Determination of the velocity field, the pressure and temperature in the convergent channel centrifugal extrusion granulator

Full Text

Рассмотрим физическую модель многосекционного центробежно-экструзионного гранулятора (ЦЭГ) (рисунок 1). Рисунок 1 – Схема многосекционного ЦЭГ Рисунок 2 – Схема секции ЦЭГ Поскольку работа секций гранулятора друг от друга не зависит, то подробно проанализируем работу одной секции. Схема секции ЦЭГ показана на рисунке 2. Конвергентный канал в неподвижном или вращающемся с малым количеством оборотов грануляторе предварительно заполняется до момента поступления композиционной среды из проточной части. Затем ЦЭГ приводится во вращение, с постоянной угловой скоростью w, а выбрасываемая композиция восполняется за счет давления прокачки или гидростатического давления накопительной емкости, что обеспечивает постоянство объемного расхода перерабатываемой среды. Форма канала (зависимость полувысоты канала h от радиуса r) выбирается таким образом, чтобы средняя радиальная скорость в каждом сечении была постоянна. Поскольку на ЦЭГ перерабатываются сильновязкие жидкости, то при их течении в конвергентном канале наблюдается нагревание среды, происходящее за счет диссипативного разогрева. Излишнее количество теплоты отводится охлаждающей жидкостью, что позволяет предотвратить деструкцию материала, а также избежать слипания гранул. При рассмотрении течения среды во вращающемся криволинейном осесимметричном конвергентном канале будем полагать, что течение стационарное, ламинарное, осесимметричное. Композиционная среда поступает через подводящую трубу радиуса r=r0 в конвергентный канал и под действием давления «прокачки» и центробежного давления движется к периферии насадки и выдавливается через проточную часть канала в виде жгутов. Вблизи оси вращения силы инерции такого же порядка, что и силы вязкостного трения. Силы гравитации имеют значительно меньший порядок по сравнению с центробежными силами и силами вязкостного трения, поэтому с большой степенью точности ими можно пренебречь. Жидкость прилипает к поверхности насадки, т.е. радиальная компонента скорости на стенке равна нулю и максимальна на оси r. Тангенциальная скорость, напротив, имеет максимальное значение на стенке канала и минимальна на оси r. Течение симметрично относительно горизонтальной оси канала, следовательно, градиенты радиальной и тангенциальной компонент скорости, температуры и давления равны нулю. Также симметрией объясняется равенство нулю осевой компоненты скорости на оси r. Полагаем, что температура стенки имеет один скачок. В области температура стенки равна начальной температуре перерабатываемой среды . При происходит скачок температуры стенки от температуры жидкости до новой температуры стенки и в области , . Такая постановка задачи объясняется следующим. Если будет получено решение для одного скачка температуры стенки, то его легко обобщить для бесконечного числа скачков температуры, которыми можно представить любую зависимость [1]. Температура жидкости на поверхности насадки вследствие эффекта «прилипания» равна температуре стенки канала. Такова физическая модель процесса грануляции в центробежном поле. Рисунок 3 – Схема конвергентного канала Рассмотрим течение неньютоновской жидкости в конвергентном канале ЦЭГ в цилиндрической системе координат , , (рисунок 3). В качестве реологической модели нелинейновязкой жидкости выберем «степенной» закон Оствальда – де Виля: здесь tij – тензор напряжений; k – характеристика консистентности среды; – тензор скоростей деформации; A – интенсивность скоростей деформации; n – индекс течения. Уравнения движения в выбранной системе координат запишутся в виде: ; (1) ; (2) , (3) здесь: P – давление в жидкости, r– плотность среды, , , – радиальная, тангенциальная и осевая компоненты скорости. Интенсивность скоростей деформации определяется зависимостью: . (4) Уравнение неразрывности принимает вид: . (5) Для нелинейновязкой жидкости параметр переноса количества движения – эффективная вязкость – зависит от интенсивности скоростей деформаций. В связи с этим можно также предположить зависимость параметра процесса переноса тепла от интенсивности скоростей деформаций [43]: ; (6) где: а* – эффективный коэффициент температуропроводности среды; а – коэффициент температуропроводности среды, с – удельная теплоемкость, – характеристическое время; w – угловая скорость вращения ротора. В этом случае уравнение теплопроводности имеет вид: . (7) Зависимость характеристики консистентности среды от температуры представим в виде [43]: ; (8) где: k0 – характеристика консистентности среды в начале участка течения в конвергентном канале (при r = r0); a – коэффициент, определяемый экспериментальным путем. Система уравнений (1) – (8) решалась при следующих граничных условиях: при ; ; ; ; ; при ; ; ; . (9) Условия постоянства средней радиальной скорости течения в любом сечении канала: . (10) Высота конвергентного канала равна 2h, причем h=h(r). Функции h=h(r) будем определять из (10). Выражение для осевой скорости следует из интегрального уравнения неразрывности: . (11) Тогда: . (12) Интегрирование зависимости (12) дает возможность определить распределение давления среды по радиусу: , (13) где константу C находим с помощью граничного условия: при r = R давление P=P0 – давлению за пределами канала. Для решения полных уравнений движения воспользуемся подстановкой: ; ; ; ; ; , (14) где: – характерная для вращающихся потоков скорость; – автомодельная переменная; f, j, G, F,J – соответственно безразмерные радиальная, тангенциальная и осевая скорости, давление, температура. Безразмерная характеристика консистентности определяется как: , (15) где: . Сводим с помощью вида решения (15) систему уравнений в частных производных (1) – (7) в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Методика решения подробно рассмотрена в работах [2, 3, 4, 5]. Некоторые результаты численного интегрирования системы уравнений показаны на рисунках 4 ÷ 10. Как видно из рисунков 4 и 5, безразмерная радиальная скорость увеличивается с увеличением n. Аналогичное поведение можно наблюдать и у безразмерного давления. Рисунок 4 – Распределение безразмерной радиальной скорости от n Рисунок 5 – Распределение безразмерного давления от n Это объясняется эффектом «разжижения» степенной жидкости при сложном сдвиге, т.е. с уменьшением индекса течения n уменьшается эффективная вязкость, а по оценке Шлихтинга [6], порядок высоты слоя жидкости, увлекаемой вращающимся диском, определяется зависимостью . Поэтому с увеличением n на жидкость действует большая центробежная сила, что приводит к увеличению радиальной скорости и давления. На рисунке 6 показано распределение безразмерной тангенциальной скорости по высоте канала при различных индексах течения n. Как видно из рисунка, жидкость в канале вращается практически без отставания от стенок канала. Безразмерная тангенциальная скорость уменьшается с уменьшением индекса течения n, что согласуется с эффектом разжижения. Поскольку безразмерная радиальная и осевая скорости связаны дифференциальным уравнением неразрывности, то, как и следовало ожидать, с увеличением индекса течения n осевая скорость по модулю также возрастает (рисунок 7). При значениях индекса течения n>1 во всех сечениях наблюдается циркуляция жидкости. Следует отметить, что наблюдаемый эффект циркуляции приводит к дополнительному перемешиванию жидкости, что значительно улучшает качество получаемых гранул и является дополнительным аргументом к широкому внедрению центробежноэкструзионных грануляторов в промышленность. Рисунок 6 – Распределение безразмерной тангенциальной скорости от n Рисунок 7 – Распределение безразмерной осевой скорости от n Рисунок 8 – Распределение безразмерной радиальной скорости от x Кроме того, при учете взаимосвязи расхода с коэффициентом проницаемости неоспоримым является факт увеличения безразмерной радиальной скорости с увеличением коэффициента проницаемости x (рисунок 8), безразмерное давление при этом уменьшается (рисунок 9). Безразмерная температура растет с увеличением коэффициента проницаемости (рисунок 10), так как в связи с увеличением безразмерной радиальной скорости увеличивается диссипативный разогрев среды и соответственно повышается температура. Рисунок 9 – Распределение безразмерного давления от x Рисунок 10 – Распределение безразмерной температуры от x На основе системного подхода рассмотрен процесс течения в конвергентном криволинейном канале многосекционного ЦЭГ и разработана модель многосекционного центробежно-экструзионного гранулятора. Рассмотрен процесс течения неньютоновской среды, реологические свойства которой описываются «степенным» законом Оствальда - де Виля, во вращающемся конвергентном криволинейном канале. Полученные результаты позволяют дать рекомендации по разработке методики инженерного расчета многосекционных центробежно-экструзионных грануляторов с целью внедрения их в практику

About the authors

P. V. Mishta

Volgograd State Technical University

Email: mapt@vstu.ru
Ph.D.

E. A. Mishta

Volgograd State Technical University

Email: mapt@vstu.ru

N. L. Shcherbakova

Volgograd State Technical University

Email: mapt@vstu.ru
Ph.D.

References

Supplementary files