Estimate of the factor of safety of convex bottoms under uniform internal pressure

Abstract

This paper covers the derivation of engineering formulas in the State Standard Specification 14249-89 for the calculation of elliptical bottoms under uniform internal pressure, their numerical modeling of the stress-strain state by the finite element method and the comparative evaluation of the safety factor adopted in the State Standard Specification 14249-89 with the results of the experiment.

Full Text

Коэффициент прочности есть отношение напряжения текучести к допускаемому напряжению. Рекомендуемая величина коэффициента запаса прочности согласно ГОСТу 14249-89 [1] равна 1.5. Расчетной величиной выпуклого днища является его толщина в зависимости от заданных значений: геометрических размеров, коэффициента прочности сварных швов, внутреннего давления, коэффициента прочности или допускаемого напряжения материала. Поскольку в ГОСТе 14249-89 не предусмотрен вывод расчетных формул, возникает вопрос об истинном значении коэффициента запаса прочности. С этой целью был проведен анализ и сравнение методов расчетов на прочность выпуклых днищ, находящихся под внутренним равномерным давлением. Сравниваются два метода расчета: инженерный по ГОСТу 14249-89 [1] для эллиптических, торосферических и полусферических днищ аппаратов химического машиностроения и конечно-элементный, выполненный в системе Ansys. В основу расчета выпуклых днищ, нагруженных внутренним избыточным давлением, положен критерий прочности Губера-Мизеса-Генки [2]: , (1) где: σ1 , σ2 , σ3 главные напряжения, [σ] - допускаемое напряжение для материала днища. Рассмотрим эллиптическое днище, находящееся под действием внутреннего равномерного давления (рисунок 1). Расчет по ГОСТу включает расчет минимальной толщины днища sр и допускаемого давления [p] для заданного значения s (исполнительная толщина) по формулам: , (2) , (3) где: – коэффициент прочности сварных швов на днище, значение которого находится в пределах от 0.65 до 1; с – коррозионная добавка. Рисунок 1 – Расчетная схема эллиптического днища Анализ этих расчетных формул и литературы [1 – 3] позволяет сделать вывод, что расчет величин sр и [p] проводился из условия прочности (1) для центральной зоны выпуклого днища, то есть для точки с наибольшим радиусом кривизны, который для эллиптического днища определяется следующим образом: . (4) Для доказательства этого утверждения в верхней части выпуклого днища выделим четырехугольный элемент, на боковые грани которого действуют главные нормальные напряжения σ1 и σ2 . Так как сжатия или растяжения толщины элемента по нормали к поверхности практически нет, то σ3 = 0. Ввиду симметричности днища и действующей нагрузки σ1 = σ2 . Таким образом, получаем, что σэкв = σ1 = σ2 . Согласно [2, 3] формула для эквивалентного напряжения примет вид: . (5) Из [1] при равенстве допускаемого и эквивалентного напряжений имеем: . (6) Формулы (5) и (6) отличаются незначительно. Эти отличия вызваны, скорее всего, экспериментальными данными. Составляющая 0,5·p·sр увеличивает σэкв и соответственно уменьшает sр максимум на 5 %. Если принять, что σэкв = [σ] и из (6) выразить sр, то получим формулу (2). Очевидно, что наибольшая толщина днища будет в центральной зоне, где максимальный радиус кривизны. Условие прочности (1) выполняется. Но оно выполняется для центральной зоны. Предположение о том, что напряженно-деформированное состояние простейшего четырехугольного элемента в краевой зоне, где радиус кривизны днища минимальный, будет таким же, как и в центральной, в корне неверно. Сравнительный анализ результатов расчета по ГОСТу [1] и конечно-элементному методу проводился для эллиптических днищ следующим образом. Первым выполнялся расчет по ГОСТу, из которого были получены расчетные значения толщины днища sр (2) и допускаемого давления [p] (3). Далее методом конечных элементов (МКЭ) определялись эквивалентные напряжения (1) в центральной зоне (рисунок 1) для расчетной толщины sр и рабочего давления p или для исполнительной толщины s и допускаемого давления [p]. Если эквивалентные напряжения, вычисленные по МКЭ, будут порядка допускаемого напряжения, то расчет напряженно-деформированного состояния эллиптических днищ выполняется правильно. Исходные данные для расчета эллиптического днища: модуль упругости стали – Е = 200000 МПа, допускаемое напряжение – [σ] = 160 МПа, толщина днища – s = 5 мм, диаметр днища – D = 400 мм, высота днища – H = 100 мм, длина отбортовки – h = 25 мм, коэффициент запаса прочности сварных швов – φ = 1, рабочее внутреннее давление – p = 1 МПа. При расчете по ГОСТу были получены результаты: расчетная толщина днища – sр = 1.25 мм и допускаемое внутреннее давление – [p] = 3.98 МПа. Численный анализ напряженно-деформированного состояния эллиптического днища (рисунок 2), расчетная схема которого представлена на рисунке 1, при s = 1.25 мм и p = 3.98 МПа по МКЭ в системе Ansys показал, что максимальные эквивалентные напряжения составляют в центральной зоне σэквс = 173.4 МПа, а в краевой зоне σэквr = 225.686 МПа. Таким образом, относительная погрешность эквивалентных напряжений в центральной зоне по двум методам составит: . (7) Относительная погрешность эквивалентных напряжений, рассчитанных по МКЭ, для центральной и краевой зон будет: . (8) Сравнивая полученные результаты при расчетах эллиптического днища по ГОСТу и МКЭ, можно сделать выводы: Так как разница вычисленных эквивалентных напряжений в центральной зоне по ГОСТу и по методу конечных элементов (7) составляет менее 10%, то расчет по МКЭ является достоверным. Периферийные эквивалентные напряжения для эллиптического днища, вычисленные по МКЭ (8), как минимум на 30 % больше напряжений в центральной зоне. Рисунок 2 – Изображение численных значений эквивалентных напряжений по критерию Губера-Мизеса-Генки на внутренней поверхности эллиптического днища Для эллиптического днища, учитывая вывод 2, при напряжении σэквс = [σ] = 160 МПа в центральной зоне эквивалентное напряжение в краевой зоне σэквr составит 208 МПа. Таким образом, коэффициент запаса прочности будет меньше 1.5, минимального значения, принятого в ГОСТе 14249-89, и при напряжении текучести материала σт = 240 МПа равен 1.154. Расчет на прочность эллиптических, торосферических и полусферических днищ, находящихся под внутренним давлением, по ГОСТу 14249-89 проводится только для центральной зоны и не дает полной картины как о напряженно-деформированном состоянии, так и о коэффициенте запаса прочности конструкции. Фактически напряженно-деформированное состояние днища при расчетной толщине (2) или при исполнительной толщине, но под предельным внутренним давлением (3), будет находиться в непосредственной близости от зоны текучести материала.