The application of geometric programming for solving various technical and economic problems

Full Text

Краткие теоретические сведения Отсутствие универсального метода решения задач нелинейного программирования (НП) послужило причиной появления различных узкоспециализированных методов, решающих конкретные задачи. Один из методов НП под названием «Геометрическое программирование» (ГП) был предложен К. Зенером [1]. Геометрическое программирование предназначено для решения оптимизационных технико-экономических задач, когда условия этих задач представлены в геометрической (векторной) форме. По сравнению с другими методами НП геометрическое программирование имеет следующие преимущества: - ГП позволяет выявить картину сравнительной значимости проектов и характеристик слагаемых частей целевой функции; - ГП имеет возможность находить минимальное значение целевой функции до определения оптимальных значений параметров; - ГП дает возможность определения количественной оценки степени трудности решаемой задачи; - принципы ГП поддаются адаптированию к требованиям машинной алгоритмизации с целью разработки универсального программного комплекса. Принцип метода геометрического программирования состоит в том, чтобы целевая функция и соответствующие ограничения были выражены в виде так называемых «позиномов», имеющих вид: при ограничениях и - произвольные вещественные числа. Задачу геометрического программирования формулируют следующим образом: найти минимальное значение целевой функции при ограничениях и при условии, что левые части ограничений являются позиномами. Например, известное неравенство между средним взвешенным арифметическим и средним взвешенным геометрическим представляет собой общий вид позинома. В этом неравенстве – компоненты показателей свойств объекта, - весомости компонентов показателей свойств объекта. При этом должно быть выполнено условие нормализации . Использование неравенства для средних привело к появлению термина «Геометрическое программирование». В случае применения геометрического программирования решение задач значительно упрощается, т. к. решение сводится к геометрическим преобразованиям, «преобразующим» исходные условия в решения (конечные результаты). Определение оптимальности проектов При анализе проектов обычно рассматривает два вида затрат: первоначальные капитальные и эксплуатационные. При этом, как правило, чем меньше первоначальные капитальные вложения, тем больше эксплуатационные расходы. Поэтому возникает необходимость определения оптимального соотношения указанных расходов. К. Зенер показал, что во многих случаях прямым следствием оптимальности проекта является равенство капитальных и эксплуатационных (энергетических) затрат. Целевой функцией в этом случае являются минимальные общие затраты , где и капитальные и энергетические затраты соответственно. Таким образом, решением данной задачи может являться нахождение направления и величины вектора целевой функции. Общий вид вектора целевой функции может быть представлен в виде . При равенстве капитальных и энергетических затрат вектор решения при использовании геометрического программирования выглядит как . (1) Условие ортогональности для этого вектора описывается уравнением , (2) где и являются компонентами вектора показателей свойств объекта (при условии нормализации ). В векторной форме это уравнение выглядит следующим образом . (3) Из этого выражения видно, что в случае, когда функция - минимальна, соответствующий ей вектор решения ортогонален вектору показателей свойств объекта. Основное тождество, приводящее к определению направления и величины вектора решения задачи и вытекающее из условия ортогональности вектора решения вектору показателей : . (4) Таким образом, решением поставленной задачи является определение величины вектора геометрического программирования (): , (5) где компоненты показателей свойств объекта иi (капитальные и энергетические затраты) по условию нормализации должны быть пропорциональны своим весомостям. Таким образом, как указывается в [2] , минимум функции можно находить в два приема. На первом этапе используют условие ортогональности (2), для того чтобы определить направление вектора решения (), т.е. вектор . На втором этапе с помощью основного тождества (4) получают величину вектора решения, который равен сумме двух составляющих (капитальных и энергетических затрат в соответствии со своими весомостями [3]). Конечный результат получается без предварительного определения оптимального значения , т.к. оптимальное значение определяется после нахождения вектора, удовлетворяющего условию ортогональности. Определение целесообразности получения инвестиций на капитальные затраты В условиях дефицита свободных средств, предприятия вынуждены при решении вопроса о целесообразности новых разработок (проектов) исходить из оценки эффективности капитальных вложений. Такую оценку можно дать на основе вычисления коэффициента эффективности капитальных вложений. При расчете коэффициента капитальных вложений предположим, что взносы за первоначальные капитальные затраты вносятся непрерывно. Однако известно, что капитальные вложения носят разовый характер, а эксплуатационные расходы производятся непрерывно. Это различие в способах оплаты можно устранить, полагая, что для производства первоначальных капитальных вложений берется заем (например ), который затем выплачивается постоянными взносами в течение срока службы оборудования (τ-20лет ). Непрерывность обеспечения первоначальных капитальных вложений позволяет использовать для решения задачи математический анализ. В этом случае коэффициента эффективности капитальных вложений описывается дифференциальным уравнением [2]: , (6) где - функция процентов на капитал, - платежи, производимые с целью сокращения невыплаченной части занятого капитала . В начальный момент времени невыплаченная часть первоначального капитала равна значению первоначальных вложений . С течением времени она постепенно уменьшается и в конце срока службы оборудования τ становится равной нулю. Таким образом, дифференциальное уравнение (6) имеет решение при следующих ограничениях: . (7) Решение с учетом ограничений имеет вид . (8) Полагая t равным нулю и используя условие (), получаем . (9) По определению коэффициент эффективности капитальных вложений равен , поэтому . (10) Условия кредита , τ -20лет дают , или Вывод Метод геометрического программирования, описанный на примерах решений двух технико-экономических задач, показывает относительную простоту и наглядность метода. В расчетную часть метода геометрического программирования введено понятие о т.н. квалиметрических образах исходных объектов. Квалиметрические образы обладают наглядностью, легко поддаются геометрическим преобразованиям, дают возможность осуществлять оптимизацию технических решений по минимуму исходных данных. Следующей стадией развития метода геометрического программирования можно принять необходимость разработки компьютерной программы для расчетов по этому методу на основе принципов, описанных в данной работе.

About the authors

E. A Birjukova

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.; 8(495)674-20-49

V. V Martishkin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

8(495)674-20-49

Je. M Fazlulin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: fazlulin@mail.ru
Ph.D., Prof.; 8(495)674-20-49

V. V Knyazkov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: graphics@nntu.nnov.ru
Ph.D.; 8(495)674-20-49

References

Supplementary files