The motion of a solid spherical particle in a two-layer film of non-Newtonian fluid flowing through the inner surface of the centrifugal cone nozzle

Full Text

Системный подход и анализ информации по существующим технологическим процессам получения гранулированных продуктов позволил установить, что улучшение потребительских свойств, связанное с приданием гранулам сферической формы, улучшение качества материала гранул за счет экстракции ими необходимых дополнительных веществ, растворимых в жидкости, обкатка гранул для увеличения плотности, возможно на стадии после процесса гранулирования, то есть только после формирования гранул. Поскольку этот процесс должен быть непрерывным, высокоэффективным и совмещать в одном аппарате все необходимые операции по улучшению потребительских свойств гранул, нами предлагается центробежный аппарат с комбинированной насадкой. Процесс улучшения потребительских свойств сферических гранул с нанесением на их поверхность двухслойного покрытия реализуется следующим образом (рисунок 1). Рисунок 1 – Физическая модель процесса нанесения двухслойной оболочки на сферические гранулы На коническую насадку по подводящему устройству в виде трубы в трубе подаются две несмешивающиеся жидкости, которые под действием центробежных сил растекаются по поверхности конической насадки в виде двух плёнок. По внешней трубе, расположенной коаксиально к подводящему патрубку, подаются сферические гранулы. Плотность частиц выше плотности жидкостей. Поскольку подвод гранул реализуется вблизи оси вращения конической насадки, то есть в области с малым радиусом вращения, то центробежной силы, действующей на гранулу, не хватает для преодоления сил поверхностного натяжения верхней плёнки и частица движется по её поверхности с максимальными скоростями течения верхней плёнки. Будем полагать, частица движется с максимальными скоростями течения верхней плёнки в течение всего процесса прохождения поверхности раздела фаз. При достижении частицей радиуса rвх, когда центробежной силы хватает для преодоления поверхностного натяжения, начинается стадия прохождения поверхности раздела фаз газовая среда – жидкость верхней плёнки. В начальный момент глубина погружения частицы в плёнку жидкости равна нулю и скорость прохождения поверхности раздела фаз также равна нулю. Физическая картина процесса прохождения гранулой поверхности раздела фаз свидетельствует, что этот процесс происходит при переменном расстоянии от оси вращения насадки до центра масс гранулы, то есть при переменной центробежной силе. При прохождении частицей поверхности раздела фаз из всех сил, действующих на гранулу, существенна только сила инерции, центробежная и кориолисова силы и центробежная сила Архимеда. Рисунок 2 – Принципиальные схемы прохождения частицей двух пленок жидкости текущих по внутренней поверхности (а) и наружной поверхности (б) вращающейся конической насадки При движении сферической гранулы в плёнках неньютоновских жидкостей, текущих по внутренней и наружной поверхностям конического ротора существует несколько областей движения частицы (рисунок 2). По внутренней поверхности: 1) область входа частицы в пленку; 2) область движения частицы в верхней пленке жидкости; 3) область прохода частицей поверхности раздела жидкостей; 4) область движения частицы в нижней пленке жидкости; 5) область, в которой частица катится по поверхности ротора в нижней пленке жидкости. По наружной поверхности: 1) область движения частицы в нижней пленке жидкости; 2) область прохода частицей поверхности раздела жидкостей; 3) область движения частицы в верхней пленке жидкости; 4) область выхода частицы из пленки неньютоновской жидкости. При прохождении частицей поверхности раздела фаз силой вязкостного трения частицы о плёнку жидкости можно пренебречь, поскольку она много меньше сил поверхностного натяжения и центробежной силы [1, 2]. Уравнение движения частицы через поверхность раздела фаз в конической системе координат, жёстко связанной с конусом, запишется в виде: , (1) где: x – положение частицы относительно поверхности раздела фаз; Fцб, Fкр – центробежная и кориолисова силы соответственно; П – сила поверхностного натяжения; Arц – сила Архимеда для центробежного поля; mч –масса частицы; ²– обозначены производные по времени. Силу поверхностного натяжения П найдём из уравнения свободной энергии системы «твёрдое тело–жидкость–газ», которое определяется выражением: , (2) где: R – радиус твёрдой частицы; s12, s23,s13– коэффициенты поверхностного натяжения на поверхности раздела фаз 1–2, 2–3, 1–3 соответственно. В этом случае: . (3) Полагая, что s12 @ s23 <<s13, уравнение прохода твёрдой шарообразной частицей поверхности плёнки жидкости можно представить в виде: . (4) Начальные условия, при которых должно решаться уравнение (4), запишутся в виде: · для прохождения поверхность раздела фаз «газ–жидкость»: при t=0 x=0, x¢=0; · для прохождения поверхность раздела фаз «жидкость–жидкость» (рисунок 2а,б): при t=0 x=0, x¢=Vzч (z=h1); · для прохождения поверхность раздела фаз «жидкость–газ»: при t=0 x=0, x¢=Vzч (z=Н). (5) В уравнении прохождения сферической частицы поверхности верхней плёнки (1): – центробежная сила ; (6) – кориолисова сила ; (7) – центробежная сила Архимеда . (8) В зависимостях (6) – (8) масса жидкости, вытесняемой частицей во время прохождения поверхности раздела фаз, переменна во времени и изменяется от нуля в начальный момент прохождения до максимального значения в момент полного погружения частицы в плёнку жидкости. Для получения аналитического решения уравнения (1) рассмотрим самый неблагоприятный случай, когда масса вытесненной жидкости постоянна и равна 0,63 от максимальной. Это же относится и к центробежной кориолисовой силе. В этом случае уравнение прохождения сферической частицей поверхности верхней плёнки принимает вид: . (9) Уравнение (9) должно интегрироваться при следующих начальных условиях: при t=0 x = 0 x¢=0. (10) За время прохождения частицей поверхности раздела фаз её меридиональная координата несколько возрастает и, как следствие, увеличивается центробежная сила, действующая на частицу. Поэтому для определения координаты гарантированного погружения частицы в плёнку жидкости будем полагать, что погружение происходит при постоянной меридиональной координате. В этом случае решение уравнения (9) с учётом начальных условий (10) принимает вид: . (11) Скорости жидкости Vj и Vl определены в работах [4, 5] Для определения времени полного погружения сферической частицы в плёнку жидкости tп необходимо в зависимость (11) вместо x поставить dч. Определив время погружения tп, можно определить координату lп, на которой это событие произойдёт: (12) Уравнение движения сферической частицы в верхней плёнке жидкости имеет вид: (13) где: n -индекс течения жидкости, В2, А2-определены в [3]. Интегрируя уравнение (13) и учитывая граничное условие: при z=h1+dч/2 l=lк, найдём меридиональную координату точки касания нижней плёнки: (14) где: Уравнение прохода частицей поверхности раздела плёнок будем решать аналогично проходу поверхности раздела фаз «газ–жидкость» с соответствующими начальными условиями. Опуская промежуточные выкладки, найдём: , (15) где: Уравнение движения сферической частицы в нижней плёнке запишется в виде: . (16) Интегрируя уравнение (16) с заданными начальными условиями и учитывая уравнение для скоростей из [4-6], определим координату касания частицы поверхности конической насадки: . (17) При попадании сферической частицы на наружную поверхность конической насадки она под действием центробежной силы мгновенно отрывается от поверхности ротора, поэтому силу трения частицы о стенку можно не учитывать. В этом случае уравнение движения твёрдой частицы в нижней плёнке запишется в виде: . (18) Интегрируя уравнение (18) с заданными начальными условиями в предположении, что инерционные члены в уравнении движения плёнки на отрезке всплытия частицы от стенки ротора до поверхности раздела плёнок остаются неизменными, и учитывая уравнение для скоростей жидкости [4-6], определим координату касания частицей поверхности раздела плёнок: . (19) Уравнение прохода частицей поверхности раздела плёнок будем решать аналогично прохождению этой же поверхности при течении плёнок по внутренней поверхности конической насадки. Опуская промежуточные выкладки, найдём: (20) где: Уравнение движения твёрдой частицы в верхней плёнке при двухплёночном течении по наружной поверхности конического ротора запишется в виде: . (21) Интегрируя уравнение (21) при соответствующих граничных условиях, найдём меридиональную координату точки касания частицей поверхности верхней плёнки: , (22) где: Уравнение выхода частицы с верхней плёнки будем решать аналогично уравнению прохода частицей поверхности раздела плёнок при соответствующих начальных условиях. Опуская промежуточные выкладки, найдём: , (23) где: Таким образом, проведенный анализ движения частицы по поверхности вращающейся конической насадки дает возможность определить основные конструктивнотехнологические параметры работы центробежного ротора, позволяющие достичь заданных параметров улучшения потребительских свойств гранулированных продуктов.

About the authors

P. V. Mishta

Volgograd State Technical University

Email: mapt@vstu.ru
Ph.D.

E. A. Mishta

Volgograd State Technical University

Email: mapt@vstu.ru

D. S. Blinov

LLC “Nauchniy podkhod”

Ph.D.

References

Supplementary files