек, представляющих собой траектории главных нормальных направлений. Контур свободной поверхности является траекторией главного нормального направления – 1, то есть в каждой точке этого контура главное нормальное напряжение σ1 = σs направлено по касательной к этому контуру под монотонно изменяющимся углом по отношению к вертикальной оси – φ1. Таким образом, для реального практического использования условия пластичности (2) и других формул необходимо знать или уметь определять углы поворота главных направлений 1, 2 и 3 (главных напряжений и деформаций) по отношению к осям координат (в рассматриваемом случае вертикальная ось Z). То есть, другими словами, возникает необходимость знать или уметь определять углы поворота главных направлений φ1, φ2 и φ3 в конкретной точке тела [2]. Если объемную задачу решать поэтапно, то есть используя свойство инвариантности, свести ее к плоской или осесимметричной, то на первоначальном этапе можно определить, по крайней мере, угол поворота главного направления 1 – φ1. Далее используя такие понятия, как главная плоскость и результирующее главное эквивалентное направление – 23 (главных напряжений и деформаций), в силу ортогональности направлений определяется угол φ23 = π/2 – φ1. После этого, на следующем этапе анализа опять же на основании инвариантности и результатов, полученных ранее, представляется возможным вернуться к объемной задаче и определить углы φ2 и φ3. В ходе математического моделирования стало очевидно, что во многих предлагаемых формулах для их практического применения должен быть известен угол между вертикальной координатной осью Z и главным направлением 1, то есть – φ1. Как показывали результаты исследований, этот угол может быть определен исходя из свойств и на основании разработанного метода траекторий главных направлений (нормальных напряжений и деформаций). Созданный на основании предлагаемой математической модели программный продукт на примере процесса осадки позволяет в реальном режиме времени оценивать влияние основных технологических факторов на протекание и результат процесса осадки как визуально, так и численно. Сетка траекторий главных нормальных направлений позволяет выделить форму, границы и размеры как застойной области, так и областей пластической деформации, в том числе областей, где возможны разрыхления или даже расслоение, как это, например, можно увидеть на рисунке 2. Анализ деформированного состояния в точке показывает, что связь между напряжениями и деформациями может быть выражена в виде функции траекторий главных направлений, где угол φ1 служит в качестве аргумента. С учетом приведенного выше на примере процесса осадки были сформулированы основные базовые положения, особенности, свойства и допущения метода траекторий главных нормальных направлений [3]. Разработанная математическая модель позволила создать программный продукт, позволяющий строить сетки главных нормальных напряжений (направлений) и эпюры напряжений на контактной поверхности. На последующем этапе работы с помощью компьютерного моделирования был выполнен анализ процессов осадки, получены результаты влияния основных технологических параметров на картину и характер изменения сетки траекторий главных направлений, а также на форму, границы и размеры как застойной области, так и области пластической деформации. Исследования показывают, что основным и решающим фактором, определяющим характер и картину сетки траекторий, является, прежде всего, коэффициент контактного трения – μА. Величина относительной деформации – δ оказывает меньшее, но, тем не менее, существенное влияние. Относительная высота исходной заготовки – h0/b0 или h0/d0 оказывает лишь косвенное влияние в связи с необходимостью изменения величины относительной деформации. Рисунок 2. Влияние коэффициента контактного трения – μА на процесс осадки при h0 = 50 мм; b0 = 40 мм; δ = 0,7; а) μА = 0,1; б) μА = 0,2; в) μА = 0,3; г) μА = 0,4 Например, на рисунке 2 показано детальное влияние величины коэффициента контактного трения – μА при его изменении в пределах от 0,1 до 0,4. Анализ эпюр напряжений на контактных поверхностях в исследуемом диапазоне показал, что среднее относительное напряжение σn/σs, а также нагрузка, требуемая для осадки, возрастают примерно в 2 ÷ 2,5 раза. В качестве заключения можно отметить, что по результатам теоретических исследований и компьютерного моделирования можно сделать общие выводы, которые сформулированы ниже. 1. На основании теоретических исследований на примере процессов осадки проведено обоснование и анализ математической модели для оценки напряженного состояния методом траекторий главных нормальных направлений (напряжений и деформаций). 2. Выполнен анализ условия пластичности и граничных условий, положенных в основу предлагаемого метода, сформулированы основные базовые положения, особенности, свойства и допущения метода, разработан программный продукт, позволяющий, что следует особо отметить – в реальном режиме времени, строить эпюры контактных напряжений, а также сетку траекторий главных нормальных направлений. Сетка траекторий главных нормальных направлений позволяет выделить форму, границы и размеры как застойной области, так и областей пластической деформации, в том числе областей, где возможны разрыхления или даже расслоение. 3. Анализ деформированного состояния в точке показывает, что связь между напряжениями и деформациями может быть выражена в виде функции траекторий главных направлений, где угол φ1 служит в качестве аргумента. Предлагаемый метод позволяет определять углы наклона траекторий главных нормальных направлений в любой точке (элементарном объеме, конечном элементе) пластически деформируемого тела по всему его объему, за исключением застойных областей, находящихся в состоянии упругого нагружения. Следовательно, в настоящее время метод позволяет практически в любой точке определять напряженное и деформированное состояние. 4. Показаны возможности и эффективность использования предлагаемого метода на примере процесса осадки. С использованием созданного программного продукта и компьютерного моделирования был выполнен анализ влияния основных технологических факторов, таких как коэффициент контактного трения – μА, величина относительной деформации – δ и относительная высота исходной заготовки – h0/b0, на протекание и результат процесса осадки.