Расчет статистических характеристик оценки координат точки на поверхности Земли, получаемой при однокоординатной пеленгации с борта летательного аппарата

Аннотация

В работе найдены аналитические соотношения для расчета в линейном приближении по ошибкам измерения оценки географических координат и корреляционной матрицы точки на поверхности Земли по данным однокоординатных пеленгов. Предложен алгоритм рекуррентного уточнения координат в процессе получения новых измерений.

Полный текст

Рассматривается процесс местоопределения источника излучения (ИИ) при измерениях с борта летательного аппарата (ЛА) косинуса угла между направлением на ИИ и продольной осью ЛА, которую будем считать совпадающей с вектором скорости. Исходные данные для решения задачи: · гринвичские декартовы координаты ЛА и вектора скорости в гринвичской системе координат для моментов времени этих измерений - , ошибки их измерения считаем пренебрежимо малыми; · два измеренных пеленга , ошибки измерения которых считаем независимыми, распределенными по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями s2 и нулевым математическим ожиданием ( - углы между направлением на излучающую точку А на поверхности Земли и векторами ), · признак борта (слева или справа от трассы находится ИИ). Определяем на поверхности Земли точку А¢ пересечения конусов с вершинами , осями и углами раскрыва . Схематично процесс измерений представлен на рисунке 1. Точка А¢ представляет собой точку пересечения двух кривых L1 и L2, каждая из которых есть линия пересечения конусов с вершинами в точках В1 и В2 концах векторов , осями и углами раскрыва с поверхностью Земли, для данной задачи аппроксимируемой местным референц-эллипсоидом[1]. Рисунок 1 Система уравнений для определения трех декартовых координат r1,r2,r3 точки А¢ содержит три уравнения второго порядка с тремя неизвестными. Так как любая точка на эллипсоиде с полуосями a и b может быть определена двумя сферическими координатами (j,l), связанными с декартовыми следующими соотношениями: , от одного уравнения можно избавиться, но система при этом станет трансцендентной. Если найти приближенное решение этой системы, то можно искать сферические координаты ИИ (j,l), используя в качестве метода для их нахождения метод максимального правдоподобия (ММП)[3]. Так как измеренные величины имеют нормальное распределение с корреляционной матрицей и математическими ожиданиями, равными пеленгам на истинное положение ИИ из точек относительно векторов , то , где: , где: a – большая полуось, e – сжатие эллипсоида (навигационные ошибки считаем пренебрежимо малыми по сравнению с величиной ) и уравнение правдоподобия сводится к минимизации квадратичной формы: (1) или после дифференцирования к итерационному процессу: , где: (2) Нулевое приближение для итерационного процесса может быть найдено путем решения методом Феррари уравнения 4-ой степени, к которому приводится система двух уравнений с двумя неизвестными нахождения точки пересечения двух конусов с касательной плоскостью к поверхности Земли в точке В пересечения поверхности Земли с вектором : , где и компоненты векторов в локальной системе координат с центром в точке В, осью OZ || , осью OX параллельной местной параллели, -искомые координаты ИИ , - компоненты скоростей, переведенные в локальную систему координат. Из полученных 4 корней отбрасываются два с использованием признака борта, а из двух оставшихся выбирается тот, который соответствует точке, ближайшей к трассе. Полученное решение уравнения (1) – сферические координаты точки А¢ - является случайной величиной, в линейном приближении по ошибкам подчиняющейся двумерному нормальному закону с математическим ожиданием, равным истинным координатам ИИ и корреляционной матрицей, зависящей от и взаимного расположения точек В1, В2 и А. Для расчета корреляционной матрицы сферических координат точки А¢, полученной путем решения уравнения (1), введем две локальные системы координат в касательной плоскости к модели поверхности Земли, обе с центром в точке А: систему координат О с осями , касательными к местному меридиану и параллели, и систему координат О¢ с осями , являющимися проекциями на касательную плоскость нормалей к конусам. Введем также систему координат О² в трехмерном пространстве с центром в центре масс Земли и осями , где: – вектор с координатами, соответствующими А. Пусть Q – матрица перехода из гринвичской системы координат в систему координат О², . Переведем и в систему координат О². Вычислим образующие конусов, проходящие через точку А, и нормируем их. . Конусы представляют собой геометрическое место точек, получающихся вращением прямых, проходящих через точки B1 и В2, коллинеарных образующим и , вокруг векторов соответственно. Матрицы поворота вокруг векторов на угол a вычисляется по формулам[2]: (3) где: – j-ая компонента вектора , i=1,2. Каждая точка кривых L1 и L2 есть пересечение одной из образующих конусов с поверхностью Земли, поэтому точки кривых L1 и L2 суть функции угла a - , являющиеся непрерывно дифференцируемыми по a. Производные этих функций по a суть касательные к конусам и к поверхности Земли одновременно. Проекции векторных произведений и образующих и на плоскость суть вектора . Если вектор ошибки определения координат ИИ как точки пересечения L1 и L2 спроектировать на касательную плоскость и разложить ее по векторам , получим: (4) причем величины некоррелированы, а их СКО равны s, умноженному на производную с1 и с2 по приращениям вдоль векторов . Величины с точностью до малых второго порядка по сравнению с s имеют нормальное распределение, то есть в линейном приближении локальные координаты точки пересечения L1 и L2 можно считать распределенными по нормальному закону с математическим ожиданием, равным истинному значению и некоторой корреляционной матрицей. Вычислим ее. Воспользовавшись разностными формулами вычисления производной, получим СКО ошибки местоопределения вдоль векторов : , (5) где: x – малое приращение вдоль (i=1,2). Вектора также можно вычислить по разностной схеме. Для чего вычисляем точку пересечения линий с поверхностью Земли для матриц М, вычисленных по формуле (3) с малыми значениями a. Для этого находим li из соотношения (6) Вычисляем , нормируем его и проектируем на касательную плоскость, i=1,2. . (7) Погрешность вычисления компонент векторов пропорциональна a2, и, выбирая a должным образом можно сделать ее пренебрежимо малой. Корреляционная матрица ошибок местоопределения в системе координат равна , переходя в систему координат получим корреляционную матрицу ошибок местоопределения по сферическим долготе и широте: . (8) Большая и малая полуоси эллипса рассеяния, вычисленные по двум пеленгам координат точки А, равны соответственно[4] . (9) Полученные формулы позволяют оценить точностные характеристики местоопределения при двукратном приеме сигналов для разнесенных в пространстве позиций ЛА. На рисунках 2, 3, 4 приведены зависимости коэффициента усиления ошибки, то есть отношения от дальности r от геодезической, соединяющей проекции точек В1 и В2 на поверхность Земли до точки А при расстоянии между проекциями В1 и В2, равном 100км, и высоте точек В1 и В2 над поверхностью Земли 10км при различном расположении точки А относительно точек В1 и В2 (рисунок 2а – точка А расположена на траверзе середины между проекциями В1 и В2, рисунок 2б – траверз точки А смещен в сторону одной из проекций точек В1 и В2 на l=50 км относительно центра). а б Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4 На графике рисунке 3 изображена зависимость коэффициента усиления ошибки большой полуоси эллипса рассеяния от r при двух точках приема, разнесенных на 10км и различных l=100, 50 и 30 км. На графике рисунка 4 приведена зависимость доли площади обзора с коэффициентом ~k и <k. На рисунке 5 изображена зависимость коэффициента усиления ошибки местоопределения ИИ, расположенного на траверзе трассы для различных удалениях от трассы ЛА и для различных расстояний между положениями ЛА. Рисунок 5 Получив двукратный прием сигналов и оценив по ним местоположение ИИ и его корреляционную матрицу, можно построить рекуррентную процедуру уточнения местоположения по каждому вновь принятому пеленгу. Исходные данные для этой задачи включают: · гринвичские декартовы координаты ЛА и вектор скорости для момента времени вновь произведенного измерения ; · измеренный пеленг , ошибки измерения которого считаем распределенными по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и СКО, равным s0, · сферические координаты j, l вычисленного по ранее выполненным измерениям положения ИИ и корреляционная матрица их ошибок (10) Будем считать, что все данные переведены в систему координат О, тогда в линейном приближении по ошибкам можно считать, что DB=Dj, DL=Dl*cos(j), где: (11) – вектор проекции измеренного положения ИИ на касательную плоскость к сфере в месте истинного расположения ИИ (с локальными координатами G0=(B0,L0)), r -радиус используемой модели поверхности Земли в точке со сферическими координатами j, l. Корреляционная матрица Q1 вектора вычисляется из Q по формуле: (12) Так как математическое ожидание ошибки измерения пеленга C считаем равным 0 (то есть систематические ошибки измерения отсутствуют), то математическое ожидание измеренной величины C является функцией истинных оцениваемых координат ИИ и может быть вычислено по формуле: , (13) где: , – вектор истинного положения ИИ. Считая новое измерение независимым от вектора , получаем функцию правдоподобия трех величин : . (13) Поиск максимума функции правдоподобия по параметрам B0,L0 сводится к минимизации квадратичной формы: , (14) по параметрам B0,L0 , то есть к решению системы уравнений: . (15) Система (15) преобразуется к виду: , (16) где: . Раскладывая в ряд Тейлора функцию и ее частные производные и, ограничиваясь линейными по членами, преобразуем систему (16) к линейному виду: , (17) где: . (18) Решая систему (17), получим оценку: , . (19) Корреляционная матрица полученной оценки равна , где: , , (20) где: . Выводы 1. Найдены аналитические соотношения для расчета в линейном приближении по ошибкам измерения оценки географических координат точки пересечения двух конусов с моделью поверхности Земли в виде референц-эллипсоида и их корреляционной матрицы. Найденные оценки позволяют в том числе произвести оценку геометрического фактора при различном взаимном расположении ИИ и точек приема. 2. Найдены аналитические соотношения для оценки корреляционной матрицы уточненной оценки ММП на каждом шаге рекуррентного алгоритма. 3. Найденные соотношения позволяют применить рекуррентный алгоритм уточнения координат полученной точки с использованием вновь полученных измерений. Рекуррентный алгоритм позволяет производить уточнение в реальном масштабе времени без хранения предшествующих измерений.